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把握改革方向  促进学生发展（0722）.docx
把握改革方向  促进学生发展
——《数学课程标准》与数学学习评价中的知识、能力、思想和方法

四川省教育科学研究所  吴中林

链接：高考中的数学能力、思想方法及其考查要求

1  中考试题的分析视角与手段
分析和研究中考，就是分析和研究初中数学的评价和检测，必须着眼于解决为什么教的问题，关注学习评价，关键在于理解评价，以发展的理念认识评价体系．
    我们可以从课程标准、中考考试大纲（考试说明）中有关数学学习评价与测试的理念和要求的视角审视中考试题，从课程改革理念、教学理念、数学课程目标、数学学习评价与测试等方面进行思考，总结其中的数学知识、能力、思想和方法考查规律．
1.1  四个视角
考查目标. 问题背景. 解决方法. 评价分析.
例 如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3 .
 (1) 如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)
 (2) 如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；
 (3) 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个其他形状的三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，为使S1、S2、S3之间仍具有与(2)相同的关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论；
 (4) 类比(1)、(2)、(3)的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论 .
    考查目标：勾股定理，推理能力，数学探究、创新意识．
    问题背景：来自于北师大版勾股定理一章复习题中数学理解的习题．

    解决方法：面积与勾股定理、类比推理与演绎证明的运用．
    评价分析：考查意图的实现，对不同学习和思维水平的区分．
1.2  五种手段
学习标准，研究说明，明确方向.
纵向分析，逐套研究，显现特色.
横向联系，分类比较，凸显目标.
对应考点，理清层级，体现要求.
归类题型，挖掘材料，展现背景.
1.3  中考的命题规律简析
1.3.1  注重基础，面向多数，保持稳定
根据课程改革精神、数学教学改革的发展及数学考试改革的新动向，贯彻减轻学生过重课业负担的精神，适应全面实施素质教育的需要，适当控制试题题量和试题难度，注重基础，面向多数学生，保持总体稳定．
中小学教育是基础教育，因此初中数学打基础任何时候都是非常重要的．考查学生的基础知识与基本技能始终都应摆在突出的位置，对于学生终身学习有价值的数学基础知识，始终作为考查的重要内容，通过加强基础知识的考查，促进初中生数学素养的提高．在构卷方面使考生有比较充分的时间思考问题并作答，不至于因时间不够而影响真实水平的发挥．初中数学基础知识和基本技能是学生数学素质的重要内容，中考命题应在整卷题量减少、难度适中的情况下，仍然注重“双基”的考查，并在此基础上注意考查学生的基本运算能力、数学思想方法运用能力、运用数学知识解决实际问题的能力以及周密思考问题的习惯．
 例 如图，宽为50 cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为
A. 400 cm2                         B. 500 cm2
C. 600 cm2                         D. 4000 cm2

1.3.2  紧扣标准，依托教材，尊重实际
对数学基础知识的考查，根据课程标准的基本精神，以学生常见的基本题型为主，注重考查学生对数学知识、技能和方法的理解、掌握与运用．要求较全面又突出重点，适当注重学科的内在联系和知识的综合．重点知识是支撑学科知识体系的主要内容，考查时要保持较高的比例，并达到必要的深度，构成数学试题的主体．命题时尊重本地文化经济发展和教育发展实际，严格遵循课程标准，依托教材编制试题．
 例 小明打算用如图的矩形纸片ABCD折出一个等边三角形. 他的操作步骤是：①先把矩形纸片对折后展开，并设折痕为MN；②把B点叠在折痕线上，得到Rt△AB1E；③沿着EB1线折叠，得到△EAF . 小明认为，所得的△EAF即为等边三角形 . 试问，小明的结论是否正确？若正确，请给予证明；若不正确，请你给出一种将矩形纸片ABCD折为一个等边三角形的方法.
  问题背景：
    华东师大出版社图形的相似一章复习题C组21题：

   几个相关的问题： 
    如图，矩形纸片ABCD中，点E在BC上，AE = EC．若将纸片沿AE折叠，点B恰好落在AC上(点B′) ，则∠ACB的角度是           ．
延伸思考：
按上述折叠方式，AB和AD的长度应具有怎样的关系？
1.3.3  保持平稳，适度创新，逐步深化
例 如图，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H.
(1) 求证：AH·AB=AC2；
(2) 若过A的直线与弦CD(不含端点)相交于点E，与⊙O相交于点F，求证：AE·AF=AC2；
(3) 若过A的直线与直线CD相交于点P，与⊙O相交于点Q，判断AP·AQ=AC2是否成立(不必证明).
例 y关于x的函数图象如图所示．若在图中横线上填入适当的数字可以将它们之间的关系表示出来，则填入的数字应该是（    ）
  A．1，2      B．1，1      C．2，1       D．2，2

1.3.4  重视知识，关联能力，展现特点
数学知识是命题处理的对象，更是进行其他考查的基础和载体，随着数学教育改革的发展，对基础知识进行了重新的认识和定位 . 新课程理念强调基础的更新，减少对单纯知识、公式的记忆要求，降低对运算复杂性、技巧性的要求 . 知识的作用的重新定位，就是将评价的内容更多地指向有价值的数学任务和数学活动，将纯粹的数学运算被置于问题解决的过程之中 . 运用这些知识载体，不但考查学生的数学知识，而且获得理性思维的培育和美感的熏陶 .
在对数学知识进行考查的同时，关注数学课程的核心理念，合理体现对基本数学思想方法、数学能力的考查．
对能力的考查，强调以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料 . 对知识的考查侧重于理解和应用，尤其是适度的综合和灵活的应用，适当考查初中数学知识中蕴涵的数学思想和方法，以此来检测考生将知识迁移到不同的情境中去的能力，从而检测出考生个体理性思维的广度和深度，以及进一步学习的潜能 .
考查初中数学知识中蕴涵的数学思想和方法时，与数学知识的考查结合进行，注重通性通法，淡化特殊技巧．
试题设计展现数学的学科特点．
（1） 数学思维(抽象性、概括性等)．
例  如果现有如图所示的A类卡片4张，B类卡片1张，C类卡片4张，那么这9张卡片拼成的正方形的边长为（    ）．

  A．a + 2b   B．2a + b  C．2a + 2b    D．4a + b
提供的9张卡片的面积和S = 4a2 + b2 + 4ab=（2a +b）2，相应正方形的边长为2a + b，选B．拼法如下：

    例  与最接近的整数是           ．
比较与的大小，即7与的大小，也就是72与（）2的大小．
比较3.5与的大小．——二分法．
（2） 数学应用．
数学来源于生活，又服务于生活．学习数学的目的之一是用数学知识、方法和思想去解决实际问题，培养学生用数学的意识．因此，试题贴近生活、贴近实际，在材料的选择方面，能充分反映时代特点，关注现实生活．在“问题解决”的过程中，充分让考生体会数学与自然及人类社会的密切联系，增进对数学的理解和学习数学的信心．
根据教学实际，合理反映考试性质，适度强化对数学思维及数学应用意识、创新意识和实践能力的考查，以生产、生活实际中的现实问题为题材，恰当联系社会实践，在中考题中编制一定数量的新颖试题．
（3）数学探究与开放．
以多元化、多途径、开放式的设问背景，能比较客观、全面地测量学生观察、试验、联想、猜测、归纳、类比、推广等思维活动的水平，对于激发学生探索精神、求异创新思维等有着积极的意义 .
试题面向每一个学生的个性发展，关注学生在活动过程中所产生的丰富多彩的学习体验和个性化的创造性表现，其评价标准具有多元性 . 在传统内容的考查中推陈出新，设计出新颖别致的试题，使活动过程与结果均具有开放性 .
探索是数学发现的先导，培养学生探索、发现的意识和创新能力是推进素质教育的重点．开放题常常条件或结论不明确，解题依据和方法往往不惟一，需深入探索方可求解．解这类题需具备扎实的基本知识、基本技能和基本的数学思想．因此，中考试题如何留出空间，让学生在探索、开放中研究数学，是创新数学命题的探求方向之一.
 例 假设有12名旅客要从A地赶往40千米外的火车站B乘车外出旅游，列车还有3个小时从B站出站，且他们只有一辆准载4名乘客(不含驾驶员)的小汽车可以利用. 已知这些旅客的步行速度是每小时4千米，汽车的行驶速度为每小时60千米.
 ⑴ 若只用汽车接送，12人都不步行，他们能完全同时乘上这次列车吗？
 ⑵ 试设计一种由A地赶往B站的方案，使这些旅客都能同时乘上这次列车 . 按此方案，这12名旅客全部到达B站时，列车还有多少时间就要出站？
注：1. 用汽车接送旅客时，不计旅客上下车时间，12名旅客都不驾驶汽车 ；2. 所设计方案若能使全部旅客同时乘上这次列车即可 . 若能使全部旅客提前20分钟以上时间到达B站，可得2分加分，但全卷总分不超过100分 .
1.3.5  关注衔接，考查潜能，体现性质
适当强化对考生数学素养的考查．倡导在考试中学习，适度考查学生继续学习高中数学的潜能，促进学生形成终身学习的能力．
在课程标准的框架下，根据教学实际进行考查学生的创新意识．对创新意识的考查，主要是要求考生不仅仅能理解一些概念、定义，掌握一些定理、公式，更重要的是能够应用这些知识和方法解决数学中和现实生活中的比较新颖的问题 . 创新意识和创造能力是理性思维的高层次表现 . 在数学学习和研究过程中，知识的迁移、组合、融会程度越高，展示能力的区域就越广泛，显现出的创新意识也就越强 . 命题时注意试题的多样性，设计考查数学主体内容，体现数学素质、反映数形运动变化的题目，以及研究型、探索型或开放型题目，让学生独立思考，自主探索，发挥主观能动性，研究问题的本质，寻求合适的解题工具，总结解题程序，为考生展现其创新意识、发挥创新能力创设广阔的空间 . 命题操作时，往往设计能使用中学数学知识和初中毕业生应当具备的基本常识所能解决的相关问题 . 其次，问题给出的方式采用的是材料的陈述，而不是客体的展示，也就是说，考查时所提出的问题，通常已进行过初步加工，并通过语言文字、符号或图形展现在考生面前，要求考生读懂、看懂 . 因此，对阅读、理解数学材料的能力有一定程度的要求 .
例  如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，则A′C长度的最小值是__________．
 由轴对称的性质，不论点N在何位置，始终有MA′＝MA＝1．连接MC，有MA′＋A′C≥MC，所以当点A′在MC上时，A′C长度有最小值．

2  中考的考试性质与命题相关要求
2.1  中考是学业水平（初中毕业）考试、高中招生考试．
义务教育阶段数学学科的终结性考试．其目的是全面、准确地考查初中毕业生在数学学习方面达到《全日制义务教育数学课程标准（修订稿）》所规定的初中阶段数学毕业水平的程度．考试结果既是衡量学生是否达到义务教育阶段数学学科毕业标准的主要依据，也是高中阶段学校招生的重要依据之一．
2.2  中考命题依据、指导思想与命题原则
试题注重体现新课程的基本理念，重点考查初中数学课标中涉及的基础知识、基本运算能力、思维能力和学生运用数学知识分析和解决简单实际问题的能力，并通过考试反映数学教学和考试发展动态，引导教师转变观念，改变教学方式，促进学生生动、活泼、主动地学习．
2.2.1  命题依据
《数学课程标准（实验、修订稿）》、《教育部关于基础教育课程改革实验区初中毕业考试与普通高中招生制度改革的指导意见》(教基[2005]2号)、《课程改革实验区初中数学学业考试命题指导意见》、《初中毕业升学考试和中等学校招生工作意见》、《考试说明》以及数学教学实际．
2.2.2  命题指导思想与命题原则
有利于引导和促进数学教学全面落实《数学课程标准》所设立的课程目标；有利于引导和改善学生的数学学习方式，提高学生数学学习的效率；有利于减轻学生过重的学业负担，促进学生素质发展；有利于高中阶段学校综合、有效地评价学生的数学学习状况．
既要重视对学生学习数学知识与技能的评价，也要重视对学生在数学思考能力和问题解决能力等方面发展状况的评价．
命题应当面向全体学生，根据学生的年龄特征、思维特点、数学背景和生活经验编制试题，使具有不同认知特点、不同数学发展程度的学生都能表现自己的数学学习状况，力求公正、客观、全面、准确地评价学生通过初中教育阶段的数学学习所获得的发展状况．
考查内容要依据《数学课程标准》，体现基础性．要突出对学生基本数学素养的评价．试题应首先关注《数学课程标准》中最基础、最核心的内容，即所有学生在学习数学和应用数学解决问题过程中最重要的、必须掌握的核心观念、思想方法、基本知识和常用的技能．一方面，具体的考查内容涵盖《数学课程标准》所涉及到的知识领域；另一方面，所有试题(包括求解过程)中所涉及的知识与技能也以《数学课程标准》为依据，不能扩展范围与提高要求．特别是《数学课程标准》中没有要求掌握的具体知识不能成为解决问题过程中实质性或必备性的内容．
试题素材、求解方式等要体现公平性．考查内容、试题素材和试卷形式在总体上对每一位学生而言应当是公平的．即要避免需要特殊背景知识才能够理解的试题素材；要避免试卷的整体表达方式有利于一种认知风格的学生、而不利于另一种认知风格的学生．对于具有特殊才能和需要特殊帮助的学生试卷的构成应考虑到他们各自的数学认知特征、已有的数学活动经验，给他们提供适当的机会来表达自己的数学才能．
试题背景要符合学生的现实．试题背景来自于学生所能理解的生活现实或其他学科现实，与生活或社会相关的题材应当具有鲜明的时代特征，能够在当今学生的实际生活中找到原型，试题所蕴涵的数学应符合学生所具有的数学现实．
试题设计应科学、有效．试题内容与结构应当科学，题意应当明确；难度分布合理，难点应分散；试题表述应准确、规范，避免因文字阅读困难而造成的解题障碍．试题设计与其要达到的考查目标应当一致，试题的求解过程应反映《数学课程标准（实验稿）》所倡导的数学活动方式．
2.3  考试形式、时间与试卷结构
2.3.1  考试形式
闭卷、笔试形式，不允许使用计算器．
2.3.2  难度控制
    在试题的难易程度上，低、中、高三档试题分值的比例为7：2：1．
2.3.3  试卷结构
    题型结构，分值与难度结构，时间设定．
2.4  考试内容与要求
2.4.1  学生数学学习成果
   按照《数学课程标准》的要求，根据《考试标准》，数学学习成果主要包括以下几个方面：一是获得在未来社会生活中所必备的数学知识、技能和方法；二是能够初步运用数学的思维方式认识一些自然与社会现象，解决相应的问题；三是能够自主地从事一些数学探究活动，并能够在活动中有效地表达自己的思维过程，理解他人的观点；四是能够形成一些基本的思维方式，达到一定的抽象思维水平等．
2.4.2  考查内容
主要包括以下几个方面：基础知识与基本技能，数学活动过程，数学思考，问题解决能力等．
在《课程标准》中，提出了相关的总体目标：
知识技能
●经历数与代数的抽象、运算与建模等过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能．
●经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程，掌握图形与几何的基础知识和基本技能．
●经历在实际问题中收集和处理数据、利用数据分析问题、获取信息的过程，掌握统计与概率的基础知识和基本技能．
●参与综合实践活动，积累综合运用数学知识、技能和方法等解决简单问题的数学活动经验．
数学思考
●建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维．
●体会统计方法的意义，发展数据分析观念，感受随机现象．
●在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法．
●学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式．
问题
解决
●初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力．
●获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识．
●学会与他人合作交流．
●初步形成评价与反思的意识．
情感态度
●积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲．
●在数学学习过程中，体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立自信心．
●体会数学的特点，了解数学的价值．
●养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯，形成实事求是的科学态度．

一般地，具体的考查目标和要求在考试说明或者考试标准中进行规定．
链接：某市《数学学科考试说明》（摘录）．
链接：教育测量与试题评价
3  中考试题中的数学知识、能力、思想和方法
3.1  知识与技能要求
数学课程标准中有两类行为动词，一类是描述结果目标的行为动词，包括“了解、理解、掌握、运用”等术语．另一类是描述过程目标的行为动词包括“经历、体验、探索”等术语．这些词的基本含义如下．
了解：从具体实例中知道或举例说明对象的有关特征；根据对象的特征，从具体情境中辨认或者举例说明对象．
理解：描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系．
掌握：在理解的基础上，把对象用于新的情境．
运用：综合使用已掌握的对象，选择或创造适当的方法解决问题．
经历：在特定的数学活动中，获得一些感性认识．
体验：参与特定的数学活动，主动认识或验证对象的特征，获得一些经验．
探索：独立或与他人合作参与特定的数学活动，理解或提出问题，寻求解决问题的思路，发现对象的特征及其与相关对象的区别和联系，获得一定的理性认识．

在课程标准使用了一些具有类似含义的词，表述与上述术语同等水平的要求程度．这些词与上述术语之间的关系如下：
（1）了解
同类词：知道，初步认识．
实例：知道三角形的内心和外心；能结合具体情境初步认识小数和分数．
（2）理解
同类词：认识，会．
实例：认识三角形；会用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图．
（3）掌握
同类词：能．
实例：能认、读、写万以内的数，能用数表示物体的个数或事物的顺序和位置．
（4）运用
同类词：证明．
实例：证明定理：两角及其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等．
（5）经历
同类词：感受，尝试．
实例：在生活情境中感受大数的意义；尝试发现和提出问题．
（6）体验
同类词：体会．
实例：结合具体情境，体会整数四则运算的意义．
例  XX市XXXX年高中阶段教育学校统一招生考试数学科试卷双向细目表与试题
知识板块
具体内容
题型
题号
分值
要求
层次
权重比例
数与代数73
数与式
绝对值
选择
1
3
了解
26
整式的计算
选择
4
3
了解
分解因式
填空
11
4
理解
实数运算
解答
15（1）
6
了解
分式化简
解答
16
6
理解
整式的计算
填空
21
4
掌握
方程与不等式
分式方程
选择
8
3

理解
12
解不等式组
解答
15（2）
6
掌握
列方程解应用题
选择
10
3
理解
函数
自变量的取值范围
选择
2
3
了解
35
反比例、一次函数求解析式
解答
18（1）
4
理解
反比例、一次函数求交点
解答
18（2）
4
理解
反比例与一次函数综合
填空
24
4
掌握
函数实际应用（求解析式）
解答
26（1）
3
理解
函数实际应用问题（求最值）
解答
26（2）
5
掌握
二次函数综合运用（解析式）
解答
28（1）
4
理解
二次函数综合运用（点坐标）
解答
28（2）
4
灵活运用
二次函数综合运用（根系关系）
解答
28（3）
4
灵活运用
空间与图形56
图形的认识
三视图
选择
3
3
了解
49
圆与圆位置关系（相切）
选择
7
3
了解
菱形性质
选择
9
3
了解
相交线与平行线
填空
12
4
了解
圆的相关性质（垂径）
填空
14
4
掌握
解直角三角形
解答
17
8
理解
图形的全等
解答
20（1）
4
掌握
图形的相似及勾股定理
解答
20（2）
6
灵活运用
圆柱与圆锥
填空
22
4
理解
直线和圆综合（切线性质）
解答
27（1）
3
理解
直线和圆综合（相似判定）
解答
27（2）
3
掌握
直线和圆综合（计算）
解答
27（3）
4
灵活运用
图形与变换
点的轴对称
选择
6
3
了解
7
图形变换（旋转、拼图）
填空
25
4
灵活运用
统计与概率21
统计
中数、中位数
填空
13
4
理解
21
科学记数法
选择
5
3
了解
统计图
解答
19（1）
4
理解
概率
概率
填空
23
4
掌握
列表法等
解答
19（2）
6
理解
全卷统计

150

150

A卷
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1. 的绝对值是
（A）3                     （B）                     （C）                     （D）
2．函数中，自变量x的取值范围是
（A）              （B）              （C）              （D）
3. 如图所示的几何体是由4个相同的小正方体组成，其主视图为

             （A）         （B）         （C）           （D）
4. 下列计算正确的是
（A）                                          （B） 
（C）                                          （D）
5．成都地铁二号线工程即将竣工，通车后与地铁一号线呈“十”字交叉，城市交通通行和转换能力将成倍增长.该工程投资预算约为930 000万元，这一数据用科学记数法表示为

（A）万元                                          B）万元
（C）万元                                          （D）万元
6. 如图，在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点的坐标为
（A）
（B）
（C）
（D）
7．已知两圆外切，圆心距为5cm，若其中一个圆的半径是3cm，则另一个圆的半径是
（A）8cm                     （B）5cm                     （C）3cm                     （D）2cm
8．分式方程的解为
（A）1              （B）2                     （C）3                     （D）4
9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是

（A）AB∥DC
（B）AC=BD
（C）AC⊥BD
（D）OA=OC
10．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是，根据题意，下面列出的方程正确的是
（A）                                   （B）
（C）                                   （D）
              第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题（本大题共4个小题每小题4分，共16分）
11．分解因式：＝________．
12．如图，将的一边BC延长至E，若∠A=110°，
则∠1=________．
13．商店某天销售了11件衬衫，其领口尺寸统计如下表：
领口尺寸（单位：cm）
38
39
40
41
42
件数
1
4
3
1
2
则这11件衬衫领口尺寸的众数是______cm，中位数是_______cm.

14. 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB＝，OC＝1，
则半径OB的长为________．

三、解答题（本大题共6个小题，共54分）
15. （本小题满分12分，每题6分
（1）计算：．
（2）解不等式组：．  
16．（本小题满分6分）
化简：．
17.（本小题满分8分）
如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部（B处）6米的D处，仰望旗杆顶端A，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED为1.5米，试帮助小华求出旗杆AB的高度.
（结果精确到0.1米，）

18．（本小题满分8分）
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A的坐标为（，4）．
   （1）分别求出反比例函数及一次函数的表达式；
   （2）求点B的坐标．

19．（本小题满分10分）
某校将举办“心怀感恩·孝敬父母”的活动，为此，校学生会就全校1 000名同学暑假期间平均每天做家务活的时间，随机抽取部分同学进行调查，并绘制成如下条形统计图．

（1）本次调查抽取的人数为_______，估计全校同学在暑假期间平均每天做家务活的时间在40分钟以上（含40分钟）的人数为__________；
（2）校学生会拟在表现突出的甲、乙、丙、丁四名同学中，随机抽取两名同学向全校汇报．请用树状图或列表法表示出所有可能的结果，并求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．

20．（本小题满分10分）
如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．
（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE；
（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP＝，CQ＝时，P，Q两点间的距离（用含的代数式表示）．

B卷
一、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
21．已知当时，的值为3，则当时，的值为      ．
22．一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示，则该几何体的全面积（即表面积）为_________．（结果保留）
23．有七张正面分别标有数字－3，－2，－1，0，1，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为，则使关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且以为自变量的二次函数的图象不经过点（1，0）的概率是        ．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数在第一象限的图象交于点E，F．过点E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥x轴于N，直线EM与FN交于点C．若（为大于1的常数），记△CEF的面积为，△OEF的面积为，则        .（用含的代数式表示）
25．如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，按下列步骤进行裁剪和拼图：

第一步：如图①，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片EBC（余下部分不再使用）；
第二步：如图②，沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分；
第三步：如图③，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转，使线段GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转，使线段HC与HE重合．拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片．
（裁剪和拼图过程均无缝且不重叠）
则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为        cm，最大值为        cm．

二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
26.（本小题满分8分）
“城市发展 交通先行”，成都市今年在中心城区启动了缓堵保畅的二环路高架桥快速通道建设工程，建成后将大大提升二环路的通行能力．研究表明，某种情况下，在高架桥上的车流速度V（单位：千米/时）可以看作是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，且当时，V=80；当时，V=80是x的一次函数．函数关系如图所示．

（1）求当时，V关于x的函数表达式；
（2）若车流速度V不低于50千米/时，求当车流密度x为多少时，车流量P（单位：辆/时）达到最大，并求出这一最大值．
（注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量＝车流速度×车流密度）

27．（本小题满分10分）
    如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O 的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于K．
（1）求证：KE=GE；
（2）若，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长．

28．（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，一次函数（m为常数）的图象与轴交于点A（，0），与轴交于点C．以直线为对称轴的抛物线（a，b，c为常数，且a≠0）经过A，C两点，并与轴的正半轴于点B．
（1）求的值及抛物线的函数表达式；
（2）设E是轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；
（3）若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与轴不平行的直线交抛物线于，两点，试探究是否为定值，并写出探究过程．

3.2  初中数学的核心观念——数学能力与数学思想
课程标准指出，在数学课程中应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想．为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识．
链接：核心观念——数学能力、数学思想及其教学．
3.2.1  运算能力
数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟．建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系．
符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性．建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式．
运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力．培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简捷的运算途径解决问题．
    例  参加成都市今年初三毕业会考的学生约有万人，将万用科学记数法表示应为
    (A)            (B)            (C)             (D)
【2013年成都市中考试题】
    例  已知，，用“+”或“－”连接P，Q共有三种不同的形式：P + Q，P－Q，Q－P，请选择其中一种进行化简求值，其中a = 3，b = 2．
【2010年广东湛江市中考试题】
    例  先化简再求值：，其中，．
【2014年成都市中考试题】
    例  已知点(3,5)在直线y=ax+b(a，b为常数，且a≠0)上，则ab–5的值为_____．
【2013年成都市中考试题】
    例  若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是_______．
【2014年成都市中考试题】

    注意到，则方程等价于，这样的运算比直接对方程左端进行通分要简捷．
3.2.2  空间想象能力
    空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等．
    例  下列几何体的主视图是三角形的是

  （A）          （B）          （C）           （D）
【2014年成都市中考试题】

    例  把右图中的三棱柱展开，所得到的展开图是

【2013年绵阳市中考试题】
    例  将一张正方形纸片如图3所示折叠两次，并在上面剪下一个菱形小洞，纸片展开后是(   )

【2011年资阳市中考试题】

3.2.3  推理能力
推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中．推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式．推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算．在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成；合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论．
    例  已知a＞b，c≠0，则下列关系一定成立的是
   A．ac＞bc   B．   C．c-a＞c-b   D．c+a＞c+b
    PS：2014年高考理科第4题：若，，则一定有
 (A)                                         (B) 
 (C)                                              (D) 
    立意：考查不等式的性质等基础知识，考查推理论证能力．
    解析：法一：由，得，则，所以，．答案为(D)．法二：取 ，即可排除选项(A)，(B)，(C)，答案为(D)．

例  从所给出的四个选项中，选出适当的一个填入问号所在位置，使之呈现相同的特征

【2013年资阳市中考试题】
    例  如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，则重叠部分周长的最小值是（    ）．
A．8                B．6