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例析分类讨论思想在圆中的应用
由于圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；既具有对称任意性，又具有旋转不变性，因此往往给解题带来一定的复杂性．为了避免在求解与圆有关的问题时出现漏解，本文将分类讨论思想在圆中的应用作相关归纳与分析，供同学们学习时参考．
一、点与圆的位置关系不唯一性
例1 已知点P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，点C是⊙O上的任意一点(不与A，B重合)．若∠APB=50°，求∠ACB的度数．
分析 解题时若对点C位置理解不透，容易出现漏解的情况，须注意针对分点C在优
弧与劣弧两种情况分类讨论．
解析 如图1连结OA、OB，
∵PA，PB是⊙O的两条切线，
∴∠PAO=∠PBO=90°．
∵∠APB=50°。
∴在四边形PA OB中，
∠AOB=360°一∠PAO一∠APB一∠PBO=130°．
①若点C在优弧AB上，则∠ACB=∠ AOB=65°；
②若点C在劣弧AB上，则∠ACB=×(360°-130 °)=115°．
∴∠ACB的度数为65°或115°．
变式 已知点P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，点C是⊙O上的任意一点(不与A，B重合)．若∠APB=n°，求∠A CB的度数．
二、弦与弦的位置关系不唯一性
例2 在半径为1的⊙O中，弦AB=，A C=，求∠BAC的度数．
分析 此题主要考查的是垂径定理和勾股定理，初学者多数只会做出一个解，要么求得15°，要么求得75°．实际上应全面考虑两弦与圆心的位置，分弦AB与CD在圆心O的两侧与同侧两种情况讨论．
解析 如图2，分别作OD⊥AB，OE⊥A C，垂足分别是D、E．
∵OD⊥AB，OE⊥A C，
∴AD=BD=，
AE=BE：，
∴cos∠DAO==，
cos∠AEO = =，
∴∠DA O=45°，∠AEO=30°．
当AB与CD在圆心O的两侧时，
∠BA C=∠BAO+∠CAO=75°；
当AB与CD在圆心O的同侧时，
∠BAC=∠BAO-∠CAO=15°，
∴∠BAC的度数为15°或75°．
变式 如图3，已知AB是⊙O的直径，AB=2，弦AC=，
在图中画出弦AD，使AD=1，并求∠CAD的度数．
三、弦与它所对圆周角的不唯一性
例3 圆的一条弦长等于它的半径，求这条弦所对的圆周角的度数．
分析 多数学生只是求出30。，而未能求出150°，原因是学生对点与圆的位置关系、弦所对的圆周角理解不透．一条弦(非直径)所对的弧有优弧和劣弧，一条弦所对的圆周角
有锐角和钝角两种情况，需要区分优弧和劣弧所对的圆周角进行计算．
解析 连结OA、OB，
∵OA=OB=AB，
∴△AOB为正三角形，
∴∠ADB=60°．
当点P在优弧AB上时，
∠P=∠A OB=30°；
当点Q在优弧AB上时，
∠Q=180°一∠P=150°．
∴弦AB所对的圆周角为30°或150°．
变式1 已知点O为△ABC的外心，若∠BOC=100°，求∠BA C的度数．
变式2 在半径为4的⊙O中，弦AB=4，求弦AB所对的圆周角的度数．
变式3 一条弦AB分圆成1：4两部分，求弦AB所对的圆周角的度数．
四、直线与圆的位置关系不唯一性
例4 直线上一点P到圆心O的距离是5cm，⊙O的半径也是5cm，求直线与⊙的位置关系．
分析 多数学生误以为圆心O到直线的距离为OP，即把直线上一点P当作垂足，得出直线与⊙O的位置关系是相切，出现漏解．
解析 (1)当OP⊥时，则圆心O到直线的距离为OP．
∵OP=5，R=5，
∴OP=R，
∴点P到直线的距离等于⊙O的半径，则直线与⊙O相切；
(2)当OP不垂直直线时，圆心O到直线的距离小于OP，则直线与⊙O相交．
∴直线与⊙O的位置关系是相切或相交
变式 直线上一点P到圆心O的距离是，⊙O的半径是，并且=，求直线与⊙O的位置关系．
五、圆与圆的位置关系不唯一性
例5 以点O为圆心的两个同心圆的半径分别是9和5，与这两个圆相切，求
的半径．
分析 由于两圆为同心圆，可能与小圆外切、与大圆内切，的直径等于两圆
的半径之差；也可能与小圆、大圆都内切，的直径等于两圆的半径之和(如图5)．

解析 当与小圆外切、与大圆内切时，
的直径为

∴；
当与小圆、大圆都内切时，
的直径为
，
∴．
∴的半径是2或7．
变式 已知两圆相切，圆心距是7，其中一圆的半径是2，求另一圆的半径．
六、在圆锥侧面展开图计算中的应用
例6 如图6，在Rt △ABC中，∠ACB=90°，AC=20，BC=15，Rt△ABC的一边旋转一周得到一个几何体，求出这个几何体的全面积。
分析 题中只说明Rt△ABC的一边旋转
一周，而未说明具体是哪一边旋转，所以必须
分情况进行讨论．
解析 ∵∠ACB=90°，
AC=20，BC=l 5，
∴AB=．
∴，
∴25CD=20×1 5，
∴CD=l 2．
若绕AC旋转一周得到的几何体，则它的全面积为

；
若绕BC旋转一周得到的几何体，则它的全面积为

=900；
若绕AB旋转一周得到的几何体，则它的全面积为
．

∴绕Rt△ABC的一边旋转一周得到一个几何体的全面积为
600或900或420．
变式 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，A C=12，BC=5，绕Rt△ABC的一边旋转一周得到一个几何体，求出这个几何体的全面积．
综上可见，我们在解有关圆的问题中，应深刻掌握分类讨论思想，并善于举一反三，触类旁通，使所遇类似问题都能获得圆满解答．