1、2015年中考第10题隐圆、轨迹、极值类解法归纳
光谷实验中学 周泽军 李月
一、借助动点轨迹求极值
（一）动点轨迹的类型
1、直线或线段---到定线的距离等于定长
2、圆或弧线------到顶点的距离等于定长
3、一个三角形的一边和它所对的角为定值，则这个角得顶点轨迹是以这边为弦、这个角为圆周角的圆（即此三角形的外接圆）特别的：若此角为直角时，这个角得顶点在以这边为直径的圆周上。
（二）设计到的常用结论
1、点到线的距离垂线段最短
2、圆外一点到圆上点的最大或最小距离为这点到此点与圆心所在直线
2、与圆的公共点的线段长度
3、圆内最大的弦为直径
4、到圆内定弦的距离最大或最小的点为优弧或劣弧的顶点
5、三角形两边之和大于第三边
6、与三角形三边均有公共点的最小圆为此三角形的内切圆；最大圆为外接圆。
7、直角三角形中斜边为最大的边
二、典型例题及解法分析
1..两边定长旋转问题
1．1如图，OA=2，OB=3，以AB为边作等边三角形ABC，当A点在⊙O上运动一周时，求C点所走过的路径长.
1.2如图，在三角形ABE中，BE=，AE=2，以AB为边向外作正方形ABCD，连接DE，则DE的最大值为________
题1-2图
题1-1图
3、
解法归纳：将定长线段旋转相同度数后找定长线段或定角，确定轨迹或利用三角形三边关系及相关知识求解。
2.定角两边长不确定问题
2.1、如图，直角 中，,AB=6，AC=8，D是边AB上一点，AD=2，E,F分别是BC,AC上的动点，满足，则线段DF长的最小值为_______
2.2如图，∠xOy=45°，一把直角三角尺的两个直角顶点A、B分别在Ox、Oy上移动，其中AB=10，那么点O到AB距离d的范围为 (此类题的隐圆为动圆)
题2-2图
题2-1图
4、
解法归纳：利用考查的三角形的外接圆的圆心角与圆周角之间的关系构建特殊三角形，再利用轨迹思想解决问题。
3.定角对定弦问题
3.1．如图，⊙O的半径为1，弦AB=1，点P为优弧AB上一动点，交直线PB于点C，则 的最大面积是( )
题3-1图
A. B. . C. D.
题3-2图
3.2如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值为_________.
解法归纳：关键是发现不变
5、的角与所对的不变的边，找出点的运动轨迹运用常见的结论求极值。
4.圆外一点到圆的最大距离和最小距离的问题
4.1如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AC的中点，M为BD的中点，将线段AD绕A点任意旋转，（旋转过程中适中保证M为BD的中点），若AC=4，BC=3，那么，在旋转过程中，线段CM长度的取值范围为
题4-2图
题4-1图
4.2如图，等边△ABC边长为2，射线AM∥BC，P是射线AM上一动点（P不与A点重合），△APC的外接圆交BP于Q，则AQ长的最小值为
解
6、法归纳：关键是发现隐圆，即找出点的运动轨迹运用常见的结论求极值。
5.定“三角形”，利用三边关系求极大与极小值问题
5.1, 如图，∠MON=90°，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为
题5-2图
题5-1图
5.2在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD的边长为4，点A，B分别在y轴，x轴的正半轴上滑动，点C不在第一象限，连接OD，则线段OD的最小值等于
解法归纳：关键是发现直角三角形AOB的斜边不变，“动中求静”构建斜边的中线与动点及考察的定点构成三角形，借助三角形的三边关系解题。
6.四点共圆问题
6.1、如图，AB为直径，AB=4，C、D为圆上两个动点，N为CD中点，于M，当C、D在圆上运动时保持，则CD的长( )
题6-1图
A.随C、D的运动位置而变化，且最大值为4
B.随C、D的运动位置而变化，且最小值为2
C.随C、D的运动位置长度保持不变，等于2
D.随C、D的运动位置而变化，没有最值
第 3 页 共 3 页
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
