三直线与直线.doc

三 直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系
1．平行关系：
线线平行 线面平行 面面平行
2．平行关系的判定定理
（1）线线平行的判定定理
判定1： 判定2：
判定3: 判定4:
(2)线面平行的判定定理：
判定1： 判定2：
（3）面面平行的判定定理：
判定1：，判定2：
（ii）平行关系的性质定理
(1)线面平行的性质定理:
(2)面面平行的性质定理:
性质定理1: 性质定理2:
题例
1．如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是
（A）BD∥平面CB1D1 （B）AC1⊥BD
（C）AC1⊥平面CB1D1 （D）异面直线AD与CB1角为60°
2．对于任意的直线l与平面,在平面内必有直线m,使m与l
(A)平行　　　　（B）相交 (C)垂直 (D)互为异面直线
3. 如图，在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点，那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于
A. B. C. D.

4．过平行六面体任意两条棱的中点作直线, 其中与平面平行的直线共有
A．4条 B．6条 C．8条 D．12条
5．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．设为两两不重合的平面，l、m、n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若则∥；②若∥∥则∥；③若∥则∥；④若∥则m∥n.其中真命题的个数是
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
7．如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，是PC的中点。
（1）证明平面EDB；（2）求EB与底面ABCD所成的角的正切值。

解：本题考查直线与平面平行、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力。
方法一：（1）证明：连结AC、AC交BD于O。连结EO
∵ 底面ABCD是正方形 ∴ 点O是AC的中点。
在中，EO是中位线 ∴
而平面EDB且平面，所以，平面EDB。
（2）解：作交CD于F。连结BF，设正方形ABCD的边长为。
∵ 底面ABCD ∴ ∴ F为DC的中点
∴ 底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故为直线EB与底面ABCD所成的角。
在中，
∵ ∴ 在中
所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为

方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点。设
（1）证明：连结AC，AC交BD于G。连结EG。依题意得，，
∵ 底面ABCD是正方形
∴ G是此正方形的中心，故点G的坐标为
∴
∴ 这表明
而平面且平面EDB ∴ 平面EDB
（2）解：依题意得，
取DC的中点 连结EF，BF
∵ ，，
∴ ， ∴ ，
∴ 底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故为直线EB与底面ABCD所成的角。
在中，，∴
所以，EB与底面ABCD所成的角的正切值为。
D
E
P
B
A
C

8．如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a,PB=PD=,点E是PD的中点.
（I）证明PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC；
（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的正切值.

解：（Ⅰ）证法一 因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，
所以AB=AD=AC=a， 在△PAB中，
由PA2+AB2=2a2=PB2 知PA⊥AB.
同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.
因为

所以 、、共面.又PB平面EAC，所以PB//平面EAC.
证法二 同证法一得PA⊥平面ABCD.
连结BD，设BDAC=O，则O为BD的中点.
连结OE，因为E是PD的中点，所以PB//OE.
又PB平面EAC，OE平面EAC，故PB//平面EAC.
（Ⅱ）解 作EG//PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD.
知EG⊥平面ABCD.
作GH⊥AC于H，连结EH，则EH⊥AC，∠EHG即为二面角的平面角.
又E是PD的中点，从而G是AD的中点，
所以
9．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，
AB=，AF=1，M是线段EF的中点.
（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；
（Ⅱ）求证AM⊥平面BDF；
（Ⅲ）求二面角A—DF—B的大小；
解：方法一解: (Ⅰ)设AC∩BD=0，连结OE， ∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，
∴四边形AOEM是平行四边形，∴AM∥OE.
∵平面BDE， 平面BDE，∴AM∥平面BDE.
(Ⅱ)∵BD⊥AC，BD⊥AF，且AC交AF于A，∴BD⊥平面AE，又因为AM平面AE，∴BD⊥AM.
∴AD=,AF=1,OA=1,∴AOMF是正方形，∴AM⊥OF，又AM⊥BD，且OF∩BD=0∴AM⊥平面BDF.
（Ⅲ）设AM∩OF=H，过H作HG⊥DF于G，连结AG，由三垂线定理得AG⊥DF，
∴∠AGH是二面角A—DF—B的平面角.

方法二 （Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系.设，连接NE，
则点N、E的坐标分别是（、（0,0,1）, ∴NE=(,
又点A、M的坐标分别是）、（.
∴ AM=（∴NE=AM且NE与AM不共线，
∴NE∥AM.
又∵平面BDE， 平面BDE，∴AM∥平面BDF.
（Ⅱ）

（Ⅲ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∩AD=A，∴AB⊥平面ADF.

10．如图，在斜三棱柱中，，侧面与底面ABC所成的二面角为，E、F分别是棱的中点
（Ⅰ）求与底面ABC所成的角
（Ⅱ）证明∥平面
（Ⅲ）求经过四点的球的体积
解：（Ⅰ）过作平面，垂足为．
连结，并延长交于，于是为与底面所成的角．
∵，∴为的平分线．
又∵，∴，且为的中点．因此，由三垂线定理．
∵，且，∴．于是为二面角的平面角，
即．由于四边形为平行四边形，得．
（Ⅱ）证明：设与的交点为，则点为的中点．连结．
在平行四边形中，因为的中点，故．
而平面，平面，所以平面．
（Ⅲ）连结．在和中，由于，，，则
≌，故．由已知得．
又∵平面，∴为的外心．
设所求球的球心为，则，且球心与中点的连线．
在中，．故所求球的半径，球的体积．
11已知正方形分别是边的中点，将沿折起，如图所示，记二面角的大小为。
（1）证明：∥平面
（2）若为正三角形，试判断点在平面内的射影是否在直线上，证明你的结论，并求角的余弦值。

【解析】(I)证明:EF分别为正方形ABCD得边AB、CD的中点,
EB//FD,且EB=FD, 四边形EBFD为平行四边形. BF//ED
平面.
(II)解法1: 如右图,点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,
过点A作AG垂直于平面BCDE,垂足为G,连结GC,GD.
ACD为正三角形, AC=AD CG=GD
G在CD的垂直平分线上, 点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,
过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则,所以为二面角A-DE-C的平面角.即
设原正方体的边长为2a,连结AF
在折后图的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,
即AEF为直角三角形,
在RtADE中, .
解法2:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上
连结AF,在平面AEF内过点作,垂足为.
ACD为正三角形,F为CD的中点,
又因, 所以
又且
为A在平面BCDE内的射影G.
即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上
过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则,所以为二面角A-DE-C的平面角.即
设原正方体的边长为2a,连结AF 在折后图的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,
即AEF为直角三角形,
在RtADE中, .
解法3: 点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上
连结AF,在平面AEF内过点作,垂足为.
ACD为正三角形,F为CD的中点,
又因,所以

又
为A在平面BCDE内的射影G. 即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上
过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则,所以为二面角A-DE-C的平面角.即
设原正方体的边长为2a,连结AF
在折后图的AEF中,AF=,EF=2AE=2a, 即AEF为直角三角形,
在RtADE中, , .
【点评】本小题考查空间中的线面关系,解三角形等基础知识考查空间想象能力和思维能力.
12．

右图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为．已知，，，，．
（1）设点是的中点，证明：平面；
（2）求二面角的大小；
（3）求此几何体的体积．

解：解法一：（1）证明：作交于，连．
则．因为是的中点，
所以．
则是平行四边形，因此有．
平面且平面，则面．
（2）如图，过作截面面，分别交，于，．
作于，连．因为面，所以，则平面．
又因为，，．
所以，根据三垂线定理知，所以就是所求二面角的平面角．
因为，所以，故，即：所求二面角的大小为．
（3）因为，所以．
．所求几何体体积为．
解法二：
（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，

则，，，因为是的中点，所以，
．
易知，是平面的一个法向量．
因为，平面，所以平面．
（2），，
设是平面的一个法向量，则
则，得：，取，．
显然，为平面的一个法向量．
则，结合图形可知所求二面角为锐角．
所以二面角的大小是．
（3）同解法一．