椭圆定义及其标准方程.doc

高中数学教案
椭圆定义及其标准方程
万源市第三中学 王尚莲

一、教学目标
1．使学生了解椭圆的实际背景，感受椭圆刻画现实世界和在实际问题中的作用。
2、掌握椭圆的定义、标准方程的推导及步骤、标准方程中a、b、c的代数意义、标准方程。
3、掌握直接法求曲线方程，培养学生数形结合数学思想，提高分析问题的能力。
4．营造亲切、和谐的氛围，以“趣”激学。引导学生用运动变化的观点发现问题、探索问题、解决问题，培养学生的创新意识，体会数学的简捷美、和谐美。培养合作学习的意识，体会成功带来的喜悦。发展数学的应用意识，认识数学的应用价值。
二、教学重点和难点
教学重点: 椭圆的定义及其标准方程的推导（通过学生自主建立直角坐标系和对方程的讨论选择突出重点）。
教学难点：椭圆概念的形成。通过椭圆的画法设计，标准方程与圆的比较突破难点。
三、教学过程设计
（一） 设置情景，导入新课
人造地球卫星 太阳系行星运行轨道

玻璃餐桌 椭圆是由圆压扁得到的吗?

让学生观察上面的图片，说说这些图片有什么共同点，得出本节课的主题——椭圆。
（二）引导探究，获得新知
问题1：我们看到第四张图片,椭圆是不是由圆压扁得到的呢?它和圆有关系吗？（让学生讨论这个问题，并抽一些同学说说讨论的结果。）
为了解决这两个问题,先给出一种画椭圆的方法: 取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点(如下图)，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆．我们来看一看椭圆和圆的画法。(找2个学生上讲台按这个方法画出一个椭圆,之后用几何画板演示画圆的过程和画椭圆的过程)
y
o
F1
F2
M
x

问题2：这椭圆是怎么画出来的啊？（让学生讨论回答）
问题3：从画法中找出要满足什么样的条件才可以画出一个椭圆呢?(可以提问，也可以集体回答.)
（1）F1、F2点固定，是定点。 （2）MF1+MF2就是细绳的长度。
我们来看,因为 F1、F2、M三个点是构成的是一个三角形所以MF1+MF2大于F1F2的长度.
让学生根据这些应满足的条件归纳出椭圆的定义来.( 引导学生概括椭圆的定义)
椭圆的定义: 平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距.
下面我们来看看, MF1+MF2小于等于F1F2的长度时,M点的轨迹是什么情况呢?(学生思考)
结论：若常数等于|F1F2|，则是线段F1F2；若常数小于|F1F2|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于|F1F2|”．(强调MF1+MF2是定长但是大于|F1F2|)
（三）深入探索，推导方程
接下来你们试试推导椭圆的方程？（简单回顾求圆方程的方法和步骤:
(1) 建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标;
（2）写出适合条件 P（M） ;
（3）用坐标表示条件P（M），列出方程 ;
（4）化方程为最简形式;
第一步，该如何建立坐标系呢？(学生会说出不同的方案，选取下列方案)
o
F
y
x
2
F
M
以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。(老师在黑板上画出适当的图，如下图)
y
o
F
F
M
x

（方案一） （方案二）
这样建系很合理。建立坐标系后F1、F2的坐标分别是, 原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.)
为了后面化简方便，我们这里把定长定为2a.下面列出方程.

让学生将方程化为最简形式;(一段时间后，投影仪展示化简的过程)
① 原方程要移项平方、整理得 a
② 上式两边平方、整理得，.，因为，所以可化为：
②为使方程对称和谐而引入b，同时b还有几何意义，下节课还要讲。因为，所以令，其中b>0,代入上式，得 （）
因此，我们将方程（）叫作椭圆的标准方程，焦点坐标，其中.
那么用方案二建立坐标系的话,椭圆的方程该怎样写呢?（让学生思考）
结论：只需要将互换就可以了,应写成同样有.
（四）指导应用，鼓励创新
例1:已知B,C是2个定点, ,且的周长等于22,求顶点A满足的一个轨迹方程.
例2:下列各组两个椭圆中，其焦点相同的是( )　　　　　　　　　　　　
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
例3　求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴和短轴长、焦点和顶点坐标，并用描点法画出它的图形。
分析：将方程化为标准方程即可求解，列表只要在0≤x≤5的范围内算出几个点的坐标，画出椭圆在第一象限内的图形然后利用对称性作出整个图形。
解：把已知方程化为标准方程x2/52＋y2/42＝1，这里a＝5，b＝4，所以c＝3。
因此长轴长2a＝10,短轴长2b＝8, ,焦点F1(－3,0)和F2(3,0),椭圆的四个顶点是A1(－5,0)、A2(5,0)、B1(0,－4)、B2(0,4)
将已知方程变形为，根据在0≤x≤5的范围内算出几个点的坐标(x,y)：
先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆。

x
0
1
2
3
4
5
y
4
3.9
3.7
3.2
2.4
0

例4　求适合下列条件的椭圆的标准方程
⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)；
⑵长轴长等于20，离心率3/5。
分析一：设方程为mx2＋ny2＝1，将点的坐标代入方程，求出m＝1/9,n＝1/4。
二：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于是焦点在x轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点，故a＝3，b＝2，所以椭圆的标准方程为x2/,9＋y2/4＝1。
⑵由已知2a＝20，e＝3/5，∴a＝10，c＝6，b＝8，由于焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以椭圆的标准方程为x2/100＋y2/64＝1或x2/64＋y2/100＝1
随堂练习
1 、在下列方程所表示的曲线中，关于x轴、y轴都对称的是（　）D
A、x2＝y　　　B、x2＋2xy＋y＝0　　　　C、x2－4y2＝5x　　　　D、9x2＋y2＝4
2 、 求下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标
①x2＋4y2＝16；　
2a=8,2b=4,,A1(－4,0),A2(4,0),B1(0,－2),B2(0,2)
②9x2＋y2＝81
2a=18,2b=6,,A1(0,－9),A2(0，9),B1(－3,0),B2(3,0)
3 、在下列每组椭圆中，哪一个更接近于圆？
①9x2＋y2＝36与x2/16＋y2/12＝1；
②x2＋9y2＝36与x2/6＋y2/10＝1
①x2/16＋y2/12＝1；②x2/6＋y2/10＝1
4 、已知椭圆mx2＋5y2＝5m的离心率，求m的值。
分析：椭圆的标准方程是x2/5＋y2/m＝1(m＞0，m≠5)
当焦点在x轴上，即0＜m＜5时，，解得m＝3当焦点在x轴上，即m＞5时，，解得m＝25/3

5、若椭圆的离心率是1/2，求m的值。m＝－5/4，m＝5/3

探索－嫦娥奔月
1、2010年10月8日中国“嫦娥”二号卫星成功实现第二次近月制动，卫星进入距月球表面近月点高度约210公里，远月点高度约8600公里，且以月球的球心为一个焦点的椭圆形轨道。已知月球半径约3475公里，试求“嫦娥”二号卫星运行的轨迹方程。

2、我们假设地球是个球体,半径是6371千米,而且知道“东方红一号”的近地点：430千米; 远地点：2075千米,你们能建个坐标系,求出“东方红一号”运行轨道的标准方程吗?.
（五）小结本堂内容
用表格形式学生结合图形更容易理解

定义
椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．
标准
方程
（）

图

形
1
2
y
o
F
F
M
x

1
o
F
y
x
2
F
M

焦点
坐标

a、b、c之间的关系

（六）板书设计
椭圆及其标准方程
1.椭圆的定义
2.椭圆的标准方程
3.标准方程的应用
4.小结
标准方程推导过程
例题

（七）作业布置
1.课本68页,习题3-1:第1、4题
2.如何用几何图形解释,C在椭圆中分别表示哪些线段的长?
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