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教学基本信息
课题
函数的单调性
学科
数学
学段
高中
年级
高一
相关
领域
函数
教材
书名：《普通高中课程标准实验教科书数学1·必修B》
出版社：人民教育出版社      出版日期：2007年4月
1.指导思想与理论依据
建构主义认为，学习者的知识是在一定的情境下，借助他人的帮助，如人与人之间的协作、交流、利用必要的信息等等，通过意义建构而获得的。建构主义数学观认为，教学设计要根据学生原有知识和思维习惯设计数学活动，创设情境，让学生实现意义建构。
《普通高中数学课程标准(实验)》指出：“高中数学课程应倡导自主探索等学习数学的方式，这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的‘再创造’过程。”
要求学生“理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。”
2.教学背景分析
学生在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数的基础上对函数的增减性有一个初步的感性认识，在此学习单调性是对函数概念的延续和拓展，对进一步探索、研究函数的其它性质有着示范性的作用，又是后续研究指数函数、对数函数等内容的基础。
单调性起着承上启下的作用，一方面，是初中学习内容的深化，使学生对函数单调性从感性认识提高到理性认识。另一方面，函数的单调性为后面学习指数函数、对数函数、三角函数及数列这种特殊的函数打下基础，与不等式、求函数的值域、最值，导数等都有着紧密的联系。
通过初中对函数的学习，学生已具备了一定的观察事物能力，抽象归纳的能力和语言转换能力。在此学习单调性，有助于学生从感性思维到理性思维的过渡。
 3.教学目标(含重、难点)
知识与技能：
（1）从形与数两方面理解单调性的概念
（2）绝大多数学生初步学会利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法
过程与方法：
（1）通过对函数单调性定义的探究，提高观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高推理论证能力
（2）通过对函数单调性定义的探究，体验数形结合思想方法
（3）经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程，体会从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程
情感态度价值观：
通过知识的探究过程养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；感受用辩证的观点思考问题
教学重点：函数单调性的概念形成和初步运用
教学难点：函数单调性的概念形成
4、教学流程示意

5.教学过程
环节
教师活动
学生活动
设计意图
创
设情境

引入新课

6
分钟

问题1：分别作出函数y=2x，y=-2x和y=x2+1的图象，并且观察函数变化规律？

描述完前两个图象后，明确这两种变化规律分别称为增函数和减函数。 

二次函数的增减性要分段说明
提出问题：
二次函数是增函数还是减函数？

问题二：能否用自己的理解说说什么是增函数，什么是减函数？

观察图象，利用初中的函数增减性质进行描述
学生会指出：
y=2x的图象自变量x在实数集变化时，y随x增大而增大

y=-2x的图象自变量x在实数集变化时，y随x增大而减小

y=x2+1在（-∞，0]上y随x增大而减小，在（0，+∞）上y随x增大而增大

学生可能回答：既是增函数又是减函数或有时增函数有时减函数
讨论得出：单调性是函数的局部性质

结合单调性是局部性质，用直观描述回答：在一个区间里，y随x增大而增大，则是增函数；y随x增大而减小就是减函数

数学课程标准中提出“通过已学过的函数特别是二次函数理解函数的单调性”，因此在本环节的设计上，从学生熟知的一次函数和二次函数入手，从初中对函数增减性的认识过渡到对函数单调性的直观感受。

通过一次函数认识单调性，再通过二次函数认识单调性是局部性质，进而完善感性认识。

环节
教师活动
学生活动
设计意图
初步探索

概念形成

8
分钟
问题三：（以y=x2+1在 (0，+∞)上单调性为例）如何用精确的数学语言来描述函数的单调性

分三步：
提问学生什么是“随着”
如何刻画“增大”？

对“任取”的理解

进而得到增（减）函数的定义

进一步提问:如何判断
f(x1)现“形”到“数”的转换。另外，在此强调“任意性”的理解，从而达到突破难点，突出重点的目的。

在此还提出求差法比较大小，为后面的证明和判断扫清障碍
概念深化

延伸拓展

12分钟
问题四：能否说f(x)=在它的定义域上是减函数？

从这个例子能得到什么结论？

给出例子进行说明： 

进一步提问：
函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（减）函数，何时函数在A∪B上也是增（减）函数

再一次回归定义，强调任意性

思考、讨论，提出自己观点
学生提出反例，如x1=-1，x2=1

进一步得出结论：
函数在定义域内的两个区间AB上都是增（减）函数，函数在A∪B上不一定是增（减）函数

将函数图象进行变形（如x<0时图象向下平移）

通过上面的问题，学生已经从描述性语言过渡到严谨的数学语言。而对严谨的数学语言学生还缺乏准确理解，因此在这里通过问题深入研讨加深学生对单调性概念的理解。

环节
教师活动
学生活动
设计意图

拓展探究：已知函数
是

（-∞，+∞）上的增函数，求a的取值范围

利用单调性定义解决问题

在问题四的背景下解决本题，体会在运动中满足任意性。

证法探究

应用定义

13
分钟

例1：证明函数
在（0，+）上是增函数
证明：任取且 

∴函数在（0，+）上是增函数

例2：判断函数在（0，+∞）上的单调性

进一步提问：如果把（0，+∞）条件去掉，如何解这道题？
（作业）

根据单调性定义进行证明
讨论，规范步骤

设元

作差

变形

断号

定论

根据定义进行判断
体会判断可转化成证明

课后思考

本环节是对函数单调性概念的准确应用，本题采用前面出现过的函数，一方面希望学生体会到函数图象和数学语言从不同角度刻画概念，另一方面避免学生遇到障碍，而是把注意力都集中在单调性定义的应用上。

课标中指出“形式化是数学的基本特征之一，但不能仅限于形式化的表达。高中课程强调返璞归真”因此本题不再从证明角度，而是让学生再次从定义出发，寻求方法，并体会转化思想。
小结评价作业创新
6分
从知识、方法两个方面引导学生进行总结.

作业（1、2、4必做，3选做）
1、  证明：函数在区间
[0，+∞)上是增函数。
2、课上思考题
3、求函数的单调区间
4、思考P46 探索与研究

回顾函数单调性定义的探究过程；证明、判断函数单调性的方法步骤；数学思想方法

完成课堂反馈

使学生对单调性概念的发生与发展过程有清晰的认识，体会到数学概念形成的主要三个阶段：直观感受、文字描述和严格定义

作业实现分层，满足学生需求
6.学习效果评价设计
学习效果预测：
    在本节课学习中，学生能理解单调性的定义，绝大多数学生能按照单调性的证明步骤进行证明，能判断函数的单调性

学习效果评价方式：
1、  课堂反馈：证明：函数在（0，+∞）上是减函数
2、  教师评价：课堂发言反映的思维深度；课堂发现问题的角度、能力；课堂练习的正确性；课堂学习的积极性
3、  学生自评：本节课学习兴趣；独立思考的习惯；合作交流的意识；对知识、方法等收获的程度
7.本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点(300-500字数)
1、在情境设置中，严格按照课标要求以二次函数y=x2+1为例，经历画图、描述图象、找单调区间、形成单调性定义、证明其单调性的过程，将学生对单调性的认识从感性上升到理性，并将定义进行应用。
2、在教学过程中，创设一个探索的学习环境，通过设计一系列问题，使概念得到形成和深化，学生亲身经历数学概念的产生与发展过程，从而逐步把握概念的实质内涵，深入理解概念。
3、概念深化时，在研究是否满足任意性时引入函数图象的运动，为前面学习的集合中的运动进行巩固，为后面函数的学习进行铺垫。
4、课标要求“高中数学课程应该返璞归真”，因此在例题的设计中避免了过度形式化，注重问题的多样性，注重学生对概念本质的理解。
5、作业设计既可巩固基础又提供给学生充足的思考空间

板书设计：

2010-12-28  人教网
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