1、排序不等式探究
一、排序不等式:
设有两个有序实数组:···;···.···是
1,2,···,n的任一排列,则有
···+ (同序和)
+···+ (乱序和)
+···+ (反序和)
当且仅当···=或···=时,等号成立.
(证明从略).
二、一个新的排序不等
设有两个有序正实数组: ···;···.···
是1,2,···,n的任一排列,则有
···· (反序积)
···· (乱序积)
···· (同序和)
当且仅当···=或···=时,等号成立.
三、排序不等式再探
2、 定理1 设有两个有序正实数组: ···;···.
···是1,2,···,n的任一排列,则有
···· (同序积)
···· (乱序积)
···· (反序积)
当且仅当···=或···=时,等号成立.
证明:由 ···,得···.
又···,于是由排序不等式有
···+ (同序和)
···+ (乱序和)
···+ (反序和)
于是 lg(····)
lg(····)
lg(····)
因而原不等式得证.
显然等号成立的条件是···=或···=.
说明:下面我们证明一个常见的不等式
3、[2]
设,求证:
证明:由对称性,不妨设,则.于是
三式相乘,整理便得.
评注:本题传统的证法是运用作商法进行证明,但需要很高的变形技巧.
本证法简洁美观,易于推广.
定理2 设有两个有序正实数组:···;
···.···是1,2,···,n的任一排列,则有
++···+ (同序和)
++···+ (乱序和)
++···+ (反序和)
当且仅当···=或···=时,等号成立.
证明:我们先来证明这样一个事实:
若实数满足;.则.
设, ,,令 (其中),则
,
而,得,,得0.
4、所以在
上为减函数,故=1,得
,变形得.
现在我们对乱序和++···+从左到右(可循环)进行如下调整:
①若,我们交换与的位置;
②若,我们就不再交换了.(其中1,2,···,n-1)
设经第一次调整后得到的和式为,由上面事实我们有,对于和式
我们继续作以上调整,又得和式,,···
经过有限次调整 (可循环)最终必得和式=++···+.
有···,注意到以上调整等号成立的条件是
···=或···=,于是前一个不等式得证.
类似的调整可证明后一个不等式.
说明:到目前为止,有关该不等式的实例还很罕见.
定理3 设···;···.
···是1,2,···,n的任
5、一排列,则有
(倒序方—从上而下)
(乱序方)
(顺序方—从上而下)
当且仅当···=或···=时,等号成立.
证明:(1) 我们先来证明这样一个事实:
若实数,满足.则.
作函数 ().则
故在为减函数,得,即
于是.
(2)我们再来证明这样一个事实:
若实数满足;.则.
因为
(i)
而 ,.于是(i)得证.同样可知后一不等式也正确.
现在我们对乱序方从上到下(可循环)经有限次调整为
,则,再将经有限次调整为,
则.注意到以上调整等号成立的条件是
···=或···=,于是前一不等式得证.
类似的调整可证明后一个不等式.
以上不等式因对称而优美,其应用还有待挖掘.
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