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“用字母表示数”结构教学的思考与实践转化
一、教材特点与学情分析
“用字母表示数”是代数学习的首要环节，是学生学习数学的重要转折点，即从算术的学习转向代数的学习，从对“数量”的理解转向对“关系”的探讨。学生掌握这部分内容，有利于以后方程、比例以及其他的代数知识的学习，也有利于体验数学表达的简练，发展学生的符号感。
“用字母表示数”作为代数知识的启蒙学习，是数学教学中对学生进行辩证思维教育的开端。苏教版教材安排这部分内容，是在学生认识许多简单数量关系，接触过一些字母式子如计算公式、运算律的基础上进行的。教材内容编排遵循知识的形成过程和学生的认知发展规律，先让学生理解字母可以表示数，并学习用含有字母的式子表示简单的数量、数量关系和计算公式；再联系一些稍复杂的数学问题，引导学生进一步学习用含有字母的式子表示稍复杂的数量、数量关系和计算公式，接着学习化简形如“ax±bx”这样含有字母的式子，既初步“涉足”代数式运算，又为后续学习解形如ax±bx=c的方程做准备。这部分内容教材在编排上具有以下特点：
1.螺旋上升，循序渗透，让学生提前接触用字母表示数。如果说数据符号是对生活中各种物体个数的抽象概括，那么代数式则是对各种数据符号的抽象概括，因此，这部分内容在表达上比较抽象。教材在安排学习“用字母表示数”时，字母并不是一下子很突兀地呈现于学生面前。在此之前，教学加法和乘法的运算律时，教材就已经引导学生用字母表示各运算定律；在第一学段学习长方形、正方形等平面图形的面积计算时，已经接触了用字母表示各图形的面积计算公式，这些都是学习“用字母表示数”的基础。
2.情境创设，激活思维，鼓励学生自己写出含有字母的式子，理解并学会用字母表示数。小学阶段，学生的数学思维从以具体形象思维为主向以抽象逻辑思维为主过渡，其抽象逻辑思维在很大程度上仍与感性经验直接相联系。为了便于学生联系已有的知识和经验完成用字母表示数这一认识上的飞跃，本单元教材提供的实际问题大多是学生在以往学习中曾经解决过，或是在日常生活中能够经常接触到的，数量关系简单明了，而且呈现方式直观形象。具体情境能激活学生已经积淀的算术层面对数量关系的理解，支撑学生在代数层面对数量关系的理解，既使新知“含有字母的式子”的学习过程有场景作依托，又使学生在读解式子时便于产生联想并理解和表述，在学习抽象的代数知识中感到言之有物，还能认识到代数的学习可以使我们对数量关系的表达更清晰，更简洁。
3.由易到难、由扶到放，让学生养成用字母表示数的意识和习惯。学生初学用字母表示数，会因不习惯而感到困难。因此，教材特别注意从最简单的开始，循序渐进、逐步递进。教材第99页的例题及随后的“想想做做”中，需要列出的含有字母的式子基本上只涉及一步运算，到第101页主要涉及两步运算，再到第105页则以三步运算为主。教学中先让学生经历由算式表示数量逐步过渡到用含有字母的式子表示数量的过程，再让学生直接用含有字母的式子表示数量和数量关系。这样安排利于学生在具体的情境中，不断加深对用字母表示数的方法的理解，逐步发展符号感。
4.重视帮助学生感受用字母表示数的必要性，完整经历从具体到概括，再从概括到具体的认识过程。教材从学生熟悉的生活中选择一些典型数量关系，先让学生从具体感知或实际问题开始，利用数量关系式列出算式，再通过改变具体的数量，引入用字母表示其中的数，抽象成相应的字母式子，完成数学化的过程。接着又反过来给定字母的值，要求求出含有字母的式子的值，让学生经历由抽象再回到具体的过程。学习的过程置于了一个学生能够体验的环境，从而在直观的感受中理解字母表达式所反映的数量关系，并会用代数的方式解决一些实际问题。这样的编排，便于学生集中注意“用字母表示数”以及“用含有字母的式子表示数量关系”的抽象概括过程，并对用字母表示数的数学价值有更为深刻的领悟。
本单元三次教学用字母表示数，无论是简单的还是复杂的含有字母的式子，其实都能表示数量或数量关系。教学中通过多次从部分到全体的联想，学生体会到字母表示数具有概括性的特征。因此，通过分析可以发现这三个例题之间内隐着的类知识结构，具体如下表。
“字母表示数”知识结构表

用含有字母的式子表示
求含有字母式子的值
数量
数量关系
计算公式等
一步计算的
（第一次学习）
表示独立搭三角形需要小棒的根数
表示剩下的千米数
表示正方形的周长和面积公式
口答根据字母的值求式子的值
两步计算的
（第二次学习）
表示稍复杂情境中搭三角形需要小棒的根数
表示按事情发生顺序描述的剩余橙汁的毫升数
表示面积计算公式
学习规范的求字母式子值的书写格式
三步计算的
（第三次学习）
表示摆a个三角形和摆a个正方形一共用的根数
表示乘法分配律
学会先化简再求值
——
（中学学习）
——
然而在实际的学习中，由于小学生在学习“用字母表示数”之前，主要是“学习具体过程”层面的思维方式，形成的思维定势是列出的算式一定要算出确定的结果。这种思维方式对将一个代数式作为思考的对象，是不能接受的，学生总觉得“这还没有算完呢”。“用字母表示数”要求思维从“过程”层面向“关系”层面转变，“学习对象关系”层面的思维方式更多地关注算法本身，结果是多少是次要的。英国的儿童数学概念发展水平研究小组(CSMS)曾经对3000名13岁至15岁的学生使用字母的情况做过调查研究，研究表明，大多数学生是把字母当作具体的对象，只有少部分学生把字母看作广义的数，把字母看作变量的就更少了。正如一位教授所言，“字母表示数”是一个非常丰富而又“难产”的概念。因此，学生学习这部分内容的困难是显而易见的。由此，我们建立这样的认识：学生经历从用数字表示数到用字母表示数的过程是漫长的，需要经历大量运用字母表示具体情境中数量关系的活动，积累丰富的经验，在具体情境中反复体会用字母表示数的意义；学生对用字母表示数的理解，需要在经历活动中实现。学生具体学习特点如下：
1.认识字母表示数需要逐步引导。首先，需要通过常见的、简单的、容易理解的实例，让学生依据简单的数量关系，体会每个实例中字母的具体含义，认识可以用字母表示相应的数，并了解字母式子的意义。其次，需要根据稍复杂的数量关系的表达，引入用字母表示其中某个量的数，让学生进一步体会各例题里字母的含义，加深对字母表示数的认识和理解，并在多次经历从部分到整体的联想中体会字母表示数具有概括性的特征。再次，在求含有字母式子的值中，让学生理解当式子里的字母确定一个值以后，式子就有相应的一个得数，在经历从概括到具体的认识过程中体会字母的值影响式子的值。
2.认识字母表示数需要经历数学化的抽象过程。从“算术”到“代数”是学生数学思维质的变化，需要在操作、感知的基础上引入用字母表示，注意引导联系实际数量关系理解字母及字母式子的实际含义。如借助具体操作和直观体验，使学生可以直接感受摆图形一共用的小棒根数，学会字母式子的简单运算。这样学生才能从具体感知或实际问题开始，利用原有认识列出算式，引入字母表示其中的数，抽象成相应的字母式子，完成数学化的过程，从而发展符号感。
二、育人价值与目标分解
通过对这部分知识结构和学生学习特点的分析，我们认为用字母表示数”教学的育人价值至少包含两个方面：
1.突出数学化过程，发展学生的符号感。从具体的数到抽象概括的字母，表达形式的递进背后，意味着思维方式的提升。这一数学活动的过程，帮助学生从“算术”走向“代数”，有利于体验数学表达的简练，促进学生体验数学的概括性和抽象性，发展符号感，从而达到数学课程标准中所规定的要求：“能从具体的情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所表示的数量关系和变化规律”。
2. 蕴涵数学思想，培养学生的建模思想。“列含有字母的式子”可以使学生体会用字母能简洁地表示实际问题中的数量关系，方便地表达一般规律，是对数量关系的概括性表述。而在“求含有字母的式子的值”的学习中，通过将每一个变量取定一个数值代入式子，经运算而获得一个确定的值，使学生体会“对应”思想，领悟“变化”与“确定”之间的辩证关系。通过对“求含有字母的式子的值”操作过程的描述，即以具体的数值代替字母，经运算而获得含有字母的式的值，可以使学生初步感受“换元”的策略。因此，这一部分知识内容的学习，可以帮助学生加深对代数思想方法的理解，学生的数学素养也将得到更好的提升，从而达到“数学教学不能满足于单纯的知识灌输，而是使学生掌握数学最本质的东西，用数学思想和方法统串具体知识、具体问题的解法，循此培养和发展学生的数学能力”。
总之，在用字母表示数的教学中，有意识地渗透了符号化、对应、换元等思想方法，既加深学生对“字母表示数”的理解，又促进他们接触、了解代数的研究方法，初步体会相应的数学思想方法的精神实质。
为了更好地实现“用字母表示数”教学的育人价值，我们对学生在学习中可能遇到的困难与障碍进行了具体分析，并根据相关的教学内容确定了“用字母表示数”教学的分解目标。具体如下表。
“用字母表示数”教学目标分解表
内容
用字母表示数（1）
用字母表示数（2）
用字母表示数（3）
影响认知的
学生因素
1.对运用具体数据去表示一个量的思想根深蒂固，从而造成在接收字母表示数这个新的信息时，会有一定的冲击。
2.从具体的事例中抽象出数学模型，学生有一定的难度。
1 不习惯用未知量表示数量、分析数量关系，对一些稍复杂的数量关系也不熟悉，影响用字母（表示数）刻画实际问题的代数模型的建立。
2.不习惯用代入法求含有字母式子的值的书写格式。
1.判断含有字母的式子是否需要化简的敏感较弱。
2.对一个简单的代数式意义作出解释也有困难。
目标
分解
1.初步理解用字母表示数的必要性，经历用字母表示数的抽象概括过程，学会用含有字母的式子表示简单的数量、数量关系以及计算公式。
2.初步学会根据字母所取的值，求简单的含有字母的式子的值。
3.在运用简单符号语言进行表达和交流的过程中，体会数学与实际问题的密切联系，感受数学表达式的严谨性、概括性以及简洁性。
1.进一步掌握用字母表示数的方法，增强用字母表示数的敏感，加深对用字母表示的数量、数量关系以及计算公式的理解。
2.学习根据字母所取的值，求含有字母的式子的值的方法，掌握正确的书写格式。
3.进一步学习用符号语言进行表述、交流，学会数学思考的方法，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
1.进一步加深对含有字母的式子的理解，提高用含有字母的式子表示数量及数量关系的能力。
2.经历化简形如“ax±bx”的式子的方法的探索过程，学会化简这样的式子，并能根据字母的位置判断是否进行化简。
3.加强对数学抽象性与概括性的认识，能对一个简单的代数式作出解释，提高抽象思维的水平。
三、结构推进与教学设计
基于对“用字母表示数”知识结构、学情分析和育人价值的解读，为了更好地让学生了解“用字母表示数”这一学习内容的知识背景框架，更加主动地把握、熟练地运用并内化结构化的认识，教学中可以采用“长程两段式”（详见本书第一章第2节）的策略推进。第一次学习“用字母表示数”时，可以从熟悉的生活情境引入，让学生经历由具体的数到抽象的字母、由具体的乘法算式到含有字母的乘法式子的过程，并结合不同的情境，体会字母取值的灵活性，最后回顾归纳，了解学习过程展开的逻辑顺序，体会蕴含其中的数学思想。第二次学习时，可以引导学生类比“用含有字母的式子表示一步计算的数量、数量关系和计算公式”的学习方法结构（情境引入，初步感知数量关系→具体到抽象，认识代数式的本质特征→抽象到具体，体会字母取值的灵活性→丰富情境，培养代数式运用的意识和习惯→回顾梳理，归纳学习过程结构）和数学思想方法（符号化、对应、换元等），尝试将方法结构进行主动迁移，展开“用含有字母的式子表示两步计算的数量、数量关系和计算公式”的学习。第三次学习，学生基本能自觉进行类比迁移。在教学推进的过程中，最重要的是根据学生当下的状态体现过程结构的灵活性和目标设计的递进性，如“代数式的本质特征”与“字母取值灵活性的体会”到第三次学习时基本可以合二为一，对“根据字母求值”的认识也是由“口头回答初步认识”到“学习规范格式”再到“先化简再求值”。具体结构推进设计如下表。
“用字母表示数”教学结构推进设计表
内容
用字母表示数（1）
用字母表示数（2）
用字母表示数（3）

过
程
结
构
情境引入

根据熟悉的一步计算解决问题的情境，分析不同的乘法算式表示每次一共用的小棒的根数。
借助直观两步计算解决问题的情境，列出小棒的根数与所搭三角形个数之间关系的代数式。
直接利用例题提供的字母信息，列出表示一共需要小棒的根数。
由具体到抽象

通过改变数据引出字母表示，并抽象“翻译”成用字母（表示数）刻画实际问题中小棒的根数与三角形个数变化规律的代数式。
根据具体情境中的数量关系列出表示剩余橙汁的代数式，借助直观比较初步体会不同的代数式可以表示相同的数量关系，而同一个数量可以用不同的式子来表示。
用已有的知识自觉分析两个表示同一数量的不同代数式，在分析中理解并掌握基本的化简方法，自觉体会化简的必要性，感受化简的价值。
由抽象到具体

通过解决实际问题，进一步引导学生体会“用字母表示数”建模思想的基本过程，并初步体会字母的取值范围，初步尝试学习字母求值的过程（口答过程）。
根据给定字母的值求代数式的值，比较体会有些式子简洁，有些则不够简洁，同时学会并掌握字母求值的方法和规范的书写格式。
丰富情境

结合具体的问题情境，丰富和拓展对用字母表示数的认识，积累感性认识，强化用字母表示数的意识和习惯。
结合不同实际问题情境，从不同角度加深对用含有字母的式子所表示的数量及数量关系的理解。
借助一些实际问题，在说图意、说代数式意义的基础上进一步增强运用字母表达式解决问题的意识，掌握化简含有字母的式子的方法。

归纳学习过程
师生共同回顾学习过程，了解教学过程展开的逻辑顺序。
师生共同回顾学习过程，清晰教学过程展开的逻辑顺序。
回顾总结，主动沟通前后知识间的联系，从整体上把握本单元学习内容。

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