第二节力的合成与分解、探究力的合成平行四边形定则.doc

§2．2 力的合成与分解、探究力的合成平行四边形定则
【考点透视】
内容
要求
说明
力的合成和分解力的平行四边形定则（实验、探究）
Ⅱ
力的合成和分解的计算，只限于用作图法或直角三角形知识解决
【知识网络】
一、力的合成与分解
1．合力单独作用的效果与几个分力共同作用的效果相同（即所谓“等效”）。从作用效果上看，合力与分力可以相互替换。这里的等效实际上是力在改变物体运动状态这一作用效果的等效。
2．力的合成与分解都遵循平行四边形定则。计算时首先要根据题目要求按照力的平行四边形定则作出力的合成或分解的图示，再根据数学知识解三角形求解合力与分力。主要为求解直角三角形问题，对于较简单的斜三角形问题，也可利用正弦定理、余弦定理或相似三角形的知识求解。
3．二力（F1、F2)合成的合力(F)的取值范围为：｜F1－F2｜≤F≤（F1＋F2）.
在两个分力大小一定的情况下，随着两分力夹角的增大，合力逐渐减小。当两分力夹角为零时，合力最大：Fmax=F1+F2；当两分力夹角为180°，合力最小：Fmin=｜F1-F2｜。
4．把一个已知力分解为两个互成角度的分力，如果没有条件限制，可以分解为无数对分力。要得到确定的答案，必须给出一些附加条件，如已知两个分力的方向、已知一个分力的大小及方向等。
在实际分解中一般要根据力的实际作用效果进行分解，同一个力在不同的条件下产生的效果不同。把一个力根据其效果分解的基本方法是：①先根据力的实际作用效果确定两个分力的方向；②再根据两个分力的方向作出力的平行四边形；③解三角形，计算出分力的大小和方向。三角形的边长代表力的大小，夹角表示方向。
另外一种常用的力的分解方法叫正交分解法，就是把物体受到的各个力都分解到互相垂直的两个方向上去，然后分别求每个方向上的力的代数和。求出了两个正交的方向上的合力后，就可以根据平衡条件或牛顿定律进行列式计算。正交分解法是一种特殊的处理问题的方法，它的本质还是等效替代。这种方法的突出优点是把复杂的力的矢量运算转化为互相垂直方向上的简单的代数运算。特别适用于多力（三个或三个以上的共点力）作用下的物体的平衡或加速问题。因此，对此方法应注意重点掌握。
二、几点说明
1．将一个力分解为两个分力，由力的矢量三角形法则可知，有惟一解的有以下三种：
①两个分力方向已知；
②一个分力的大小和方向均已知；
③一个分力F1的大小已知,另一个分力F2的方向已知（F1、F2的夹角为θ），且满足F1＝F2sinθ。
应注意，与三条边决定一个三角形的情况不同，若二个分力F1 、F2的大小已知，且满足F1+F2＞F时，并不能惟一地确定力矢量三角形（从空间的角度讲，可能有无数个力矢量三角形）即没有惟一解，另外，在一个分力F1的大小已知，另一个分力F2的方向已知的情况下，若F1＞F2sinθ，力矢量三角形可能有两个，也可能只有一个，因此也没有惟一解（想一想，为什么？）。
2．求合力或分力的主要方法有以下几种：
⑴平行四边形定则，合力F=；
⑵三角形定则，即不共线的两个共点力与它们的合力构成力三角形 。利用解直角三角形的方法或正弦、余弦定理、相似三角形的相似比相等等几何知识来分析求解相关问题，直观、简捷；
⑶正交分解法。这是一种万能之法，尤其适用于求多个力的合成情况。选取力分解方向的原则是：尽量减少需分解力的个数。
3．平行四边形定则虽然首先通过对力的等效转换研究，由实验确定，但它却是整个中学物理矢量运算的基本定则，物理学中的其他矢量如位移、速度、加速度、动量、冲量、电场强度、磁感强度等矢量合成与分解亦遵从平行四边形定则。
4．一条直线上的矢量加减是在矢量平行四边形关系中当两分矢量夹角为0°、 180°两种情况下的特例。在实际中很常见，因此应熟练掌握其运算方法：先规定正方向，将和正方向一致的矢量记作正，相反的矢量记作负，再直接加减。对未知矢量，可先假设其方向沿规定的正方向，若求解结果为正，表示其方向与规定的正方向一致，求解结果为负，则表示其方向与规定的正方向相反。
三、探究力合成的平行四边形法则
1．实验方法：
a.先用两个力作用在物体的同一点上，使它产生一定的效果，如把橡皮筋一端固定，拉另一端到某一点O；
b.再用一个力作用于同一点上，让它产生与第一次的两个力作用效果相同，即也把橡皮筋拉到点O。
c.记下各个力的大小、方向、画出各个力的图示，就能研究出力F与力F1、F2的关系
2．实验结论：合力F不能简单地用F1、F2的代数和表示，力F好像是力F1、F2为邻边所做的平行四边形的对角线。
通过作图得出结论：F与F′基本重合
3．误差产生原因：
a．弹簧秤使用前要检查指针是否指在零点。
b．弹簧秤要与木板表面平行。
【典型例题】
[例1]在已知的一个力的分解中，下列情况具有惟一解的是( )
A．已知两个分力的方向，并且不在同一直线上
B．已知一个分力的大小和方向
C．已知一个分力的大小和另一个分力的方向
D．已知两个分力的大小
[例2](1)在探究“力合成的平行四边形法则”的实验中，其中的三个实验步骤是：
（a）在水平放置的木板上垫一张白纸，把橡皮条的一端固定在木板上，另一端拴两根细线，通过细线同时用两弹簧互成角度地拉橡皮条，使它与细线的结点达到某一位置O点，在白纸上记下O点和两弹簧秤的读数F1和F2。
（b）在纸上根据F1和F2的大小，应用平行四边形定则作图求出合力F。
（c）只用一个弹簧秤通过细绳拉橡皮条，使它的伸长量与两个弹簧秤拉时相同，记下此时弹簧秤的读数F'和细绳的方向。
以上三个步骤中均有错误或疏漏，指出错在哪里？
在（a）中是_______________
在（b）中是__________________________。
在（c）中是__________________________。
(2)在《互成角度的两个共点力的合成》的实验中，两个弹簧秤的拉力F1和F2已于图12中作出了它们的图示，O是橡皮条的一个端点，图中每格的长度代表1 N。
（1） 用作图法作出合力F的图示；
（2） 合力F的大小是_______N。

[例3]水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B，一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过光滑滑轮后悬挂一质量为m=10kg的物体，如图所示。∠ABC=30°,则滑轮受到绳子的作用力大小为 。(g取10m/s2)
[例4]如图所示，楔形物倾角为θ=30°，放在水平地面上，轻质硬杆下端带有滑轮，上端顶有1000N的物体，则当作用于楔形物上的水平推力多大时，才能将重物顶起？并讨论此装置能省力的条件。（不计竖直槽与硬杆之间的摩擦及滑轮与楔形物间的摩擦）

[例5]如图所示，一直角斜槽（两槽面间夹角为90°）对水平面的倾角为θ，一个横截面为正方形的物块恰能沿此斜槽匀速下滑，假定两槽面的材料和槽面的情况相同，求物块和槽面之间的滑动摩擦系数μ。

【自我检测】
1．物体受共点力F1F2、F3作用而做匀速直线运动，则这三个力可能选取的数值为( )
A．15 N、5 N、6 N
B．3 N、6 N、4 N
C．1 N、2 N、10 N
D．1 N、6 N、 8N
2．如图所示，物体静止于光滑水平面M上，力F作用于物体O 点，现要使物体沿着OO′方向做加速运动（F和OO′都在M水平面内）.那么，必须同时再加一个力F′，这个力的最小值是（ ）
A．Fcosθ B．Fsinθ
C．Ftanθ D．Fcotθ
3．压榨机如图所示，B为固定铰链，A为活动铰链。在A处作用一水平力F，C块就以比F大得多的力压D。已知L=0.5 m，h=0.1 m， F=200 N，C与左壁接触面光滑，求D受到的压力。



4．重G的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间。若挡板逆时针缓慢转到水平位置，在该过程中，斜面和挡板对小球的弹力的大小F1、F2各如何变化？

\

§2．2 力的合成与分解
1．将一个力F分解为两个不为零的分力，下列哪些分解方法是不可能的（ ）
A．一个分力垂直于F
B．两个分力都与F在一条直线上
C．一个分力的大小与F的大小相等
D．一个分力与F相同
2．如图所示，物块在力F作用下向右沿水平方向匀速运动，则物块受的摩擦力Ff与拉力F的合力方向应该是（ ）
A． 水平向右
B． 竖直向上
C． 向右偏上
D． 向左偏上
3．一根轻质细绳能承受的最大拉力是G，现把一重为G的物体系在绳的中点，两手先并拢分别握住绳的两端，然后缓慢地左右对称分开，若想绳不断，两绳间的夹角不能超过（ ）
A．45° B．60° C．120° D．135°
4．在“探究合力与分力的关系”实验中，说合力与两个分力共同作用产生的效果相同，是通过观察以下现象得出结论的 （ ）
A．图钉受拉力是否产生相同的形变
B．弹簧测力计的弹簧是否产生相同的形变
C．橡皮条在同一方向上是否产生相同的形变
D．细绳套受拉力是否产生相同的形变

5．如图所示为两个大小不变、夹角θ变化的力的合力的大小F与θ角之间的关系图象，下列说法中正确的是( )
A.合力大小的变化范围是2N≤F≤14N
B.合力大小的变化范围是2N≤F≤10N
C.两个分力的大小分别为6N和8N
D.两个分力的大小分别为2N和8N

F/N
0.5 1.0 1.5
θ/π
10
8
6
4
2

O

6．如图所示，保持θ不变，将B点向上移，则BO绳的拉力将（ ）

A．逐渐减小 B．逐渐增大
C．先减小后增大 D．先增大后减小7．如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的。一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m1和m2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m1的小球与O点的连线与水平线的夹角为=60°。两小球的质量比为（ ）
第7题图

A． B． C． D． /2
8．如图所示，在“验证力的平行四边形定则”这一实验中，两弹簧秤现在的夹角为90º，使b弹簧秤从图示位置开始沿箭头方向缓慢转动，在这过程中，保持O点的位置和a弹簧秤的拉伸方向不变，则在整个过程中，关于a、b两弹簧秤示数的变化情况是（ ）
A．a示数增大，b示数减小
B．a示数减小，b示数增大
C．a示数减小，b示数先增大后减小
D．a示数减小，b示数先减小后增大
a
b
O
P

9．在图中，给出六个力F1、F2、F3、F4、F5、F6，它们作用于同一点O，大小已在图中标出。相邻的两个力之间的夹角均为60°，它们的合力大小为_____N，方向为____ _.

10．如图所示，质量为m、横截面为直角三角形的物块ABC，∠ABC＝α，AB边靠在竖直墙面上，F是垂直于斜面BC的推力，现物块静止不动，则摩擦力的大小为______.

第11题图
30o
11．如图所示，是木工用凿子工作时的截面示意图，三角形ABC为直角三角形， ∠C=300。用大小为F=100N的力垂直作用于MN，MN与AB平行。忽略凿子的重凿子推开木料AC面和BC面的力分别为多大？

12．如图所示，重为G的均匀链条，两端用等长的轻绳连接，接在等高的地方，绳与水平方向成θ角，试求：
（1）绳子的张力；
（2）链条最低点的张力。

参考答案：
§2．2 力的合成与分解
【典型例题】
[例1]AB
[例2](1) （a）漏记了两细线的方向
（b）必须依据两力的大小和方向才能作图
（c）必须将橡皮条拉到原来的O点
(2)图略合力F=5.0N
[例3]100N
解析：对滑轮处进行受力分析，滑轮受到竖直向下的拉力，大小等于mg；受到倾斜绳的拉力，大小也为mg，故滑轮对绳子的作用力必沿两绳所张角的角平分线斜向右上方。从三角关系易知，三力互成120°，故滑轮对绳子的作用力大小也为mg，再根据牛顿第三定律可知，滑轮对绳子的作用力也为mg，即100N。
（说明：本题中是一根轻绳绕过定滑轮，由于滑轮的存在使同一根绳子由竖直变为倾斜方向，故绳中拉力的大小是相等的。同时使得这里的杆子产生的不是拉伸形变，而是弯曲形变，因而产生一种往斜向上挑的力，这一点很多同学易产生误解。同时，本题中涉及到互成120°的三个力合力为零的特殊平衡情形，希望同学们能记住：互成120°的三个大小相等的力的合力为零这一结论。）
[例4] Gtanθ；θ<45°（先对硬质杆及下面滑轮进行受力分析，受上端物体的压力，大小等于物体的重力G，斜面的支持力N=G/cosθ，及槽水平向右的作用力F=Gtanθ。再对楔形物进行受力分析，易知所求推力的大小和竖直槽水平向右的作用力F相等。）
[例5] tanθ
解析： 设左右槽面作用于物块的支持力分别为FN1、FN2，由于对称性，FN1=FN2它们的合力FN垂直于槽底线，且
FN= ①
相应的左、右二槽面作用于物块的滑动摩擦力Ff1和Ff2相等，它们的合力Ff平行于槽底线，且Ff=2Ff1=2μFN1 ②
根据平衡条件：Ff=mgsinθ FN=mgcosθ
从上面两个方程得＝tanθ ③
①、②代入③可得：μ=tanθ
【自我检测】
1．B （物体在F1、F2、F3作用下而做匀速直线运动，则三个力的合力必定为零，只有B选项中的三个力的合力可能为零，故选B。）
2．B （为使物体在水平面内沿着OO′做加速运动，则F与F′的合力方向应沿着OO′，为使F′最小，F′应与OO′垂直，如图所示，故F′的最小值为F′=Fsinθ，B选项正确。）
3．500 N
解析：根据水平力产生的效果，它可分解为沿杆的两个分力F1、F2，如图a所示。

而沿AC杆的分力F1又产生了两个效果：对墙壁的水平推力F3和对D的压力F4，如图b所示，则可求得F4=500 N
4．F1逐渐变小，F2先变小后变大
解：由于挡板是缓慢转动的，可以认为每个时刻小球都处于静止状态，因此所受合力为零。应用三角形定则，G、F1、F2三个矢量应组成封闭三角形，其中G的大小、方向始终保持不变；F1的方向不变；F2的起点在G的终点处，而终点必须在F1所在的直线上，由作图可知，挡板逆时针转动
90°过程，F2矢量也逆时针转动90°，因此F1逐渐变小，F2先变小后变大.（当F2⊥F1，即挡板与斜面垂直时，F2最小）
G
F2
F1

§2．2 力的合成与分解
1．D
2．B (对物块进行受力分析如图所示：除F与Ff外，它还受竖直向下的重力G及竖直向上的支持力FN，物块匀速运动，处于平衡状态，合力为零。由于重力G和支持力FN在竖直方向上，为使这四个力的合力为零，F与Ff的合力必须沿竖直方向。由平行四边形定则可知，F与Ff的合力只能竖直向上。)
3．C
4．C
5．AC
6．C
7．答： A
解析：如图，由FN与FT水平方向合力为零，可知FN=FT ；竖直方向有2FTcos30°=m1g.又FT=m2g.从而得2m2g×=m1g。

8．B
9．40；与F6同向
10．mg+Fsinα （选物块为研究对象进行受力分析。应用正交分解法将F分解到水平方向和竖直方向，物块静止不动，列平衡方程式有：Ff=mg+Fsinα。）
11．弹力垂直于接触面，将力F按作用效果进行分解如图所示，由几何关系易得：推开AC面的力为F1=F/tan30o=100N
推开BC面的力为：F2=F/sin30o=200N。
12． (1)如图所示，设两端绳的拉力均为F1，则有2F1sinθ=GF1=
(2)设链条最低点的张力为F2，则有F2 =Gcotθ