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思路技巧 数形结合，相得益彰
----例谈《一次函数》的学习
湖北省襄樊市第七中学 441021 黄曦明
人教社八年级第十一章《一次函数》的主要内容包括：变量与函数的概念，函数的三种表示法，正比例函数和一次函数的概念、图象、性质和应用举例，用函数观点再认识一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组。如何学好这章，我认为应把函数的解析式和图象结合起来十分必要。
一、是能看懂图象
例1．如图中的图象（折线ABCDE）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车共行驶了120千米；②汽车在行驶途中停留了0.5小时；③汽车在整个行驶过程中的平均速度为千米/时；④汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减少.其中正确的说法共有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4

8、2004年6月3日中央新闻报道,为鼓励居民节约用水,北京市将出台新的居民用水收费标准:①若每月每户居民用水不超过4立方米,则按每立方米2元计算;②若每月每户居民用水超过4立方米,则超过部分按每立方米4.5元计算(不超过部分仍按每立方米2元计算).现假设该市某户居民某月用水立方米,水费为元,则与的函数关系用图象表示正确的是
7、李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校．在课堂上，李老师请学生画出自行车行进路程s（千米）与行进时间t（小时）的函数图像的示意图，同学们画出的示意图如图，你认为正确的是（ ）
（A）① （B）② （C）③ （D）④

A
D
C
B

５．星期天晚饭后，小红从家里出发去散步，图描述了她散步过程中离家s（米）与散步所用的时间t(分)之间的函数关系．依据图象，下面描述符合小红散步情景的是（ ）
S（米）

18 （分）
(A)从家出发,到了一个公共阅报栏,看了一会报后,就回家了.
(B)从家出发,一直散步(没有停留),然后回家了.
(C)从家出发,到了一个公共阅报栏,看了一会报后,
继续向前走了一会,然后回家了.
(D)从家出发,散了一会步,就找同学去了,18分钟后
才开始返回.

注重从图象分析有关信息，例如，教科书第11页的观察以及第12页的例2。
函数的表示法之一是图象法，即通过坐标系中的曲线上点的坐标反映变量之间的对应关系。这种表示方法的产生，将数量关系直观化形象化，提供了数形结合地研究问题的重要方法

28、 (1) 甲品牌拖拉机开始工作时,油箱中有油30升.如果每小时耗油6升,求油箱中的余油量y（升）与工作时间x(时)之间的函数关系式.

(2) 如图,线段AB表示乙品牌拖拉机在工作时油箱中的余油量y(升)与工作时间x(时)之间的函数关系的图象. 若甲、乙两种品牌的拖拉机在售价、质量、性能、售后服务等条件上都一样.根据图象提供的信息,你愿意购买哪种品牌的拖拉机,并说明理由.

29、4×100米拉力赛是学校运动会最精彩的项目之一。图10中的实线和虚线分别是初三·一班和初三·班代表队在比赛时运动员所跑的路程y(米)与所用时间x(秒)的函数图象(假设每名运动员跑步速度不变，交接棒时间忽略不计)。
问题：
⑴初三·二班跑得最快的是第______接力棒的运动员；
⑵发令后经过多长时间两班运动员第一次并列？

17．点燃后每小时燃烧5厘米,燃烧时剩下的高度(厘米)与燃烧时间t(时)的函数关系的图是（ ）
A B C D
4、汽车由南京驶往相距300千米的上海，当它的平均速度是100千米/时，下面哪个图形表示汽车距上海的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系？（ ）
300
3
O
t（小时）
s（千米）
300
3
O
t（小时）
s（千米）
300
3
O
t（小时）
s（千米）
300
3
O
t（小时）
s（千米）
（A） （B） （C） （D）
1．汽车开始行驶时,油箱内有油40升,如果每小时耗油5升,则油箱内的余油量Q(升)与行驶时间t (小时)之间的函数关系的图象应是 （ ）

（A） （B） （C） （D）
2．如图，OA，BA分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图象，图中s和t分别
表示运动路程和时间，根据图象判断快者的速度比慢者的速度每秒快（ ）
A、 2.5米 B、 2米 C、 1.5米 D、 1米
3．（四川省）汽车由重庆驶往相距400千米的成都，如果汽车的平均速度是100千米/时，那么汽车距成都的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的关系用图象表示应为 （ ）
400
200
2
4
s（千米）
t（小时）
0
400
200
2
4
s（千米）
t（小时）
0
400
200
2
4
s（千米）
t（小时）
0
400
200
2
4
s（千米）
t（小时）
0

A B C D

有关内容解决实际问题
　　在“一次函数”一章，让学生用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系，例如，运用函数分析耗油量与行驶里程的关系，水位随时间的变化，以及运费、上网费。在这一章，还注重从图象分析有关信息，例如，教科书第11页的观察以及第12页的例2。
找出问题中相关变量之间的关系，并以数学形式表现这种关系，是本章中用数学模型表示和解决实际问题的关键步骤，而正确地理解问题情境是基础。在本章的教学和学习中，可以从多种角度思考，借助图象、表格、式子等进行分析，寻找变量之间的关系，检验所建立的函数的合理性。教师还可以结合实际情况选择更贴近学生生活的各种问题，引导学生用函数分析解决它们。

五、拓展
5两个一次函数和图象的交点坐标是（ ）
(A) (2,3) (B)(2-3) (C)(-2,3) (D)(-2,-3)
19、某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者，果园基地对购买量在3000千克以上（含3000千克）的有两种销售方案，甲方案：每千克9元，由基地送货上门。乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元。
（1）分别写出该公司两种购买方案的付款（元）与所购买的水果质量（千克）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围。
（2）依据购买量判断，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由。

21、（本题8分）某车间现有20名工人，生产甲乙两种工艺品，每名工人每天可生产6个甲种工艺品或8个乙种工艺品，一个甲种工艺品可获利10元，一个乙种工艺品可获利5元。厂方规定乙种工艺品的数量不得少于甲种工艺品的三分之一。
（1）若安排x 人生产甲种工艺品，其余工人生产乙种工艺品，车间每天的利润为y元，请写出y与x之间的函数关系式，并求自变量的取值范围。
（2）如何安排可使车间每天的利润最高，最高利润是多少？

22、（本题9分）某市为节约用水。制定了分段收费的政策，下图是一个月水费y （元）和用水量x（吨）的函数关系的图象。
（1）请写出这个函数关系的解析式及自变量x的取值范围。
（2）小明家与小敏家长期共用一只水表，五月份共用水30吨，应该付水费多少元？
（3）从六月份开始，两家各用一只水表在两家总用水量不变（共用水30吨，两家用水量都超过了10吨）的情况下，六月份共付的水费比五月份多些还是少些？请说明理由。

加强知识间的联系
　　在“一次函数”一章，专门安排“用函数观点看方程（组）与不等式”一节，分别探讨一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式，一次函数与二元一次方程（组）之间的关系。这样就可以让学生发现一次函数，一元一次方程，一元一次不等式之间的联系，用函数的观点把互相联系的方程（组）、不等式、函数统一起来。
站在更高处进行动态的分析。教师需要明确安排这一节的目的，把握这些内容的要求尺度。教科书的设计者希望能通过这些内容的教学，加强知识间横向和纵向的联系，发挥函数对相关内容的统领作用，使学生能用一次函数可以把以前学习的方程和不等式等不同的数学对象统一起来认识，逐步达到新旧知识的融会贯通，进一步体验函数的重要性，提高灵活地分析解决问题的能力。

我们生活在变化的世界中，函数就是数量化地表达变化与对应思想的一种数学工具，变化规律表现在变量（自变量与函数）之间的对应关系上，函数通过数或形定量地描述这种对应关系。
在建立和运用函数这种数学模型的过程之中，“变化与对应”的思想是重要的基础，所谓变化与对应的思想包括两个基本意思：
　　1．世界是变化的，客观事物中存在大量的变量；
　　2．在同一个变化过程中，变量之间不是孤立的，而是相互联系的，一个变量的变化会引起其他变量的相应变化，这些变化之间存在对应关系。