1、
立体几何中的化归思想
2012.11.29
一． 教学目标：
1. 了解翻折是将平面转化为立体、展开是将立体转化平面，它们是相反的两个过程；
2. 了解分割与补形可以将复杂几何体转化成简单几何体；
3. 掌握翻折问题的解题技巧，表面上最短问题的解题技巧，割补法的应用技巧.
二． 知识梳理：
（一） 空间与平面的转化（展开与折叠）
1.直棱柱的侧面展开图是 .
2.正棱锥的侧面展开图是 .
3.圆柱的侧面展开图是
2、 .
4.圆锥的侧面展开图是 .
（二）复杂与简单转化（分割与补形）
1.能改变底面的简单几何体有： .
2.一个三棱柱能分割为 个等体积的三棱锥.
3.一个三棱柱能补形为 个平行六面体.
（三）陌生与熟悉转化
1.球的内接长方体对角线长与球的直径 .
2.球的内切正方体的棱长等于球的 .
3.过同一点的三条棱两两垂直的四面体可
3、以补形为以
这三条棱为长、宽、高的 .
4. 正四体可以补形为以此六棱为面的对角线的
.
三．典例分析：
题型一.翻折问题
已知直角梯形中，
，，过作，垂足为，分别为的中点，现将沿折叠，使得.
（1） 求证：；（2）求证：；
（3） 在线段上找一点，使得，
并说明理由.
变式训练：
如图1所示，在中，，，，为的平分线，点在线段上，.如图2所示，将沿折起，使得平面平面，连结，设点是的中点.
（1） 求证：平面；
（2） 若平面，其中为直线与平面的交点，求三棱锥的体积.
4、
题型二.侧面展开问题
例2.长方体中，长、宽、高分别为4、3、5，现有一个小虫从出发沿长方体表面爬行到来获取食物，则其爬行路程的最小值是 .
变式训练：
圆锥母线长为6cm，底面直径为3cm，在母线上一点，，那么由点绕圆锥侧面一周到的最短矩离为 .
题型三.割补法
例3.如图，在多面体中，已知面是边长为3的正方体，，，与面的距离为2，求该多面体的体积.
变式训练：
如图，三棱柱中，已知侧面的面积为，侧棱到面
5、的距离为.
求证：.
例4.四面体的三组对棱分别相等，且长度依次为.
（1） 求四面体的体积：（2）求四面体外接球的面积.
变式训练：
设是球表面上的四个点，两两垂直，
且，求球的体积与表面积.
四． 课堂检测：
1. 把边长为的正三角形沿高线折成的二面角，这时顶点到的距离是 .
2. 如图，棱锥的侧面是全等的等腰直角三角形且边长为a，，是的中点.一只小虫从点沿侧面爬到点，则爬行的最短距离为 .
3. 棱长为的正四面体的外接球的体积为
.
4.如图1，已知ABCD是上．下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，
将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2.
证明：AC⊥BO1；
4
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