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导数单元检测
一、填空题. (本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1.已知函数在上单调递减，在上单调递增，且函数的导数记为，则下列结论正确的有 个.
① 是方程的根②1是方程的根③ 有极小值
④有极大值 ⑤
2.如右图所示，函数的图象在P点处的切线方程是,则
3．函数的图象如图所示，则导函数的图象大致是
x
y
O
x
y
O
①
x
y
O
②
x
y
O
③
x
y
O
④
f(x)

4. 已知点和点在曲线C:为常数)上,若曲线在点和
点处的切线互相平行,则______.
5.设函数在区间上是减函数，则的取值范围是 .
6.函数在区间上的最大值是 ．
7．在曲线上取一点M，使过M点的切线方程与直线y=x平行，则M点的坐标是点 ．
8. 函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内极值点的个数为 .
9．已知函数在处的导数为，若为函数的极大值，则下列说法正确的是
（1） （2） （3） （4）或
10.函数的最大值为 .
11．已知曲线C：，则曲线C在点P（2，a）处的切线方程为
12．函数的定义域为（a,b），其导函数内的图象如图所示，则函数在区间（a,b）内极大值点的个数是

13．曲线在点（1，1）处的切线与x轴、直线所围成的三角形的面积为 。

14．二次函数的图象的一部分如图，则a的取值范围是 。
x
y
a
b
O

1
1
x
y
O

第（8）题图 第（12）题图 第（14）题图
二、解答题. （本大题共8小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.已知在与时，都取得极值．
(1) 求的值；
(2)若，求的单调区间和极值；
(3)若对都有 恒成立，求的取值范围．

16.已知函数=，在x＝1处取得极值2． (1)求函数的解析式； (2)m满足什么条件时，区间为函数的单调增区间？ (3)设直线l为曲线=的切线，求直线l的斜率的取值范围。

17．已知函数
（Ⅰ）求在区间上的最大值与最小值；
（Ⅱ）求与函数图象相切且切线的斜率为的切线方程。

18.已知某养猪场的固定成本是20000元，每年最大规模的养殖量为600头，且每养1头猪，成本增加100元，养x头猪的收益函数为，记分别为养x头猪的成本函数和利润函数。
（Ⅰ）分别求的表达式； （Ⅱ）当x取何值时，最大？

19.已知函数
（Ⅰ）若函数在区间上的平均变化率小于1，求证：；
（Ⅱ）若，则函数的图像上的任意一点的切线的斜率为k，若，
求a的取值范围。

20.已知函数，且。
（1）求实数c的取值范围；
（2）设是函数的一个极值点，试比较与的大小；
（3）证明：对任意实数, 关于x的方程： 在 恒有实数解。

导数单元检测参考答案
1.5；2.-1；3. ④；4. 7；5. ；6. ；7.(π/6，1/2)；8.3个；9.（3）；10. ；11. .；12．2; 13．；14．
15.解：（1）f ′(x)＝3x2＋2a x＋b＝0．由题设，x＝1，x＝－为f ′(x)＝0的解．－a＝1－，＝1×(－)．∴a＝－，b＝－2．经检验得：这时与都是极值点．（2）f (x)＝x3－x2－2 x＋c，由f (－1)＝－1－＋2＋c＝，c＝1．∴f (x)＝x3－x2－2 x＋1．
x
（－∞，－）
（－，1
（1，＋∞）
f ′(x)
＋
－
＋
∴ f (x)的递增区间为（－∞，－），及（1，＋∞），递减区间为（－，1）．当x＝－时，f (x)有极大值，f (－)＝；当x＝1时，f (x)有极小值，f (1)＝－．（3）由（1）得，f ′(x)＝(x－1)(3x＋2)，f (x)＝x3－x2－2 x＋c， f (x)在[－1，－及（1，2]上递增，在（－，1）递减．而f (－)＝－－＋＋c＝c＋．f (2)＝8－2－4＋c＝c＋2．∴ f (x)在[－1，2]上的最大值为c＋2．
∴ ∴ ∴ 或∴ 或．
16. (1)已知函数=，.又函数在x=1处取得极值2即当a=4,b=1, ，当，.. (2)由.
x

(－1，1)
1

－
0
+
0
－

极小值－2

极大值2

所以的单调增区间为.若为函数的单调增区间，则有 解得 即时，为函数的单调增区间.
(3)，.设切点为P(x0, y0),则直线l的斜率为
.令，则直线l的斜率， .
17.解：（Ⅰ）,令因为，

0

0

单调增
极大值
单调减
极小值
单调增

（Ⅱ），
设切点，则
即

18.解：（Ⅰ）

（Ⅱ）
当时，
19.解：（Ⅰ）函数在区间上的平均变化率小于1
所以对恒成立
即对恒成立。

（Ⅱ），对恒成立

当时，对任何实数成立
当时，即

，在单调减，在单调增，

，在单调增，

所以
20.解：（Ⅰ）,且，则
实数的取值范围为
（Ⅱ）

1

0

0

单调增
极大值
单调减
极小值
单调增
因为设是函数的一个极值点，则的值可能为
或
当时，，
当时
在上单调增，
所以
（Ⅲ） 对任意实数, 关于x的方程：
在上 恒有解。
记
即证明在上恒有解。

同理

，

即 在上恒有解。
所以对任意实数, 关于x的方程：
在上恒有解。