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动量守恒问题中的状态·过程·物理量
动量守恒问题，是研究物体系在不受外力或受合外力为零时，其内部各物体间发生相互作用，而引起它们之间的相对位移与速度变化的关系．动量守恒定律是解决这类动力学问题的重要依据． 动量守恒定律不仅适用于宏观物体的低速运动，也适用于微观现象和高速运动，应用十分广泛．
动量守恒定律的适用条件是系统不受外力或系统所受外力的合力为零． 除此条件外也可拓展为以下两种情况：（1）若系统所受外力的合力不为零，但在内力远大于外力时，系统的动量近似守恒．如炸弹在空中爆炸，物体间发生碰撞等过程，均可认为系统的动量守恒． （2）若系统所受外力的合力不为零，但在某一方向上的合力为零，则在这个方向上动量守恒． 如放在光滑水平面上的弧形槽，一球沿槽下滑． 显然此系统所受合外力不为零（因小球有向下的加速度），但此系统水平方向不受外力作用，故系统满足水平方向上动量守恒．
下面我们从几个不同的角度谈谈动量守恒定律的应用．
一、动量守恒问题中两种过程的分析——短暂作用过程与持续作用过程
按照各物体相互作用时间的长短，可将动量守恒问题分为两种过程——短暂作用过程与持续作用过程． 短暂作用过程是指作用前后相互作用物体的速度发生了变化，而未引起位移的变化（实际上是作用时间极短，位移变化忽略不计），如碰撞、打击、爆炸等． 持续作用过程是指作用时间较长，在作用过程中，将引起相互作用物体间的相对位置的变化（即产生了相对位移），如弹簧的拉伸与压縮、子弹打入木块并进入一定深度、一个木块在另一个木板表面上滑动一段距离等等．
从能量观点看，不论哪种作用过程，只要未说明是弹性碰撞或作用，在作用过程中常伴有动能或机械能的损失，尤其是短暂过程中的机械能损失，常被人忽视．
例1 （1988年上海高考题）在光滑水平面上，有一质量M1＝20kg的小车，通过一根几乎不可伸长的轻绳与另一质量M2＝25kg的拖车相连接，一质量M3＝15kg的物体放在拖车的平板上，物体间的动摩擦因数μ＝0.2，开始时，拖车静止，绳未被拉紧，如图，小车以v0＝3 m/s的速度前进．求：
（1）当M1、M2、M3以同一速度前进时，其速度的大小；
（2）物体在拖车平板上移动的距离（设平板足够长）．

分析 本题有两个关键的过程：第一个是绳子张紧的过程，此过程是M1与M2发生作用，M3未参与，在此过程前，M1与M2速度不同，经过此过程后，M1与M2速度相同，而M3的速度仍为零，各物体间的相对位置较作用前未有明显变化． 该过程作用时间极短，属短暂过程；第二个是M3在M2上滑行的过程，经过此过程，M1、M2和M3的速度相同了，即三者的速度都发生了变化，而且还出现了相对位置的变化，即M3在M2上滑行一段距离，由于该过程持续了一段时间，因此属持续作用过程． 从能量观点来看：第一个过程相当于M1与M2发生完全非弹性碰撞，伴随有动能的损失；第二个过程中由于M3在M2上滑行了一段距离，摩擦力做负功，也使动能损失了．
解答 对M1与M2组成的系统应用动量守恒定律（忽略M3的影响），设其共同速度为v1，有M1v0＝(M1＋M2)v1 …① 所以 v1＝ m/s
对M1、M2与M3组成的系统应用动量守恒定律，设它们的共同速度为v2，有
(M1＋M2)v1＝(M1＋M2＋M3)v2 …② 所以v2＝＝1 m/s
对第二个过程应用能量守恒定律，有(M1＋M2)v12＝(M1＋M2＋M3)v22＋μM3gs …③
代入数据解得s＝0．33 m
点评：处理动量守恒问题时，一定要注意对短暂作用过程的分析，往往短暂作用过程中伴随有能量损失，很容易被忽视，而且短暂作用过程中，仅仅是相互作用的物体间的速度发生变化，很少影响到其它物体．
例2 (2004年全国理综卷II 第25题) 柴油打桩机的重锤由气缸、活塞等若干部件组成，气缸与活塞间有柴油与空气的混合物，在重锤与桩碰撞的过程中，通过压缩使混合物燃烧，产生高温高压气体，从而使桩向下运动，锤向上运动，现把柴油打桩机和打桩过程简化如下：
柴油打桩机重锤的质量为，锤在桩帽以上高度为处[如图6 ]从静止开始沿竖直轨道自由落下，打在质量为(包括桩帽)的钢筋混凝土桩子上. 同时，
图6
柴油燃烧，产生猛烈推力，锤和桩分离，这一过程的时间极短 .随
后，桩在泥土中向下移动一距离 .已知锤反跳后到达最高点时，锤
与已停下的桩帽之间的距离也为h[如图6(b)].已知kg ，
kg，m，m，重力加速度10m/s2.
混合物的质量不计.设桩向下移动的过程中泥土对桩的作用力F是恒
力，求此力的大小 .
【思路点拨】本题的主要研究对象为锤和桩，涉及的物理过程有：
(1)重锤在仅受重力作用的自由落体运动；
(2)锤和桩的非弹性碰撞，由于柴油打桩机的推力作用，使锤和桩的碰撞时间极短，且重力为内力，远小于锤和桩之间的相互作用力，故在竖直方向上满足动量守恒的条件；
(3)锤与桩碰后，锤作竖直上抛运动；
(4)桩在碰后获得动能，在泥土恒定阻力F作用下做匀减速运动 .
重锤与桩相碰至分离，由于作用过程的时间极短，对重锤与桩组成的系统，二者相碰时产生的作用力及柴油燃烧产生的推力远大于系统所受的外力，故系统的动量守恒
【解析】设锤和桩碰前的速度为，由动量定理，，得，…①
碰后，锤作竖直上抛运动，且上升的高度为(h-l).
注意：不少考生错误认为锤上升的高度是h，其实锤与桩碰撞时间极短，可认为锤起跳位置即为碰撞位置，故由图(b)可知，锤上升的高度(h-l)，确定这个高度的目的是为求出锤反跳时的起跳速度
对锤：由动能定理得：……② 得 ……③
设碰后桩向下的速度为，并选向下为正方向，由动量守恒定律得：
…………………………………………④
桩在碰后，受恒定阻力F作用，且在泥土中下移距离为l，由功能关系得：
…………………………………⑤
解①②③④⑤式得
代入数值，得 N
【注意要点】 本题将力学中的运动学、动力学，动量和能量、功能关系融为一体，考查考生分析和综合能力、题目涉及的过程较多，运动性质随着受力的变化而变化，其实一种运动形式与另一种运动形式界限十分清楚，但分析不仔细，过程不清楚，便会在运用规律上出错.如应用功能关系求解桩所受泥土阻力F时，遗漏了桩自身的重力Mg，主要原因是对动能定理中的合外力做功理解不深刻，掌握不牢固 .锤反跳向上运动上升的高度误记为h，其原因是对锤桩碰撞后，锤立即起跳的位置认识模糊 .本题在求解碰撞前后锤的速度时既可以用动能定理、机械能守恒定律求解，还可以用自由落体运动、竖直上抛运动的运动学公式求解，只要过程分析清楚，规律掌握牢固，解题方法也能融会贯通 .
在处理动量守恒问题时，一定要注意对短暂作用过程的分析，往往短暂作用过程中伴随有能量损失，很容易被忽视，而且短暂作用过程中，仅仅是相互作用的物体间的速度发生变化，很少影响到其他物体。
二、动量守恒问题中两个状态的确定——初状态与末状态
动量守恒指的是任意两个确定状态下系统的动量矢量和相同，因此动量守恒定律表达式M1v1＋M2v2＝M1v1/＋M2v2/中，v1、v2必须是相互作用前同一时刻两物体的瞬时速度，v1/、v2/必须是相互作用后同一时刻两物体的瞬时速度．明确所研究的相互作用过程，确定过程的始、末状态，即系统内各个物体的初动量和末动量，是动量守恒定律应用的一个重要环节．
例3 (2000年全国高考题) 在原子核物理中，研究核子与核子关联的最有效途径是“双电荷交换反应”，这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似，两个小球A和B用轻质弹簧相连，在光滑的水平轨道上处于静止状态，在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板P，右边有一小球C沿轨道以速度v0射向B球，如图所示，C与B发生碰撞并立即结成一个整体D，在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变，然后，A球与挡板P发生碰撞，碰后A、D都静止不动，A与P接触而不粘连，过一段时间，突然解除锁定（锁定及解除锁定均无机械能损失），已知A、B、C三球的质量均为m． 求：
P
A
B
C
(1)弹簧长度刚被锁定后A球的速度；
(2)在A球离开挡板P之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能．

分析：这道题可分为五个相互作用过程：I． C与B碰撞结合成整体D. 属短暂作用过程。碰前：C的速度为v0，B静止，碰后：BC具有相同速度v1 II． D与A作用至弹簧长度最短被锁定.属持续作用过程。 作用前：D的速度为v1，A静止，作用后：P和A具有相同速度v2. III． A球与挡板P发生碰撞. 碰前：D和A具有相同速度v2，碰后：A、D静止不动. IV． 解除锁定至弹簧伸长至原长. 作用前：A、D静止，弹簧具有一定弹性势能，作用后：A静止，D具有速度v3，弹簧为原长. V． A离开挡板P至弹簧伸长到最长. 作用前：A静止，D具有速度v3，弹簧为原长，作用后：A、D具有相同速度v4，弹簧具有一定弹性势能．
解答：（1）设C球与B球粘结成D时，D的速度为v1，由动量守恒：
有mv0＝（m＋m）v1. 当弹簧压至最短时，D与A的速度相等. 设此速度为v2，由动量守恒：有2mv1＝3mv2，由上两式得A的速度v2＝v0．
（2）设弹簧长度被锁定后，贮存在弹簧中的势能为Ep，由能量守恒：有.撞击P后，A、D动能均为0. 解除锁定后，当弹簧刚恢复到自然长度时，势能全部转变为D的动能. 设D的速度为v3，则有． 以后弹簧伸长，A球离开挡板P并获得速度. 当A、D速度相等时，弹簧伸至最长． 设此时的速度为v4，由动量守恒：
有. 当弹簧伸至最长时，其势能最大，设此势能为Ep/，由能量守恒：有，解以上各式得．
点评：相互作用过程及同一过程初、末状态的确定，是成功应用动量守恒定律的前提，尤其是相互作用过程中涉及到能量的转化与守恒的问题．
三、动量守恒问题中替代量的选取――速度与位移
若系统在全过程中动量守恒（包括单方向动量守恒），则这一系统在全过程中的平均动量也必定守恒. 如果系统是由两个物体组成，且相互作用前均静止、相互作用后均发生运动，则由得推论：，使用时应明确S1、S2必须是相对同一参照物位移的大小． 在这种情况下用位移替代速度，能使复杂问题简单化．
h
l
例4 载人气球原静止于高h的高空，气球质量为M，人的质量为m. 若人沿绳梯滑至地面，则绳梯至少为多长？

分析 气球和人原来静止于空中，说明系统受合力为零，故人下滑过程中系统动量守恒. 人着地时，绳梯至少应触及地面，因为人下滑过程中，人和气球任意时刻的动量大小都相等，所以整个过程中系统平均动量守恒．
解答 设绳梯长为l，人沿绳梯滑至地面的时间为t，由图可以看出，气球对地移动的平均速度为，人对地移动的平均速度为（以向上为正方向），由动量守恒定律：
有，，解得．
点评 当问题符合动量守恒的条件，而又仅涉及位移而不涉及速度时，通常可用平均动量守恒求解.只要两物体相互作用时间相同，就可用位移替代速度列动量守恒方程，列方程前注意画出反映位移关系的草图，这对求解此类问题会有很大的帮助．
四、动量守恒守恒问题中相互作用次数的认识－有限次数与无限次数
某些动量守恒问题中涉及到系统内物体间存在不断相互作用的过程．处理这类动量守恒问题可从两个角度去思考：1、合理选取组成系统的物体，不论发生多少次相互作用，系统的总动量保持不变，系统的动量总是守恒的． 2、依据相互作用的顺序，写出前几次相互作用的动量守恒方程，利用递推规律写出第n次作用的动量守恒方程，得出一般结论．
例4．在纳米技术中需要移动或修补原子，必须使在不停地做热运动（速率约几百米每秒）的原子几乎静止下来且能在一个小的空间区域内停留一段时间，为此华裔诺贝尔物理奖得主朱棣文发明了“激光制冷”的技术，若把原子和入射光分别类比为两个小球，则“激光制冷”与下述的力学模型很类似．
一辆质量为M的小球，如图所示以速度v0水平向右运动，一个动量大小为p的小球B水平向左射入小球A并与之发生碰撞，当两球形变量最大时，接着被锁定一段时间△T，再解除锁定使小球B以大小相同的动量p水平向右弹出，紧接着不断重复上述过程，最终小球A将停下来. 设地面和车厢均为光滑，除锁定时间△T外，不计其它时间，求：
（1）小球B第一次入射后再弹出时，小球A的速度的大小和这一过程中小球A动能的减少量；
（2）从小球B第一次入射开始到小球A停止运动所经历的时间．
A
B
v0
P

分析：题中小球B射入过程，射出过程，以及以后重复进行的过程中，小球A和B组成的系统动量守恒．
解答：（1）设小球B第一次射入后再弹出时，小球A的速度大小为v1，
根据动量守恒定律，
Mv0－p＝Mv1＋p， 解得．
小球A动能的减少为△Ek＝＝．
（2）设每次小球B射入后弹出时，小球A的速度依次是v1，v2，v3……vn－1，0．
由动量守恒定律得：
Mv0－P＝Mv1＋P，
Mv1－P＝Mv2＋P，
Mv2－P＝Mv3＋P，
…
Mvn－1－p＝0＋p，
等式两边相加得，Mv0－np＝np，
则，总时间△t总＝n△T＝．
点评：处理这类不断相互作用过程中的动量守恒问题时，找准每次相互作用的规律，再根据这些规律找出各次相互作用间的联系，运用数学归纳方法从特殊到一般、从个别到整体推导出一般表达式，然后求解． 数学知识的掌握和运用在解这类问题显得非常重要．