专题：一元二次不等式的几点解法.doc

高二数学组2010
一元二次不等式及其解法
目标认知

学习目标：
　1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；
　2．掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题。
　3．培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力。
重点：
　　从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；熟练掌握一元二次不等式的解法.
难点：
　　理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系，设计求解一元二次不等式的程序框图。
知识要点梳理

知识点一：一元二次不等式的定义
　　只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式比如：.
　　任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式：或.

知识点二：一般的一元二次不等式的解法
　　一元二次不等式或的解集可以联系二次函数的图象，图象在轴上方部分对应的横坐标值的集合为不等式的解集，图象在轴下方部分对应的横坐标值的集合为不等式的解集.

　设一元二次方程的两根为且，，则相应的不等式的解集的各种情况如下表：

二次函数
（）的图象

有两相异实根

有两相等实根

无实根

注意：
　　（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；
　　2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；
　　（3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集。

知识点三：解一元二次不等式的步骤
　　（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
　　（2）写出相应的方程，计算判别式：
　 　　　①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）；
　 　　　②时，求根；
　 　　　③时，方程无解
　　（3）根据不等式，写出解集.

知识点四：用程序框图表示求解一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)的过程

规律方法指导
　　1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；
　　2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；
　　3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；
　　4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等 式的解集与其系数之间的关系；
　　5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数
经典例题透析
类型一：解一元二次不等式
　　1．解下列一元二次不等式
　　（1）； （2）； （3）
　　思路点拨：转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答.
　　解析：
　　（1）方法一：
　　　　 因为
　　　　 所以方程的两个实数根为：，
　　　　 函数的简图为：

　　　　 因而不等式的解集是.
　　　　 方法二：
　　　　 或
　　　　 解得 或 ，即或.
　　　　 因而不等式的解集是.
　　（2）方法一：
　　　　 因为，
　　　　 方程的解为.
　　　　 函数的简图为：

　　　　 所以，原不等式的解集是
　　　　 方法二：
　　　　 （当时，）
　　　　 所以原不等式的解集是
　　（3）方法一：

　　　　 原不等式整理得.
　　　　 因为，方程无实数解，
　　　　 函数的简图为：

　　　　 所以不等式的解集是.
　　　　 所以原不等式的解集是.
　　　　 方法二：
　　　　 ∵
　　　　 ∴原不等式的解集是.
　　总结升华：
　　1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；
　　2. 当时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）.
　　3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答.

　　举一反三：
　　【变式1】解下列不等式
　　(1) ；　　　(2)
　　(3) ； 　　　(4) .
　　【答案】
　　（1）方法一：
　　　　 因为
　　　　 方程的两个实数根为：，
　　　　 函数的简图为：

　　　　 因而不等式的解集是：.
　　　　 方法二：
　　　　 ∵原不等式等价于,
　　　　 ∴ 原不等式的解集是：.
　　（2）整理，原式可化为,
　　　　 因为,
　　　　 方程的解，，
　　　　 函数的简图为：

　　　　 所以不等式的解集是.
　　（3）方法一：
　　　　 因为
　　　　 方程有两个相等的实根：，
　　　　 由函数的图象为：

　　　　 原不等式的的解集是.
　　　　 方法二：
　　　　 ∵ 原不等式等价于：,
　　　　 ∴原不等式的的解集是.
　　（4）方法一：
　　　　 因为，方程无实数解，
　　　　 由函数的简图为：

　　　　 原不等式的解集是.
　　　　 方法二：
　　　　 ∵，
　　　　 ∴ 原不等式解集为.

　　【变式2】解不等式：
　　【答案】原不等式可化为不等式组
　　　　　　，即，即，
　　　　　　解得
　　　　　　∴原不等式的解集为.

类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数
　　2．不等式的解集为，求关于的不等式的解集。
　　思路点拨：由二次不等式的解集为可知：4、5是方程的二根，故由韦达定理可求出、的值，从而解得.
　　解析：由题意可知方程的两根为和
　　　　　由韦达定理有，
　　　　　∴，
　　　　　∴化为，即
　　　　　，解得，
　　　　　故不等式的解集为.
　　总结升华：二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键。

　　举一反三：
　　【变式1】不等式ax2+bx12＞0的解集为{x|-3＜x＜2}，则a=_______, b=________。
　　【答案】由不等式的解集为{x|-3＜x＜2}知a＜0，且方程ax2+bx+12=0的两根为-3，2。
　　　　　　由根与系数关系得
　　　　　　解得a=-2, b=-2。

　　【变式2】已知的解为,试求、,并解不等式.
　　【答案】由韦达定理有：，，∴,.
　　　　　　∴代入不等式得，
　　　　　　即，，解得，
　　　　　　故不等式的解集为：.

　　【变式3】已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集.
　　【答案】由韦达定理有：，解得, 代入不等式得
　　　　　　，即解得或.
　　　　　　∴的解集为：.

类型三：二次项系数含有字母的不等式恒成立恒不成立问题
　　3．已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3＞0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。
　　思路点拨：不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。
　　解析：
　　(1)当m2+4m-5=0时，m=1或m=-5
　　　 若m=1，则不等式化为3＞0, 对一切实数x成立，符合题意。
　　　 若m=-5，则不等式为24x+3＞0，不满足对一切实数x均成立，所以m=-5舍去。
　　(2)当m2+4m-5≠0即 m≠1且m≠5时，
　　　 由此一元二次不等式的解集为R知，抛物线y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3开口向上，且与x轴无交点，
　　　 所以，
　　　 即， ∴ 1＜m＜19。
　　　 综上所述，实数m的取值范围是{m|1≤m＜19}。
　　总结升华：情况(1)是容易忽略的，所以当我们遇到二次项系数含有字母时，一般需讨论。

　　举一反三：
　　【变式1】 若关于的不等式的解集为空集，求的取值范围.
　　【答案】关于的不等式的解集为空集
　　　　　　 即的解集为R
　　　　　　 当时，原不等式为：，即，不符合题意，舍去.
　　　　　　 当时，原不等式为一元二次不等式，只需且，
　　　　　　 即，解得，
　　　　　　 综上，的取值范围为：.

　　【变式2】若关于的不等式的解为一切实数，求的取值范围.
　　【答案】当时，原不等式为：，即，不符合题意，舍去.
　　　　　　 当时，原不等式为一元二次不等式，只需且，
　　　　　　 即，解得，
　　　　　　 综上，的取值范围为：.

　　【变式3】若关于的不等式的解集为非空集，求的取值范围.
　　【答案】当时，原不等式为：，即，符合题意.
　　　　　　 当时，原不等式为一元二次不等式，显然也符合题意
　　　　　　 当时，只需，
　　　　　　 即，解得，
　　　　　　 综上，的取值范围为

类型四：含字母系数的一元二次不等式的解法
　　4．解下列关于x的不等式
　　（1）x2-2ax≤-a2+1；
　　（2）x2-ax+1＞0；
　　（3）x2-(a+1)x+a＜0；
　　解析：
　　(1)
　　　　∴原不等式的解集为。
　　(2) Δ=a2-4
　　　　当Δ＞0，即a＞2或a＜-2时，原不等式的解集为
　　　　当Δ=0，即a=2或-2时，原不等式的解集为。
　　　　当Δ＜0，即-2＜a＜2时，原不等式的解集为R。
　　(3) (x-1)(x-a)＜0
　　　　当a＞1时，原不等式的解集为{x|1＜x＜a}
　　　　当a＜1时，原不等式的解集为{x|a＜x＜1}
　　　　当a=1时，原不等式的解集为。
　　总结升华：对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步：
　　①定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向；
　　②求根：求相应方程的根。当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求解；
　　③定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论。

　　举一反三：
　　【变式1】解关于x的不等式：
　　【答案】原不等式化为
　　　　　　①a=1或a=-1时，解集为；
　　　　　　②当0＜a＜1 或a＜-1时，，解集为：；
　　　　　　③当a＞1或 -1＜a＜0时，，解集为：。

　　【变式2】解关于的不等式：（）
　　【答案】
　　　　　　当a＜0或a＞1时，解集为；
　　　　　　当a=0时，解集为；
　　　　　　当0＜a＜1时，解集为；
　　　　　　当a=1时，解集为；

　　5．解关于x的不等式：ax2－(a+1)x+1＜0。
　　解析：若a=0，原不等式－x+1＜0x＞1；
　　　　　若a＜0，原不等式或x＞1；
　　　　　若a＞0，原不等式，
　　　　　其解的情况应由与1的大小关系决定，故
　　　　　（1）当a=1时，原不等式；
　　　　　（2）当a＞1时，原不等式；
　　　　　（3）当0＜a＜1时，原不等式
　　　　　综上所述：
　　　　　当a＜0，解集为；
　　　　　当a=0时，解集为{x|x＞1}；
　　　　　当0＜a＜1时，解集为；
　　　　　当a=1时，解集为；
　　　　　当a＞1时，解集为。
　　总结升华：熟练掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基础，对最高项含有字母系数的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类讨论，分类时要“不重不漏”。

　　举一反三：
　　【变式1】解关于x的不等式：(ax-1)(x-2)≥0；
　　【答案】当a=0时，x∈(-∞,2].
　　　　　　当a≠0时，方程(ax-1)(x-2)=0两根为
　　　　　　①当a＞0时，
　　　　　　　若， 即时，；
　　　　　　　若， 即时，x∈R；
　　　　　　　若， 即时，.
　　　　　　②当a＜0时，则有：， ∴ 。

　　【变式2】解关于x的不等式：ax2＋2x-1＜0；
　　【答案】当a=0时，.
　　　　　　当a≠0时，Δ=4+4a=4(a+1)，
　　　　　　①a＞0时，则Δ＞0，.
　　　　　　②a＜0时，
　　　　　　　若a＜0，△＜0， 即a＜-1时，x∈R；
　　　　　　　若a＜0，△=0， 即a=-1时，x∈R且x≠1；
　　　　　　　若a＜0，△＞0， 即 -1＜a＜0时， 。

　　【变式3】解关于x的不等式：ax2-x+1＞0
　　【答案】若a=0，原不等式化为-x+1＞0，解集为{x|x＜1}；
　　　　　　若a≠0，原不等式为关于x的一元二次不等式.
　　　　　　方程的判别式△=1-4a
　　　　　　(Ⅰ)当△=1-4a＜0，即时，方程没有实数根，
　　　　　　　　故函数的图象开口向上，与x轴没有交点，其简图如下：

　　　　　　　　所以，此时不等式的解集为实数集R；
　　　　　　(Ⅱ)当△=1-4a=0，即时，方程有两个相等实数根x=2，
　　　　　　　　故函数的图象开口向上，与x轴有唯一交点(2，0)，其简图如下：

　　　　　　　　所以，此时不等式的解集为；
　　　　　　(Ⅲ)当△=1-4a＞0，即时，方程有两个不等实数根
　　　　　　　　，，
　　　　　　　　①当时，函数的图象开口向上，
　　　　　　　　　与x轴有两个不同的交点，且，其简图如下：

　　　　　　　　　所以，此时不等式的解集为；
　　　　　　　　②当a＜0时，函数的图象开口向下，
　　　　　　　　　与x轴有两个不同的交点，且，其简图如下：

　　　　　　　　　所以，此时不等式的解集为；
　　　　　　　　综上所述
　　　　　　　　a＜0时，原不等式解集为；
　　　　　　　　a=0时，原不等式解集为；
　　　　　　　　时，原不等式解集为；
　　　　　　　　时，原不等式解集为；
　　　　　　　　时，原不等式解集为实数集R
　学习成果测评
基础达标：
　　1．不等式x2－ax－12a2＜0（其中a＜0）的解集为（ ）
　　A．（－3a，4a）　　　 B．（4a，－3a） 　　　C．（－3，－4） 　　　D．（2a，6a）

　　2．使有意义的x的取值范围是（ ）
　　A． 　　　B． 　
　　C． 　　　D．

　　3．不等式ax2+5x+c＞0的解集为，则a，c的值为（ ）
　　A．a=6，c=1 　　　B．a=－6，c=－1 　　　C．a=1，c=1 　　　D．a=－1，c=－6

　　4．解不等式得到解集，那么的值等于( )
　　A．10 　　　B．-10 　　　C．14 　　　D．-14

　　5．不等式x2－ax－b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，则bx2－ax－1＞0的解集是（ ）
　　A． 　　B． 　　C．　　 D．

　　6．抛物线y=－x2+5x－5上的点位于直线y=1的上方，则自变量x的取值范围是________。

　　7．如果关于x的方程x2－(m－1)x+2－m=0的两根为正实数，则m的取值范围是________。

　　8．解下列不等式
　　(1) 14-4x2≥x；　　　　(2) x2+x+1>0；　　　　　(3) 2x2+3x+4<0； 　　(4) ；
　　(5) ；　(6) ；　 (7)

　　9．已知不等式ax2－3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}。
　　（1）求a，b；
　　（2）解不等式ax2－(ac+b)x+bc＜0。

　　10. 不等式mx2+1＞mx 的解集为实数集R，求实数m的取值范围．

能力提升：
　　11．不等式的解集是全体实数，则a的取值范围是( )
　　A． 　　　B． 　　　C． 　　　D．

　　12．对于满足0≤p≤4的实数p，使恒成立的x的取值范围是_____________.

　　13．已知的解集为，则不等式的解集是________.

　　14．若函数的定义域为R，则a的取值范围为________________.

　　15．若使不等式和同时成立的x的值使关于x的不等式
　　　　也成立，则a的取值范围是________________.

　　16．若不等式ax2+bx+c＞0 的解集为{x|2＜x＜3}，则不等式ax2-bx+c＜0 的解集是___________；不等
　　　　式cx2+bx+a＞0的解集是_____________．

　　17．已知，
　　(1)如果对一切x∈R，f(x)＞0恒成立，求实数a的取值范围；
　　(2)如果对x∈[-3，1]，f(x)＞0恒成立，求实数a的取值范围.

　　18．解下列关于x的不等式 ；

综合探究：
　　19．解关于x的不等式：.

　　20. 设集合A={x|x2-2x-8＜0}, B={x|x2+2x-3＞0}, C={x|x2-3ax+2a2＜0}，若C(A∩B)，求实数a的取值范围．

参考答案：
基础达标：
　　1．B； 2．B； 3．B； 4．D； 5．C

　　6．；　　 7．

　　8．答案：
　　（1）原不等式的解集为；
　　（2）原不等式的解集为R；
　　（3）原不等式的解集为；
　　（4）原不等式的解集是；
　　（5）原不等式的解集是；
　　（6）原不等式的解集是；
　　（7）原不等式的解集是.

　　9．答案：
　　（1）a＝1，b=2；
　　（2）当c＞2时，解集为{x|2＜x＜c}；当c＝2时，解集为空集；当c＜2时，解集为{x|c＜x＜2}；

　　10．解析：
　　当m＝0时，不等式即为1＞0，满足条件．
　　当m≠0时，若不等式的解集为R，则应有， 解得0＜m＜4．
　　综上，m的取值范围是{m|0≤m＜4}.

能力提升：
　　11．C

　　12．； 　　　13．； 　　　14．[-1，0]

　　15．；　　　　　　　　 16．{x|x＜-3，或x＞-2}；{x|}

　　17．解析：
　　(1)由题意得：△=，即0＜a＜4；
　　(2)由x∈[-3，1]，f(x)＞0得，有如下两种情况：
　　　 或
　　　 综上所述：.

　　18. 解析：
　　当a=0时，原不等式即为-(x+1)＞0，解得x＜-1；
　　当a≠0时，原不等式为关于x的一元二次不等式，
　　方程(ax-1)(x+1)=0有两个实数根和.
　　(Ⅰ)当，即，时，
　　　　函数的图象开口向下，与x轴有两个交点，其简图如下：

　　　　故不等式的解集为；
　　(Ⅱ)当，即时，
　　　　函数的图象开口向下，与x轴有一个交点，其简图如下：

　　　　故不等式的解集为空集；
　　(Ⅲ)当，即，或，
　　　　①若，函数的图象开口向下，与x轴有两个交点，其简图如下：

　　　　　故不等式的解集为；
　　　　②若a＞0，数的图象开口向上，与x轴有两个交点，其简图如下：

　　　　　故不等的解集为；
　　　　综上所述，
　　　　当a＜-1时，不等式的解集为；
　　　　当a=-1时，不等式的解集为空集；

　　　　当-1＜a＜0时，不等式的解集为；
　　　　当a=0时，不等式的解集为；
　　　　当a＞0时，不等式的解集为.

综合探究：
　　19．解析：
　　原不等式可化为：

　　当a-1＞0时，原不等式的解为：或x＞2；
　　当-1＜a-1＜0时，原不等式的解为：；
　　当a-1=-1时，原不等式无解；
　　当a-1＜-1时，原不等式的解为：.

　　20．解析：
　　解不等式x2-2x-8＜0，得-2＜x＜4，所以A={x|-2＜x＜4}
　　解不等式x2+2x-3＞0，得x＜-3或x＞1，所以B={x|x＜-3，或x＞1}
　　所以A∩B={x|1＜x＜4}
　　解方程x2-3ax+2a2=0，得到x1=a, x2=2a，
　　由C(A∩B)，分如下两种情况讨论：
　　（1）C=ф，所以有x2-3ax+2a2≥0恒成立，
　　　　 对于方程x2-3ax+2a2=0，△＝a2≤0，
　　　　 ∴a＝0.
　　（2）C≠，所以有，
　　　　 从而得到。
　　综上所述，实数a的取值范围是