1、
第十二讲 圆中角
一、知识梳理
知识点1．圆周角：顶点在圆周上且
角的两边都和圆相交，这样的角叫做圆周角.
判断右图中的各个角是不是圆周角？
并说明理由.
知识点2．定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
（1）、发现圆周角定理：
A
C
B
O
A
·
O
C
B
（2）推论：
1、直径所对的圆周角是直角；
2、90°的圆周角所对的弦是直径。
3、直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半；
4、如果一个三角形
2、的一条边上的中线，等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
5、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
A
C
D
B
E
6、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
7、一条弧所对的圆周角大于它所对的圆外角，小于所对的圆内角。
8、圆内接四边形对角互补，一个外角等于它的内对角；
C
A
E
D
O
B
9、对角互补的四边形，四个顶点在同一个圆上。
二、典例精讲：
例1、（1）已知，如图，和是⊙O的两条直径，弦，
求证： AC=AE
例2、已知，如图，是的弦，是的直径，且，
是延长线上一点
3、交于，交于，
求证：
A
G
P
B
C
D
E
例3．如图，已知是的割线，直径于，交于，连接
（1）求证：
（2）求证：
（3）若的半径为，，，求的长
B
C
E
D
O
A
变式训练：
1、内接于⊙O，直径交于，求证：
2．如图，AD是△ABC的边BC上的高，AE是△ABC外接圆O的直径，EF⊥BC于点F．
（1）求证：BF=CD；
（2）若CD＝1，AD＝3，BD＝6，求⊙O的直径．
4、
A
B
P
C
M
3．如图，点P为等边△ABC外接圆周劣弧BC上的一点．
（1）求∠BPC的度数；
（2）求证：PA＝PB＋PC；
（3）设PA，BC交于点M，若AB＝4，PC＝2，求CM的长度．
4．如图，在锐角△ABC中，AC是最短边，以AC中点O为圆心， AC长为半径作⊙O，交BC于E，过O作OD∥BC交⊙O于D，连结AE、AD、DC．
O
A
B
D
C
E
F
（1）求证：D是的中点；
（2）求证：∠DAO＝∠B＋∠BAD；
（3）若 ＝ ，且AC＝4，求CF的长.
5、
O
A
B
C
G
E
H
D
5．已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧上取一点E使∠EBC＝∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H．
（1）求证：AC⊥BH；
（2）若∠ABC＝45°，⊙O的直径等于10，BD＝8，求CE的长．
6、已知，如图所示，BC为圆O的直径，AD⊥BC,垂足为D，弦BF和AD交于E，且AE=BE。
（1） 试猜想：弧AB与弧AF有何大小关系？并证明你的猜想；
（2） 若BD、CD的长是关于x的方程的两个根，求BF的长；
A
E
6、A
F
D
B
C
（3） 在（2）的条件下，若k为整数，且满足，求sin2∠A的值。
三、中考链接与创新探究（名校、名书、名题、中考、培优、竞赛）
、如图：中，，，，的平分线交
的外接圆于点。求弦的长；
、已知：为半圆上一点，，过点作直径的垂线，为垂足，弦
分别交、于点、；
（1）求证：;
（2）若，，求的长；
·
A
B
C
D
E
O
F
P
3、已知：如图，DABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交
7、AC于点F，交
⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．
（1）求证：∠DAC ＝∠DBA；
（2）求证：是线段AF的中点；
（3）若⊙O 的半径为5，AF ＝ ，求tan∠ABF的值．
作业
第一部分：
1.下列命题中，正确的是（ ）
、长度相等的两条弧是等弧； 、平分弦的直径垂直于这条弦；
、如果两个圆心角相等，则它们所对的弦也相等；、等弧所对的圆周角相等；
（2）
2.（2007威海）如图，是⊙O的直径，点都在⊙O上，若，
则 º．
8、
3题
3. （2012年吉林省）如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=6．将扇形OAB沿过点B的直线折叠．
点O恰好落在弧AB上点D处，折痕交OA于点C，求整个阴影部分的周长和面积．
第二部分：
4.（2011浙江嘉兴）如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB分别交OC于点E，交弧BC于点D，连结CD、OD，给出以下四个结论：①S△AEC=2S△DEO；②AC=2CD；③线段OD是DE与DA的比例中项；④．其中正确结论的序号是 ．
第三部分：
5.某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面.
(1)请你补全这个输水管道的圆形截面；
(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径.
6
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