排列组合问题的解题技巧.docx

排列组合问题的解题技巧　　
陕西武功    梁小宁　　
排列组合问题历来是高中数学教学的一个难点，其思考方法独特,求解思路灵活,因而在解题中极易出现“重复”或“遗漏”的错误.虽然近几年高考将侧重点放在两个计数原理的考察上,但当对问题类型把握准确时,解答的准确性上将会有很大的提升,解答速度也会大大提高.以下介绍几类典型排列组合问题的解答技巧:　　
　　1、相邻问题捆绑法　　
　　例1　6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（ ）种。　　
　　A、720　　B、360　　C、240　　D、120　　
　　解：因甲、乙两人要排在一起，故将甲乙两人捆在一起视作一人有　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　种排法，与其余四人进行全排列有　 　　　种排法，由乘法原理可知，共有　 　　　　　　　 =240种不同排法，故选（C）。　　
　　点评：从上述解法可以看出，所谓“捆绑法”，就是对元素进行整体处理的形象化表述，体现数学中的整体思想。对于以“某些元素必须相邻”为附加条件的排列组合问题，只要把必须相邻的元素“捆”成一个整体，视作一个“大”元素，再考虑相邻元素内部的排列或组合，就能保证这些元素相邻而不散乱。　　
　　训练：    3名男教师，3名女教师，6名学生站成一排，要求男教师和女教师必须站在一起，且教师不站在两端，则一共有多少种站法？　　
2、相隔问题插空法　　
　　例2　排一张5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单　　
（1）   任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？　　
（2）   舞蹈节目和歌唱节目间隔排列的方法有多少种？　　
解:(1)先排歌唱节目有　 　　　种，歌唱节目及两端有6个空位，从这6个空位中选4个放入舞蹈节目，共有　 　　　种方法，所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法有　 　　　种。　　
(3)先排舞蹈节目有　 　　　种排法，在舞蹈节目和两端有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入，所以舞蹈节目和歌唱节目间隔排列的方法有　 　　　种。　　
训练：若将例题当中的“4个舞蹈节目”改为“5个舞蹈节目”，求舞蹈节目和歌唱节目间隔排列的方法有多少种？　　
点评：从解题过程可以看出，“插”的策略是解决排列与组合中若干特殊元素互不相邻问题的常用手段。在具体操作时，可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素“插入”到它们的间隙及两端位置，从而保证它们不相邻。　　
　3、限定问题优限法　　
　　例3　由数字0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字的四位偶数？　　
解：因所求是偶数，所以个位必须是0，2，4中的任何一个，又首位不能为0，所以分个位为0时有　 　　　种，个位不为0时有　 　　　种。所以共有　 　　　种。　　
点评：所谓“优限法”，即有限制条件的元素（或位置）在解题时优先考虑，本题对四位偶数中的个位数字有特殊要求，首位数字又不能为0，故优先考虑。　　
训练 本例条件不变，问题改为“求能组成多少个无重复数字且比2000大的四位偶数？”，应如何求解？　　
4、多元问题分类法　　
例4  三边长均为整数,且最大边长为11的三角形有多少个?　　
解:设三角形的另外两个边分别为x和y,且不妨设　 　　　,要构成三角形,必有　 　　　则分类讨论如下：　　
当y为11时，x可以为：1,2,3,…,11,可有11个三角形；     　　
当y为10时，x可以为：2,3,4,…,10,可有9个三角形；     　　
　　　　　　当y为9时，x可以为：3,4,5,…,9,可有7个三角形；     　　
当y为8时，x可以为：4,5,6,7,8,可有5个三角形；     　　
当y为7时，x可以为：5,6,7,可有3个三角形；     　　
当y为6时，x可以为：6,只有1个三角形；     　　
所以所求的三角形有11+9+7+5+3+1=36个。　　
点评：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求，分成互不相容的几类情况分别计算，最后总计。　　
训练  某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分,如图,现要栽4种不同颜色的花,每一部分栽种一种且相邻部分不能栽同种颜色的花,不同的栽种方法有多少种?　　
5、标号排位问题分步法　　
   例5  同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡的分配方式有（    ）　　
   A. 6种      B. 9种      C. 11种  D. 23种　　
   解：此题可以看成是将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，且每个方格的标号与所填数不同的填法问题。所以先将1填入2至4号的3个方格里有　 　　　种填法；第二步把被填入方格的对应数字，填入其它3个方格，又有　 　　　种填法；第三步将余下的两个数字填入余下的两格中，只有1种填法。故共有3×3×1=9种填法，而选B。　　
点评：把元素排在指定号码的位置上称为标号排位问题。求解这类问题可先把某个元素按规定排放，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成。　　
训练: 将标有1,2,…10的10个小球投入同样标有1,2,…10的圆筒中,每个圆筒都不空,且所投小球与圆筒标号均不相同的投法共有多少种?　　
6 自由选择问题住店法　　
例6 现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同的选法的种数是（      ）　　
A 　　　　     B  　　　　       C 　　　　      D 　　　　　　
解：6名同学每人都可以在5个课外知识讲座中任选一种，所以均有5种选法，故总共有　 　　　种，选 A 。　　
点评：自由选择问题可以看成“顾客住店”问题。每名顾客(元素)都可以任意选择旅店(位置)，因而每个元素都有位置数种选法，所以总方法为　 　　　种。　　
训练:某同学要将标有1,2,3,4,5,6的6封信投递出去,现有三个不同的信箱供选择,则有多少种不同的投递方法?　　
7 分配问题隔板法　　
例7 高一年级7个班级要组成篮球队,共需10名队员,每个班级至少要出一名,则不同的组成方法共有多少种?　　
解: 由于10名队员来自于7个不同的班级,每一个班级至少要一名,所以问题相当于将10名队员分成7组,10名队员并排站立中间有9个空格,在这9个空格中插入6个隔板就将10名队员分成了7组,每一组来自于一个班级,即得到了不同的组成方法共计　 　　　种.　　
点评：“隔板法”所解决的问题有以下特征：（1）被分的元素不加以区别；（2）被分的元素的个数不小于分得的组数；（3）每个小组至少分得一个元素。具备这些条件时就可以用公式：将　 　　　个相同元素分成　 　　　份　 　　　时，有　 　　　种分配方法　　
训练: 将10个相同的小球装入3个编号分别为1,2,3的盒子当中,每次将10个球装完,每个盒子里的球的个数都不小于合资的编号数,则不同的装法共有多少种?　　
8 定序问题缩倍法　　
　　例8　A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果B必须站在A的右边A、B可以不相邻），那么不同的排法的种数是（）　　
　　（A）24　　（B）60　　（C）90　　（D）120　　
　　解：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即 60种，故选（B）。　　
　　点评：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题，这类问题用缩小倍数的方法解决比较方便快捷。　　
训练: 从1,2,3,4,5五个数字当中任选3个组成一个三位数,其中十位比个位数字大的三位数共有多少个?　　
9 有序分配问题逐分法　　
例9　有6本不同的书,按照以下要求处理,各有几种分法?　　
(1)     平均分给甲、乙、丙三人　　
(2)     甲得一本，乙得两本，丙得三本；　　
解：（1）每人得2本，可考虑甲先在6本书中任取2本，取法有　 　　　种，再由乙在余下的书中取2本，取法有　 　　　种，最后由丙取余下的2本，有　 　　　种取法，所有取法为　 　　　种。　　
（2）选取方法同（1），所以共有取法数为　 　　　种。　　
　点评：有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，常采用逐步分组法求解。　　
训练：有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名英、日都精通，从中找出8人，使他们能组成两个翻译小组，其中4名翻译英语，另外4名翻译日语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单共可开出几张？　　
10 匹配问题配对法 　　
例10 从6双不同型号的鞋中任取4只，其中恰有两只配成一双的取法有多少种？　　
解：先在6双鞋中任取一双有　 　　　种取法，再在余下的5双中任取两双，每双中各取一只有　 　　　种取法，所以总取法有　 　　　种。　　
点评：“配对法”就是将两个相关元素之间建立一一对应关系，如鞋子配对，钥匙和锁配对，比赛选手和比赛场次配对等，利用这些对应关系，使得比较杂乱的问题简单化，解答思路明晰化，能够将难度分步化解，提升解答准确度。　　
训练：有111名选手参加乒乓球比赛，比赛采取单淘汰制，需要打多少场比赛才能产生冠军?　　
11 选排问题先选后排法　　
   例11  有6名男医生，4名女医生，从中选3名男医生和两名女医生到5个不同的地区巡回医疗，但规定男医生甲不能到地区A，共有多少种不同的分派方法？　　
解：分两类：　　
第一类：甲被选，共有　 　　　种分派方法；　　
第二类：甲未被选，共有　 　　　种分派方法；　　
所以共有　 　　　种分派方法。　　
   点评：本题中不仅要选出5名医生（元素），还要求分配到5个地区（空位），因此是一道“既选又排”的排列组合综合问题，解决这类问题的方法是“先选后排”，同时要注意特殊元素、特殊位置优先安排的原则。　　
训练:从1到9的九个数字当中取出三个偶数四个奇数，试问：　　
（1）   能组成多少个没有重复数字的七位数？　　
（2）   上述七位数当中三个偶数排在一起的有几个？　　
（3）   （1）中的七位数当中，偶数排在一起奇数也排在一起的有几个？　　
12、至少问题间接法　　
   例12 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长。现从中选5人主持某种活动，至少有一名队长当选的选法有多少种？　　
解：在选取的人员当中，总的选法有　 　　　种，不包含队长在内的有　 　　　，所以总的选法有　 　　　种。 　　
训练： 从甲、乙等10名同学当中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有多少种？　　
点评：含“至多”或“至少”的排列组合问题，通常用分类法,但是往往分类较多,讨论起来难度较大。本题所用的解法是间接法，即排除法（总体去杂），适用于反面情况明确且易于计算的情况。　　
13多排问题单排法　　
　　例13　两排座位，第1排3个座位，第2排5个座位。若8名学生入座（每人1个座位），则不同的座法有多少种？　　
解：因8名学生可以在前后两排座位中随意入座，再无其他条件，所以两排座位可以看成一排来处理，故不同的座法有　 　　　种。　　
　　点评：把元素排成几排的问题，限定条件若不影响问题归结为一排考虑，那么就将多排问题化为一排，再分段处理。　　
训练：12名同学合影，站成前排4人，后排8人。　　
（1）   总共有多少种不同的站法？　　
（2）   摄影师要从后排8人中抽调2人到前排，其他人顺序不变，总共有多少种调整方法？　　
14交叉问题集合法　　
　　例14　从6名运动员中选出4名参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方法？　　
　　解：设全集I={6人中任取4人参赛的排列}，A={甲跑第一棒的排列}，B={乙跑第四棒的排列}，根据求集合元素个数的公式可得参赛方法共有：　 　　　（种）。　　
　　说明：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数的公式：　　　　来求解。　　
训练：从7名运动员当中选出4人参加4×100米接力，求满足下列条件的安排方法数：（1）甲、乙二人都不跑中间两棒；（2）甲、乙二人不都跑中间两棒。　　
15 多排问题剔重法　　
例15 用5个数字0，1，1，2，2，组成的五位数总共有多少个？　　
解：特殊元素0先排，不能排在万位，有　 　　　种排法，1与2共有　 　　　种排法，剔除掉11与22的重复排列，共得五位数有　 　　　个。　　
点评：元素在排列过程当中出现重复排列称之为多排，所以在总排列数当中应该剔除掉重复排列。　　
训练：从1，2，3，4，…，100这100个自然数当中，每次取出两个不同的数相乘，积是5的倍数的取法有多少种？　　
由于排列组合问题考察思维灵活，排列组合问题的解题技巧　　
陕西武功    梁小宁　　
排列组合问题历来是高中数学教学的一个难点，其思考方法独特,求解思路灵活,因而在解题中极易出现“重复”或“遗漏”的错误.虽然近几年高考将侧重点放在两个计数原理的考察上,但当对问题类型把握准确时,解答的准确性上将会有很大的提升,解答速度也会大大提高.以下介绍几类典型排列组合问题的解答技巧:　　
　　1、相邻问题捆绑法　　
　　例1　6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（ ）种。　　
　　A、720　　B、360　　C、240　　D、120　　
　　解：因甲、乙两人要排在一起，故将甲乙两人捆在一起视作一人有　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　种排法，与其余四人进行全排列有　 　　　种排法，由乘法原理可知，共有　 　　　　　　　 =240种不同排法，故选（C）。　　
　　点评：从上述解法可以看出，所谓“捆绑法”，就是对元素进行整体处理的形象化表述，体现数学中的整体思想。对于以“某些元素必须相邻”为附加条件的排列组合问题，只要把必须相邻的元素“捆”成一个整体，视作一个“大”元素，再考虑相邻元素内部的排列或组合，就能保证这些元素相邻而不散乱。　　
　　训练：    3名男教师，3名女教师，6名学生站成一排，要求男教师和女教师必须站在一起，且教师不站在两端则一共有多少种站法？　　
2、相隔问题插空法　　
　　例2　排一张5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单　　
（1）   任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？　　
（2）   舞蹈节目和歌唱节目间隔排列的方法有多少种？　　
解:(1)先排歌唱节目有　 　　　种，歌唱节目及两端有6个空位，从这6个空位中选4个放入舞蹈节目，共有　 　　　种方法，所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法有　 　　　种。　　
(3)先排舞蹈节目有　 　　　种排法，在舞蹈节目和两端有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入，所以舞蹈节目和歌唱节目间隔排列的方法有　 　　　种。　　
训练：若将例题当中的“4个舞蹈节目”改为“5个舞蹈节目”，求舞蹈节目和歌唱节目间隔排列的方法有多少种？　　
点评：从解题过程可以看出，“插”的策略是解决排列与组合中若干特殊元素互不相邻问题的常用手段。在具体操作时，可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素“插入”到它们的间隙及两端位置，从而保证它们不相邻。　　
　3、限定问题优限法　　
　　例3　由数字0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字的四位偶数？　　
解：因所求是偶数，所以个位必须是0，2，4中的任何一个，又首位不能为0，所以分个位为0时有　 　　　种，个位不为0时有　 　　　种。所以共有　 　　　种。　　
点评：所谓“优限法”，即有限制条件的元素（或位置）在解题时优先考虑，本题对四位偶数中的个位数字有特殊要求，首位数字又不能为0，故优先考虑。　　
训练 本例条件不变，问题改为“求能组成多少个无重复数字且比2000大的四位偶数？”，应如何求解？　　
4、多元问题分类法　　
例4  三边长均为整数,且最大边长为11的三角形有多少个?　　
解:设三角形的另外两个边分别为x和y,且不妨设　 　　　,要构成三角形,必有　 　　　则分类讨论如下：　　
当y为11时，x可以为：1,2,3,…,11,可有11个三角形；     　　
当y为10时，x可以为：2,3,4,…,10,可有9个三角形；     　　
　　　　　　当y为9时，x可以为：3,4,5,…,9,可有7个三角形；     　　
当y为8时，x可以为：4,5,6,7,8,可有5个三角形；     　　
当y为7时，x可以为：5,6,7,可有3个三角形；     　　
当y为6时，x可以为：6,只有1个三角形；     　　
所以所求的三角形有11+9+7+5+3+1=36个。　　
点评：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求，分成互不相容的几类情况分别计算，最后总计。　　
训练  某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分,如图,现要栽4种不同颜色的花,每一部分栽种一种且相邻部分不能栽同种颜色的花,不同的栽种方法有多少种?　　
5、标号排位问题分步法　　
   例5  同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡的分配方式有（    ）　　
   A. 6种      B. 9种      C. 11种  D. 23种　　
   解：此题可以看成是将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，且每个方格的标号与所填数不同的填法问题。所以先将1填入2至4号的3个方格里有　 　　　种填法；第二步把被填入方格的对应数字，填入其它3个方格，又有　 　　　种填法；第三步将余下的两个数字填入余下的两格中，只有1种填法。故共有3×3×1=9种填法，而选B。　　
点评：把元素排在指定号码的位置上称为标号排位问题。求解这类问题可先把某个元素按规定排放，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成。　　
训练: 将标有1,2,…10的10个小球投入同样标有1,2,…10的圆筒中,每个圆筒都不空,且所投小球与圆筒标号均不相同的投法共有多少种?　　
6 自由选择问题住店法　　
例6 现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同的选法的种数是（      ）　　
A 　　　　     B  　　　　       C 　　　　      D 　　　　　　
解：6名同学每人都可以在5个课外知识讲座中任选一种，所以均有5种选法，故总共有　 　　　种，选 A 。　　
点评：自由选择问题可以看成“顾客住店”问题。每名顾客(元素)都可以任意选择旅店(位置)，因而每个元素都有位置数种选法，所以总方法为　 　　　种。　　
训练:某同学要将标有1,2,3,4,5,6的6封信投递出去,现有三个不同的信箱供选择,则有多少种不同的投递方法?　　
7 分配问题隔板法　　
例7 高一年级7个班级要组成篮球队,共需10名队员,每个班级至少要出一名,则不同的组成方法共有多少种?　　
解: 由于10名队员来自于7个不同的班级,每一个班级至少要一名,所以问题相当于将10名队员分成7组,10名队员并排站立中间有9个空格,在这9个空格中插入6个隔板就将10名队员分成了7组,每一组来自于一个班级,即得到了不同的组成方法共计　 　　　种.　　
点评：“隔板法”所解决的问题有以下特征：（1）被分的元素不加以区别；（2）被分的元素的个数不小于分得的组数；（3）每个小组至少分得一个元素。具备这些条件时就可以用公式：将　 　　　个相同元素分成　 　　　份　 　　　时，有　 　　　种分配方法　　
训练: 将10个相同的小球装入3个编号分别为1,2,3的盒子当中,每次将10个球装完,每个盒子里的球的个数都不小于合资的编号数,则不同的装法共有多少种?　　
8 定序问题缩倍法　　
　　例8　A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A、B可以不相邻），那么不同的排法的种数是（）　　
　　（A）24　　（B）60　　（C）90　　（D）120　　
　　解：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即 60种，故选（B）。　　
　　点评：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题，这类问题用缩小倍数的方法解决比较方便快捷。　　
训练: 从1,2,3,4,5五个数字当中任选3个组成一个三位数,其中十位比个位数字大的三位数共有多少个?　　
9 有序分配问题逐分法　　
例9　有6本不同的书,按照以下要求处理,各有几种分法?　　
(1)     平均分给甲、乙丙三人；　　
(2)     甲得一本，乙得两本，丙得三本；　　
解：（1）每人得2本，可考虑甲先在6本书中任取2本，取法有　 　　　种，再由乙在余下的书中取2本，取法有　 　　　种，最后由丙取余下的2本，有　 　　　种取法，所有取法为　 　　　种。　　
（2）选取方法同（1），所以共有取法数为　 　　　种。　　
　点评：有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，常采用逐步分组法求解。　　
训练：有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名英、日都精通，从中找出8人，使他们能组成两个翻译小组，其中4名翻译英语，另外4名翻译日语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单共可开出几张？　　
10 匹配问题配对法 　　
例10 从6双不同型号的鞋中任取4只，其中恰有两只配成一双的取法有多少种？　　
解：先在6双鞋中任取一双有　 　　　种取法，再在余下的5双中任取两双，每双中各取一只有　 　　　种取法，所以总取法有　 　　　种。　　
点评：“配对法”就是将两个相关元素之间建立一一对应关系，如鞋子配对，钥匙和锁配对，比赛选手和比赛场次配对等，利用这些对应关系，使得比较杂乱的问题简单化，解答思路明晰化，能够将难度分步化解，提升解答准确度。　　
训练：有111名选手参加乒乓球比赛，比赛采取单淘汰制，需要打多少场比赛才能产生冠军?　　
11 选排问题先选后排法　　
   例11  有6名男医生，4名女医生，从中选3名男医生和两名女医生到5个不同的地区巡回医疗，但规定男医生甲不能到地区A，共有多少种不同的分派方法？　　
解：分两类：　　
第一类：甲被选，共有　 　　　种分派方法；　　
第二类：甲未被选，共有　 　　　种分派方法；　　
所以共有　 　　　种分派方法。　　
   点评：本题中不仅要选出5名医生（元素），还要求分配到5个地区（空位），因此是一道“既选又排”的排列组合综合问题，解决这类问题的方法是“先选后排”，同时要注意特殊元素、特殊位置优先安排的原则。　　
训练:从1到9的九个数字当中取出三个偶数四个奇数，试问：　　
（1）   能组成多少个没有重复数字的七位数？　　
（2）   上述七位数当中三个偶数排在一起的有几个？　　
（3）   （1）中的七位数当中，偶数排在一起奇数也排在一起的有几个？　　
12、至少问题间接法　　
   例12 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长。现从中选5人主持某种活动，至少有一名队长当选的选法有多少种？　　
解：在选取的人员当中，总的选法有　 　　　种，不包含队长在内的有　 　　　，所以总的选法有　 　　　种。 　　
训练： 从甲、乙等10名同学当中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有多少种？　　
点评：含“至多”或“至少”的排列组合问题，通常用分类法,但是往往分类较多,讨论起来难度较大。本题所用的解法是间接法，即排除法（总体去杂），适用于反面情况明确且易于计算的情况。　　
13多排问题单排法　　
　　例13　两排座位，第1排3个座位，第2排5个座位。若8名学生入座（每人1个座位），则不同的座法有多少种？　　
解：因8名学生可以在前后两排座位中随意入座，再无其他条件，所以两排座位可以看成一排来处理，故不同的座法有　 　　　种。　　
　　点评：把元素排成几排的问题，限定条件若不影响问题归结为一排考虑，那么就将多排问题化为一排，再分段处理。　　
训练：12名同学合影，站成前排4人，后排8人。　　
（1）   总共有多少种不同的站法？　　
（2）   摄影师要从后排8人中抽调2人到前排，其他人顺序不变，总共有多少种调整方法？　　
14交叉问题集合法　　
　　例14　从6名运动员中选出4名参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方法？　　
　　解：设全集I={6人中任取4人参赛的排列}，A={甲跑第一棒的排列}，B={乙跑第四棒的排列}，根据求集合元素个数的公式可得参赛方法共有：　 　　　（种）。　　
　　说明：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数的公式：　　　　来求解。　　
训练：从7名运动员当中选出4人参加4×100米接力，求满足下列条件的安排方法数：（1）甲、乙二人都不跑中间两棒；（2）甲、乙二人不都跑中间两棒。　　
15 多排问题剔重法　　
例15 用5个数字0，1，1，2，2，组成的五位数总共有多少个？　　
解：特殊元素0先排，不能排在万位，有　 　　　种排法，1与2共有　 　　　种排法，剔除掉11与22的重复排列，共得五位数有　 　　　个。　　
点评：元素在排列过程当中出现重复排列称之为多排，所以在总排列数当中应该剔除掉重复排列。　　
训练：从1，2，3，4，…，100这100个自然数当中，每次取出两个不同的数相乘，积是5的倍数的取法有多少种？　　
由于排列组合问题考察思维灵活，因而这里所介绍的适用不同要求的各种方法并不是绝对的，对于同一问题有时会有多种方法，这时要认真思考和分析，灵活选取最佳方法。　　

作者单位：陕西省武功县五七零二完全中学。　　
信箱：lxn207813@　　
邮编:721001　　

参考文献：沈泉  《排列、组合问题的类型及解答策略 》  《数理化解题研究(高中版)》2011年05期　　
因而这里所介绍的适用不同要求的各种方法并不是绝对的，对于同一问题有时会有多种方法，这时要认真思考和分析，灵活选取最佳方法。　　

作者单位：陕西省武功县五七零二完全中学。　　
信箱：lxn207813@　　
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参考文献：沈泉  《排列、组合问题的类型及解答策略 》  《数理化解题研究(高中版)》2011年05期