1、
(时间60分钟，满分80分)
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续的，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一个实根0，则f(－1)·f(1)的值( )
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．无法确定
解析：由题意，知f(x)在(－1,1)上有零点0，该零点可能是变号零点，也可能是不变号零点，∴f(－1)·f(1)符号不定，如f(x)＝x2，f(x)＝x.
答案：D
2．设函数f(x)＝x－lnx(x＞0)，则y＝f(x)( )
A．在区间(，1)，(1，e)内均有零点
B．
2、在区间(，1)，(1，e)内均无零点
C．在区间(，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间(，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点
解析：∵函数f′(x)＝－，
∴x∈(3，＋∞)时，y＝f(x)单调递增；
x∈(0,3)时，y＝f(x)单调递减．
而0＜＜1＜e＜3，
又f()＝＋1＞0，f(1)＝＞0，f(e)＝－1＜0，
∴在区间(，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点．
答案：D
3．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：只要画出分段函数的图象，就可以知道图象与x轴有三个
3、交点，即函数的零点有3个．
答案：C
4．若函数f(x)在(1,2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间(1,2)至少二等分( )
A．5次 B．6次
C．7次 D．8次
解析：设对区间(1,2)至少二等分n次，此时区间长为1，第1次二等分后区间长为，第2次二等分后区间长为，第3次二等分后区间长为，…，第n次二等分后区间长为.依题意得<0.01，∴n>log2100.由于64、数的最小值是( )
A．5 B．4 C．3 D．2
解析：∵f(x)是定义在R上的偶函数，且周期是3，f(2)＝0，∴f(2)＝f(5)＝f(－2)＝f(1)＝f(4)＝0.
答案：B
6．已知函数f(x)＝()x－log2x，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0f2(x1)，所以f(x1)＝f1(x1)－f2(x1)
5、>0，即f(x1)的值恒为正值．
答案：A
二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)
7．(2011·厦门质检)若函数f(x)＝ex＋2x－6(e≈2.718)的零点属于区间(n，n＋1)(n∈Z)，则n＝________.
解析：可估算两相邻自然数的函数值，f(1)＝e－4<0，f(2)＝e2－2>0，从而可知函数f(x)的零点位于区间(1,2)内，故n＝1.
答案：1
8．若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：令g(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，h(x)＝x＋a，分0＜a＜1，a＞1两种情况．在同一坐
6、标系中画出两个函数的图象，如图，若函数f(x)＝ax－x－a有两个不同的零点，则函数g(x)，h(x)的图象有两个不同的交点．根据画出的图象只有当a＞1时符合题目要求．
答案：(1，＋∞)
9．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且只有一个零点，则实数m的值为________．
解析：由题知：方程4x＋m·2x＋1＝0只有一个零点．
令2x＝t(t>0)，
∴方程t2＋m·t＋1＝0只有一个正根，
∴由图象可知∴m＝－2.
答案：－2
三、解答题(共3小题，满分35分)
10．已知函数f(x)＝x3－x2＋＋.
证明：存在x0∈(0，)，使f(x0)＝x0.
证明：
7、令g(x)＝f(x)－x.
∵g(0)＝，g()＝f()－＝－，
∴g(0)·g()<0.
又函数g(x)在[0，]上连续，
所以存在x0∈(0，)，使g(x0)＝0.
即f(x0)＝x0.
11．判断方程3x－x2＝0的负实数根的个数，并说明理由．
解：设f(x)＝3x－x2，
∵f(－1)＝－<0，f(0)＝1>0，
又∵函数f(x)的图象在[－1,0]上是连续不断的，
∴函数f(x)在(－1,0)内有零点．
又∵在(－∞，0)上，函数y＝3x递增，y＝x2递减，
∴f(x)在(－∞，0)上是单调递增的，
∴f(x)在(－1,0)内只有一个零点．
因此方程3x－
8、x2＝0只有一个负实数根．
12．若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－.
(1)求函数的解析式；
(2)若关于x的方程f(x)＝k有三个零点，求实数k的取值范围．
解：由题意可知f′(x)＝3ax2－b，
(1)于是解得
故所求的解析式为f(x)＝x3－4x＋4.
(2)由(1)可知f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，
令f′(x)＝0，得x＝2，或x＝－2.
当x变化时f′(x)、f(x)的变化情况如下表所示：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增
单调递减
－
单调递增
因此，当x＝－2时，f(x)有极大值；
当x＝2时，f(x)有极小值－.
所以函数的大致图象如图．
故实数k的取值范围是－＜k＜.
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
