听懂了、看懂了不等于学会了.doc

论 文

“听懂了、看懂了≠学会了”
——谈解题后的反思对提高数学学习效益的作用

福建省龙岩市连城县四堡中学沈在泉收
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“听懂了、看懂了≠学会了”
——谈解题后的反思对提高数学学习效益的作用
有这样一个故事：一只贪心的熊，来到一块地里偷玉米，它掰了两个玉米棒放在腋下，就这样一个劲地掰呀掰，地里的玉米棒几乎被它掰光了，它也累得气喘吁吁，当它兴高采烈地回来请功时，却遭到了老熊的冷眼和同伴的嘲讽，这时它才注意到自己只收获了可怜的两个玉米棒。我们现在好多学生的情况正如这只熊一样：上课听得懂、作业也会做、看例题都看得懂、练习做了一题又一题，可数学成绩却迟迟得不到提高，为什么会这样呢？原因就在于，我们学生的学习只是停留在表面。上课看似听懂了、例题、习题、笔记都看得懂，可并不是真正学会了。由于我们学生的年龄特征及数学认知结构水平的限制，再加上非认知因素的影响，学生在数学学习中往往表现出对基础知识不求甚解，不善于（有的是不愿意）对自己的思路进行反思，不会评价和判断自己思考方法的优劣，也不善于找出和纠正自己的错误。学生在运用数学知识解决问题时，往往缺乏解题后对解题方法、解题中反映出的数学思想方法、特殊问题所包含的一般意义等的概括，导致获得的知识系统性减弱、结构性差。因此，为了提高数学学习效率，必须加强正确的解题思想教育，使学生养成解题后反思的好习惯。
学习数学离不开解题，解题就是解决问题。解题是获得知识和技能的重要途径，一般包括对问题情境的认识、思想方法的探求、解题

行动的实施和解题后的反思等环节。解题后如能及时总结反思，必能
收到事半功倍的效果。那么，解题后，怎样去进行反思呢﹖
一、反思解题本身是否正确。
由于在解题的过程中，可能会出现这样或那样的错误，因此在解完一道题后就很有必要审查自己的解题是否混淆了概念，是否忽视了隐含条件，是否特殊代替一般，是否忽视特例，逻辑上是否有问题，运算是否正确，题目本身是否有误等。这样做是为了保证解题无误，这是解题后最基本的要求。学习中应有意识地选用一些错解或错题，进行解题后反思，使我们真正认识到解题后反思的重要性。
例如，的平方根是＿＿＿。许多学生会马上填上±2，结果就错了。因此解完这一道题后就很有必要对几个式子（、、±）的意义进行重新理解。
又如分式方程的增根问题，也是考试的热点。所以，我们在学习时就要搞懂分式方程为什么要检验？是什么导致它会出现增根呢？这就需要反思。经过反思，我们知道了以下几点：（1）去分母是导致分式方程出现增根的主要原因。（2）增根是使得分式方程的分母为0的值。（3）增根不是分式方程的根，但它是分式方程转化成的整式方程的根。（4）含有字母系数的分式方程的解题思路：把分式方程化为整式方程→把增根代入到整式方程→求出字母的值。如：（1）若方程有增根，则= ．又（2）若关于的分式方程无解，则 ．

一个数学问题解决之后，有意识地去反思，并归纳总结其基本解
题规律，远比单纯解几道题的意义更大。它的价值在于不仅是掌握了解这类数学问题的基本规律，而且又培养了从特殊到一般的数学思想方法。
二、反思有无其它解题方法。
对于同一道题，从不同的角度去分析研究，可能会得到不同的启示，从而引出多种不同的解法。当然，我们的目的不在于去凑几种解法，而是通过不同的观察侧面使我们的思维触角伸向不同的方向，不同层次，发展自己的发散思维能力。
例如：八年级时，要我们证明两条线段相等，我们马上会想到证明两条线段所在的两个三角形全等，即一句话：要相等、找全等。可随着知识的积累，在具体的练习后，我们要对知识进行反思。证明两条线段相等有以下几种思路：（1）三角形全等。（2）等角对等边（适用在所要证的两条线段呈“V”型）。（3）中间转换（a=b、b=c→a=c）。（4）在直角坐标系中，可以通过两点间的距离公式进行计算。（5）在圆中，如果线段是弦，就要想到可否由弧、圆心角、弦心距相等，推出两线段相等。在解题中，如果能提炼出以上几点，那么在解决两线段相等问题上，便可迎刃而解。
又如，中考中的网格问题，常把一个图形进行旋转90º，此类问题在实际解题中发现，方法是多样的：（1）可以借助图形中的每一条线段为对角线的矩形，把问题转化为矩形旋转90º。（2）可以把图形

中各顶点与旋转中心连接，过旋转中心做这些线的垂线，然后在这些
垂线上截取出长度相等的对应的点。（3）通过练习发现，变化前后，点的坐标是有规律的：横、纵坐标交换，符号看象限。所以，我们在解题的过程中，要善于反思，从不同的角度去分析问题，只有这样才真正把知识掌握了，这样才真正学会了。
三、反思结论或性质在解题中的作用。
有些题目本身可能很简单，但是它的结论或做完这道题目本身用到的性质却有广泛的应用，如果仅仅满足于解答题目的本身，而忽视对结论或性质应用的思考、探索，那就可能会“拣到一粒芝麻，丢掉一个西瓜“。如一个阅读理解题： 解方程：
解：原方程变形为：

即：
利用上式左端的非负性，可解得：

那么我们阅读后就应对上述材料的解法进行一个反思，它就是考查非负数的性质。方向很明确，只要通过一些小小的变式就可以了，如拆项法等等。因此我们可以利用上述材料解决一类问题，如：
（1）已知，求之值。
（2）若，求的值。
（3）已知，求的值。

（4）若a、b、c为三角形三边，且，求证此三角形为等边三角形。
所以，我们在解题后，应该要反思与该题同类的习题，进行对比，分析其解法，找出解答这一类题的技巧和方法，只有这样才能达到举一反三、触类旁通的目的。
四、反思题目能否变换引申 。
改变题目的条件，会导出什么新结论；保留题目的条件结论能否进一步加强；条件作类似的变换，结论能扩大到一般等等。象这样富有创造性的全方位思考，常常是我们发现新知识、认识新知识的突破口。如一类含有字母系数的方程，也是考试的重点，但却总是经常出错。例如：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( )。（A）（B）且（C）（D ）且 。学生们经常选择（A）的答案，这时，我们要进行解题后的反思，含有字母系数的一元二次方程，要注意“两不忘”，一不忘二次项系数不为零，二不忘验证方程的判别式。同时要注意此类问题的前提是“一元二次方程”。倘若条件变了，你又会发现，结论又不一样了。把上面的题目改为：若关于的方程有实数根，则的取值范围是( )。（A）（B）且（C）（D ）且 。所以我们在解题后要对题目的条件和结论进行再分析，如果条件变了，结论还成立吗？条件和结论可以互换吗？这样，我们的思维才会变活、变宽。

五、反思解决问题的思维方法能否迁移。
解完一道题目后，不妨深思一下解题程序，有时会突然发现：这
种解决问题的思维模式竟然体现了一种重要的数学思想方法，它对于我们解决一类问题大有帮助。如特殊值法是填空、选择题中的一种有效方法，但我们也可以把这种思想迁移到一些综合题中去，就是当一个问题中我们无从下手时，可以把问题特殊化，想一想，当它为特殊的时候，是怎么证明的，然后把这种思路迁移到一般情况的时候。这就体现一种由特殊到一般的数学思想。
六、反思知识的积累。
学数学，虽然我们不提倡死记硬背的学习方式，但这并不是说，学习不需要记忆了，适当的、必要的记忆不仅不会增加学习负担，而且可以提高学习效率。解题之后，我们需要记忆的有：有关的知识点；习题揭示的重要结论或规律；常见的重要解题方法；解题过程中的奇思巧解；错解原因分析。有些问题，解毕之后应反思这个问题可否推广到一般情形，若能则将之转化为结论，并牢记之，解填空、选择题时，可直接运用这些结论解之，这样可提高解题速度和正确性，挤出时间解大题或难题；解大题时，这些结论可作宏观上的调控，保证结果的正确性，提高解题思维的方向性。
总之，在数学解题中，同学们应学会解题后再分析、再反思的方法，养成反思的良好习惯，不仅能有效地对知识、技能的深化理解，而且对训练思维，提高学习效率，都具有非常特殊的功效。