直线与圆章节测试题.doc

直线与圆章节测试题
一、选择题
1．直线与圆相切，则的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D.
1．A解析：圆心（1,0）到直线的距离=1，解得a=0.
点拨：直线和圆的位置关系，利用圆心到直线的距离和半径的关系处理.
2．已知圆C与圆关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为（ ）
A．　　　 B.
C．　　　 D.
2．C解析：圆的圆心（1,0）关于y＝－x的对称点为（0，-1），半径还是1，所以圆C的方程为.故选C.
点拨：圆和圆关于直线对称，只需两个圆的圆心关于直线对称，而半径相等.
3．（2008年重庆卷）圆和圆的位置关系是 （ ）
相离 相交 外切 内切
3．B解析：化成标准方程：，，则，，，两圆相交.
点拨：利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之和或半径之差的大小关系判断圆和圆之间的位置关系.
4. 圆心在轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4.A解法1（直接法）：设圆心坐标为，则由题意知，解得，故圆的方程为。
解法2（数形结合法）：由作图根据点到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为
解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B，D，又由于圆心在轴上，排除C。
点拨：求圆的方程关键是依据条件找到圆心坐标和半径，常根据圆的性质或利用待定系数
法求解.
5．已知点A（-3，1，4），则点A关于原点的对称点的坐标为（ ）
A、（1，-3，-4） B、（-4，1，-3）C、（3，-1，-4） D、（4，-1，3）
5．C解析：点A关于原点的对称点的坐标，需把点A的横、纵、竖坐标都变为原来的相反数.故选C.
点拨：空间的点的对称可类比平面上的点的对称性质.
6．经过圆的圆心且斜率为1的直线方程为（A）
A. B． C. D．
6．A解析：圆C的圆心为（-1,2）所以直线方程为，即.故选A.
点拨：由点斜式写出直线方程.
7．（2008年安徽卷）若过点的直线与曲线有公共点，则直线斜
率的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
7．C解：设直线方程为，即，直线与曲线有
公共点，圆心到直线的距离小于等于半径 ，
得，选择C.
另外，数形结合画出图形也可以判断C正确。
点拨：直线和圆有公共点，则圆心到直线的距离小于等于半径，解不等式即得范围.
8．一束光线从点出发，经x轴反射到圆上的最短路径是
（ ）
A．4 B．5 C． D．
8．A解析：先作出已知圆C关于x轴对称的圆，问题转化为求点A到圆上的点的最
短路径，即．
点拨：光线反射的问题，一般转化为对称的问题解决.当对称点与圆心的连线和圆的交点时，
路径为最短和最长.
9. 已知圆C与直线x－y＝0 及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为( )
A. B.
C. D.
9．B解析：圆心在x＋y＝0上排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径即可.故选B.
点拨：可以利用待定系数法求圆的方程，也可根据条件采用排除法.
10．设圆上有且仅有两个点到直线的距离等
于1，则圆半径r的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
4
l

10．B解析：注意到圆心到已知直线的距离为
，
结合图形可知有两个极端情形：
其一是如图7-28所示的小圆，半径为4；
其二是如图7-28所示的大圆，其半径为6，故．故选B.
点拨：圆上有且仅有两个点到直线的距离等于1，借助数形结合，则圆半径r应与圆心到直
线的距离之差在1之内.
11．已知圆的方程为．设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．B解析：圆的方程化成标准方程 ，过点的最长弦为
最短弦为 故选B.
点拨：过圆内一点的最长弦为直径，最短弦为过该点与直径垂直的弦，借助直角三角形即可求解.
12. 过点作圆的弦，其中弦长为整数的共有
A. 16条 B. 17条 C. 32条 D. 34条
12．C解析：圆的标准方程是：，圆心，半径，过点的最短的弦长为10，最长的弦长为26,（分别只有一条），还有长度为的各2条，所以共有弦长为整数的条。
点拨：求出最长弦和最短弦之后，求其中间的整数弦长时，易忽视圆的对称性，导致结果减半.
二、填空题

13．与直线和曲线都相切的
半径最小的圆的标准方程是 ．
13． 解析：曲线化为，其圆心到直线的距离为所求的最小圆的圆心在直线上，其到直线的距离为，圆心坐标为标准方程为.
点拨：与直线和圆都相切的圆的圆心在过已知圆的圆心且与已知直线垂直的直线上时，半径最小.
14．已知圆的方程是，圆的方程是，由动点向圆和圆所引的切线长相等，则动点的轨迹方程是__________________
14．解析：圆：圆心，半径；圆：圆心，半径．设动点，由切线长相等，得，整理得．
点拨：根据动点到圆心的距离，半径和切线长组成直角三角形求其切线长，列方程求解.
15．已知直线，圆，则圆上各点到直线的距离的最小值是
15．解析：由数想形，所求最小值＝圆心到到直线的距离－圆的半径．圆心到直线的距离．故最小值为．
点拨：圆上的点到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径，最大值为圆心到直线的距离加圆的半径.
16．由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线，则切线长的最小值为
16.解析：切线长的最小值是当直线y=x+1上的点与圆心距离最小时取得，圆心（3，0）到直线的距离为d=，圆的半径为1，故切线长的最小值为.
点拨：由数形结合的方法可知切线长的最小值是当直线y=x+1上的点与圆心距离最小时取得.
三、解答题
17．如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为, 点在边所在直线上．

（I）求边所在直线的方程；
（II）求矩形外接圆的方程；
解：（I）因为边所在直线的方程为，且与垂直，
所以直线的斜率为．又因为点在直线上，
所以边所在直线的方程为．．
（II）由解得点的坐标为，
因为矩形两条对角线的交点为．
所以为矩形外接圆的圆心．
又．
从而矩形外接圆的方程为．
点拨：矩形外接圆的圆心在对角线的交点上，对角线的交点到一个顶点的距离即为半径.
18．求经过两圆和的交点，且圆心在直线x－y－4=0上的圆的方程
思路解析：根据已知，可通过解方程组得圆上两点，由圆心在直线x－y－4=0上，三个独立条件，用待定系数法求出圆的方程；也可根据已知，设所求圆的方程为，再由圆心在直线x－y－4=0上，定出参数λ，得圆方程
解答：因为所求的圆经过两圆（x+3）2+y2=13和x2+（y+3）2=37的交点，
所以设所求圆的方程为
展开、配方、整理，得+=+
圆心为，代入方程x－y－4=0，得λ=－7
故所求圆的方程为
点拨：圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若圆C1、C2相交，那么过两圆公共点的圆系方程为（x2+y2+D1x+E1y+F1）+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（λ∈R且λ≠－1）它表示除圆C2以外的所有经过两圆C1、C2公共点的圆
19. 已知圆与y轴交于A、B两点，圆心为P，若，求m的值.
19. 解：由题意知是等腰直角三角形，所以圆心到y轴的距离是圆半径的倍，
将圆方程配方得：.
则圆心是P(2,－1)，半径r=，所以，解得m= -3．
点拨：关键是发现是等腰直角三角形，找到半径和圆心到y轴的距离之间的关系.
20. 已知圆C：，是否存在斜率为1的直线L，使L被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在求出直线L的方程，若不存在说明理由．
20. 解：圆C化成标准方程为:
　　假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b）
　　由于CM⊥L，∴kCM×kL=－1 ∴kCM=，
即a+b+1=0，得b= －a－1 ①
直线L的方程为y－b=x－－，即x－y+b－a=0 ∴ CM=
∵以AB为直径的圆M过原点，∴
　　，
　　∴　　② 　　把①代入②得　，∴
当此时直线L的方程为：x－y－4=0；当此时直线L的方程为：x－y+1=0
故这样的直线L是存在的，方程为x－y－4=0 或x－y+1=0．

点拨：直线被圆截得的弦为直径的圆过原点，则可得到垂直关系，是解决问题的关键.
21. 已知直线:与⊙O:相交于、两点，O是坐标原点，的面积为.
（1）试将表示成的函数，并求出它的定义域；
（2）求的最大值，并求取得最大值时的值.

21.解：:如图,
(1)直线议程
原点O到的距离为
弦长 ABO面积
△

(2) 令

当t=时, 时,
点拨：表示三角形的面积，关键是找到弦长和圆心到直线的距离.求面积的最值采用换元法转化为二次函数求解.
22.有一种大型商品，A、B两地都有出售，有价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：A地每公里的运费是B地每公里运费的3倍。已知A、B两地距离为10公里，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低。求P地居民选择A地或B地购物总费用相等时，点P所在曲线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点？
22.思路解析：根据条件，建立适当坐标系，求出点P的轨迹方程，进而解决相关问题。
解答：如图，

以A、B所在的直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系，∵|AB∣=10，∴A（-5，0），B（5，0）。设P（x,y）,P到A、B两地购物的运费分别是3a、a（元/公里）。当由P地到A、B两地购物总费用相等时，有：价格+A地运费=价格+B地运费，
∴3a·=a·.
化简整理，得
（1）当P点在以（-，0）为圆心、为半径的圆上时，居民到A地或B地购物总费用相等。
（2）当P点在上述圆内时，

当P点在上述圆外时，

点拨：在解决实际问题时，关键要明确题意，掌握建立数学基本模型的方法将实际问题转化为数学问题解决。