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波利亚合情推理模式合理性之新证
陈翠花 翟永恒
（河南师范大学 数学与信息科学学院，河南 新乡 453007）
摘要：本文以主观贝叶斯理论为工具，对波利亚的合情推理模式及相应的论证模式在形式上予以统一，并对猜想的证据不确定情况之合理性进行了补证.
关键词：主观贝叶斯理论； 合情推理模式； 概率演算

1 波利亚对其合情推理模式合理性的论证及其不足
波利亚借鉴凯恩斯等人的研究成果，使用概率演算的方法对合情推理模式的合理性进行了论证.但由于数学猜想没有随机性（只能真或假），不满足进行概率演算的前提条件，所以波利亚首先进行了一些界定：将猜想A成立的可靠性，即研究者对猜想A成立的信心这一带有随机性的值作为运算对象，并假定研究者具有客观性.通过这一极富创造性的界定，波利亚成功的实现了对合情推理的首次定量研究.
然而我们知道，合情推理的主要思路是：通过考察猜想A的相关猜想B的真假，从而帮助判断A的真假.波利亚详细分析了当研究者成功断定了B的真假后对A的认识将如何变化，即P(A|B)或P(A|┐B)与P(A)相比发生了怎样的变化.但实际上，猜想B多数也是很难断定真假的.对于这种不确定情况，也许是受当时不确定推理的定量研究还不够成熟的限制，波利亚并没有对此给出回答，并且到目前为止，数学教育领域对不确定情况基本上仍停留在波利亚的研究成果上.
今天，研究不确定推理的方法已经很多，如在人工智能领域广泛使用的主观贝叶斯理论、模糊数学等，这就为我们更全面的论证合情推理模式的合理性提供了新的理论工具.本文借鉴人工智能领域内用来模拟不确定推理的主观贝叶斯理论，将各种合情推理模式在形式上予以统一，并对合情推理模式的合理性进行了比较全面的论证.
2 主观贝叶斯理论简介[1] 135-139
主观贝叶斯理论及相应的推理模型是由杜达（R·O·Duda）等人1976年提出的，并在斯坦福大学著名的矿藏勘探专家系统PROSPECTOR中获得了成功的应用.
2.1 几率函数 几率函数O（A）等价于概率函数P（A）,定义如下：
O（A）=， P（A）=
其中P(A)∈[0，1], O(A)∈[0，+∞).显然，概率越大则几率越大，当A为不可能事件时O(A)=0, A为必然事件时O（A）=+∞.
2.2 充分性度量与必要性度量 由几率函数定义与概率相关知识可知：
，
充分性度量LS
记LS=, 则O（A|B）=LS·O(A) ①
LS反映了B对A的支持程度,LS越大表明B对A越支持，即B的出现对A充分性越大.其中当LS=0时，O（A|B）=0，说明B真则A假；当LS∈（0，1）时，O（A|B）O(A)B支持A；当LS=+∞时，B真则A真，说明B的出现对A是充分的.
必要性度量LN
记LN=， 则=LN·O(A) ②
LN反映了┐B对A的支持程度，即B的出现对A的必要性.其中当LN=0时, =0，┐B真则A假，说明B的出现对A是必要的；当LN∈(0,1)时O(A)，说明┐B支持A；当LN=+∞时，┐B真则A真.
B
A
LS
LN
图一
2.3 主观贝叶斯推理模型及相关算法
图一是主观贝叶斯推理模型的示意图.其中B、A、LS和LN分别代表证据、结论、推理模型的充分性度量和必要性度量.特别要注意的是，LS和LN的取值范围决定了证据B与结论A间的逻辑关系.例如，若LN=0且LS=+∞，则A与B互为充要条件，即.
使用此模型进行推理基本过程是：根据证据B的先验概率P（B）和LS、LN,将结论A的先验概率P（A）更新为形如P（A|B）、P（A|┐B）的后验概率.其中，P(A)、P(B)、LS、LN的值均由相关领域的专家给出.
由于证据B的真假可能是确定的，也可能是不确定的，还可能是多个证据的组合，而各种情况下A的后验概率计算方法各不相同，所以下面对这三种情况分别进行讨论.
证据B确定
若B真, ③
若B假， ④
证据B不确定
现实中，证据B大多是不确定的，需要先对证据B进行考察（记为S），以求出B成立的概率P(B|S).这样，结论A成立的可能性实际上是以考察S为基础的，所以A成立的概率应表示为P(A|S).整个推理过程可以表述为:利用P（B|S）、P(A)、LS和LN，求结论A的后验概率P（A|S）.根据杜达等人1976年证明的一个公式：
P（A|S）=P（A|B）P(B|S)+P(A|┐B)P(┐B|S)
可得： ⑤

从函数图像（图二）容易看出：当P(B|S)=0时，P（A|S）＝P（A|┐B），说明考察S已经断定B假，这时P（A|S）可由④得；当P(B|S)=P(B)时，P(A|S)=P(A),说明对B的考察S无效，推理没有取得进展，结论A成立的可能性仍为P(A)；当P(B|S)=1时，P（A|S）＝P（A|B），说明考察S已经断定B真，这时P（A|S）可由③得.至于如何确定P(B|S)，读者可参阅相关文献.
证据B为若干独立证据的组合
若有n个相互独立的不确定证据Bi（i=1,2,…,n）对结论A都有某种程度上的影响，且每个证据Bi有相应的考察Si，则由这些证据的组合得到的A的后验几率： O（A|S1&S2&…&Sn）=××…× ⑥
3 波利亚合情推理模式及相应的论证模式的统一形式
我们知道,波利亚合情推理模式总共有四种类型:审定猜想A的结论B,即A→B真；审定猜想A的根据B，即B→A真；审定猜想A的不相容猜想B，即A∧B假；审定猜想A的类似猜想B.若把这四种类型中的A和B分别叫作主观贝叶斯推理的结论和证据，并赋予准确的LS与LN值，就可以实现形式上的统一.具体过程如下：
审定猜想A的结论B
由真值表知,当B假时A必假，说明B的出现对A是必要的，LN＝0.对应论证模式一；当B真时，猜想A怎样呢?没有论证结论.然而这种证实却使A变得更为可靠 [2] 2.即B支持A，O（A|B）>O(A)，LS>1.对应合情推理模式一.
审定猜想A的根据B
由真值表知,当B真时A必真，即B的出现对A是充分的,LS=+∞.对应论证模式二；当B假时，没有论证结论.然而在作为猜想A的可能依据被推翻时，我们对猜想A的信任只能减少[2] 20.即O(A|┐B)< O(A)，即0O(A)，LN>1.对应合情推理模式三.
审定与猜想A类似的猜想B
我们知道有效的类比可以分为正向类比和反向类比，这里我们只考虑B是A的正向类比，即B真时，A的可靠性增大.即O(A|B)>O(A)且 O(A|┐B)< O(A)，LS>1且0靠性有一个初步的心理预期值,分别记为P(A)和P(B).当对B进行考察S后，对B成立的信心变为P(B|S),相应的，对A成立的信心值将变为P(A|S).我们认为,合情推理模式的合理性就在于通过对B的考察，能够深化对A的认识，所以论证的关键是分析P(B|S)的变化会对P(A|S)产生什么影响.限于篇幅，下面仅就审定猜想A的一个结论B的合理性加以论证.
4.1 论证审定猜想A的一个结论B的合理性
由3知,此类型对应的推理模型参数为LS>1且LN=0.由LN=0知O(A|┐B)=0,即P(A|┐B)=0.由LS>1知O(A|B)＞O(A)，即P(A|B)＞P(A).记Y=P(A|S)-P(A)，则Y代表对B进行考察S后，对A成立的信心的变化量.
猜想B真假确定
猜想B真假确定，意味着通过S已经确定B真或假，即P(B|S)＝1（或0），此时对A的信心为P(A|S)＝P(A|B)（或P(A|┐B)）.这种情况波利亚已经用概率演算的方法进行了详细的论证，本文不再赘述.
猜想B不确定
有时虽然对B进行了考察S，但并不能断定B的真假，即0＜P(B|S) ＜1时，表示通过考察S发现，开始低估了B成立的可能性，且P(B|S)越大低估的程度就越大.由公式⑤得:
当0

由P(A|B) ＞P(A)知，Y是关于P(B|S)的增函数,且0＜Y＜P(A|B)－P(A) .其中P(A|B)-P(A)= (常数).此式说明经过对B的分析，一旦发现B的可靠性比开始预期的大，即发现开始低估了B的可靠性，对A成立的信心就会随之上升.且对B的低估程度越大，则对A成立的信心增加幅度越大.
综上可知,对B进行考察S后对A成立的信心变化函数为：
⑦
上式说明，只要对B的考察S有效(P(B|S)≠P(B))，即使不能断定B的真假，但研究者对A的认识也会加深.因此“审定猜想A的结论”确实具有其合理性.

[ 参 考 文 献 ]
[1] 王士同等.人工智能教程[M].北京：电子工业出版社，2004.
[2] [美]G·波利亚著(李志尧等译).数学与猜想(第二卷)[M].北京：科学出版社，2002.

作者简介 陈翠花 女（1955.4－）河南师范大学数学与信息科学学院副教授，硕士研究生导师，从事课程与教学论研究
翟永恒 男（1979-）河南师范大学数学与信息科学学院 硕士研究生 从事课程与教学论研究
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