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专题 恒成立存在性问题
知识点梳理
1、恒成立问题的转化：恒成立；
2、能成立问题的转化：能成立；
3、恰成立问题的转化：在M上恰成立的解集为M
另一转化方法：若在D上恰成立，等价于在D上的最小值，若在D上恰成立，则等价于在D上的最大值.
4、设函数、，对任意的，存在，使得，则
5、设函数、，对任意的，存在，使得，则
6、设函数、，存在，存在，使得，则
7、设函数、，存在，存在，使得，则
8、若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象上方；
9、若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象下方；
题型一、常见方法
1、已知函数，，其中，．
1）对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；
2）对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；
2、设函数，对任意，都有在恒成立，求实数的取值范围．
3、已知两函数，，对任意，存在，使得，则实数m的取值范围为
题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)
1、对于满足的所有实数p,求使不等式恒成立的x的取值范围。
2、已知函数是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数，
(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若上恒成立，求的取值范围；
题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来）
1、当时，不等式恒成立，则的取值范围是 .

题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法））
1、若对任意,不等式恒成立，则实数的取值范围是________
2、已知函数，在恒有，求实数的取值范围。

题型五、不等式能成立问题（有解、存在性）的处理方法
若在区间D上存在实数使不等式成立,则等价于在区间D上；
若在区间D上存在实数使不等式成立,则等价于在区间D上的.
1、存在实数，使得不等式有解，则实数的取值范围为______。

2、已知函数存在单调递减区间，求的取值范围

小结：
恒成立与有解的区别
恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一体。
①不等式对时恒成立，。即的上界小于或等于；
②不等式对时有解，。 或的下界小于或等于；
③不等式对时恒成立，。即的下界大于或等于；
④不等式对时有解，.。 或的上界大于或等于；
课后作业：
1、设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值集合为（ ）
（A） （B）　 （C） （D）
2、若任意满足的实数，不等式恒成立，则实数的最大值是 ___ .

3、不等式有解，则的取值范围是

4、不等式在内恒成立，求实数a的取值范围。
5、已知两函数，。
（1）对任意，都有)成立，求实数的取值范围；
（2）存在，使成立，求实数的取值范围；
（3）对任意，都有，求实数的取值范围；
（4）存在，都有，求实数的取值范围；
6、设函数.
（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对任意的不等式成立，求a的取值范围。

7、已知A、B、C是直线上的三点，向量，，满足：.
（1）求函数y＝f(x)的表达式；
（2）若x＞0，证明：f(x)＞；
（3）若不等式时，及都恒成立，求实数m的取值范围．
8、设，且（e为自然对数的底数）
(I) 求 p 与 q 的关系；
(II)若在其定义域内为单调函数，求 p 的取值范围；
(III)设，若在上至少存在一点，使得成立, 求实数 p 的取值范围
参考答案：
题型一、常见方法
1、已知函数，，其中，．
1）对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；
2）对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；
【分析：】
1）思路、等价转化为函数恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决．
2）思路、对在不同区间内的两个函数和分别求最值，即只需满足即可．
简解：（1）由成立，只需满足的最小值大于即可．对求导，，故在是增函数，，所以的取值范围是．
2、设函数，对任意，都有在恒成立，求实数的取值范围．
分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．以本题为例，实质还是通过函数求最值解决．
方法1化归最值，；
方法2：变量分离，或；
方法3：变更主元，，
简解：方法1:对求导，，
由此可知，在上的最大值为与中的较大者．
，对于任意，得的取值范围是．
3、已知两函数，，对任意，存在，使得，则实数m的取值范围为
解析：对任意，存在，使得等价于在上的最小值不大于在上的最小值0，既，∴

题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)
1、对于满足的所有实数p,求使不等式恒成立的x的取值范围。
解：不等式即,设，则在[-2,2]上恒大于0，故有：或
2、已知函数是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数，(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若上恒成立求的取值范围；

O
(Ⅱ)分析：在不等式中出现了两个字母：及,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将视作自变量，则上述问题即可转化为在内关于的一次函数大于等于0恒成立的问题。(Ⅱ)略解：由(Ⅰ)知：，，在上单调递减，在上恒成立，，只需，（其中）恒成立，由上述②结论：可令,则，，而恒成立，。
题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来）
1、当时，不等式恒成立，则的取值范围是 .
解析: 当时，由得.∴.
题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法））
1、若对任意,不等式恒成立，则实数的取值范围是________
解析：对,不等式恒成立、则由一次函数性质及图像知，即。
2、已知函数，在恒有，求实数的取值范围。
分析：为了使在恒成立，构造一个新函数，则把原题转化成左边二次函数在区间时恒大于等于的问题，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。
解：令，则对恒成立，而是开口向上的抛物线。
①当图象与x轴无交点满足，即，解得。
②当图象与x轴有交点，且在时，则由二次函数根与系数的分布知识及图象可得：
解得，故由①②知。
小结：若二次函数大于0恒成立，则有，同理，若二次函数小于0恒成立，则有。若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。
题型五、不等式能成立问题（有解、存在性）的处理方法
若在区间D上存在实数使不等式成立,则等价于在区间D上；
若在区间D上存在实数使不等式成立,则等价于在区间D上的.
1、存在实数，使得不等式有解，则实数的取值范围为______。
解：设，由有解，，
又，∴，解得。
2、已知函数存在单调递减区间，求的取值范围
解： 因为函数存在单调递减区间，所以
有解.即能成立, 设.
由得, .于是,,
由题设,所以a的取值范围是
小结：
恒成立与有解的区别：
恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一体。
①不等式对时恒成立，。即的上界小于或等于；
②不等式对时有解，。 或的下界小于或等于；
③不等式对时恒成立，。即的下界大于或等于；
④不等式对时有解，.。 或的上界大于或等于；
课后作业：
1、设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值集合为（ ）
（A） （B）　 （C） （D）
答案：B。解析：由方程可得，对于任意的，可得，依题意得。
2、若任意满足的实数，不等式恒成立，则实数的最大值是___。
答案：。解析：由不等式可得，由线性规划可得。
3、不等式有解，则的取值范围是
解：原不等式有解有解，而，所以。
x
y
0

3

4、不等式在内恒成立，求实数a的取值范围。
解：画出两个凼数和在
上的图象如图知当时，
当，时总有所以
5、已知两函数，。
（1）对任意，都有成立，求实数的取值范围；
（2）存在，使成立，求实数的取值范围；
（3）对任意，都有，求实数的取值范围；
（4）存在，都有，求实数的取值范围；
解析：（1）设，问题转化为时，恒成立，故。令，得或。由导数知识，可知在单调递增，在单调递减，在单调递增，且，，，，∴，由，得。
（2）据题意：存在，使成立，即为：在有解，故，由（1）知，于是得。
（3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意，都有成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，，的取值在上具有任意性，∴要使不等式恒成立的充要条件是：。∵∴ ，
∵，∴在区间上只有一个解。
∴，∴，即.
（4）存在，都有，等价于，由(3)得，，
点评：本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件。
6、设函数.
（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对任意的不等式成立，求a的取值范围。
解：（Ⅰ） （1分）
令得的单调递增区间为（a,3a）
令得的单调递减区间为（－，a）和（3a，+） （4分）
∴当x=a时，极小值=
当x=3a时，极小值=b. 6分）
（Ⅱ）由||≤a，得－a≤－x2+4ax－3a2≤a.①（7分）
∵02a.
∴上是减函数. （9分）
∴
于是，对任意，不等式①恒成立，等价于

又
∴
7、已知A、B、C是直线上的三点，向量，，满足：.
（1）求函数y＝f(x)的表达式；
（2）若x＞0，证明：f(x)＞；
（3）若不等式时，及都恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)∵－[y＋2f /(1)]＋ln(x＋1)＝0，∴＝[y＋2f /(1)]－ln(x＋1)
由于A、B、C三点共线　即[y＋2f /(1)]＋[－ln(x＋1)]＝1…………………2分
∴y＝f(x)＝ln(x＋1)＋1－2f /(1)
f /(x)＝，得f /(1)＝，故f(x)＝ln(x＋1)…………………………………4分
（2）令g(x)＝f(x)－，由g/(x)＝－＝
∵x＞0，∴g/(x)＞0，∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数………………6分
　　　　　　故g(x)＞g(0)＝0
即f(x)＞………………………………………………………………8分
　　　（3）原不等式等价于x2－f(x2)≤m2－2bm－3
　　　　令h(x)＝x2－f(x2)＝x2－ln(1＋x2)，由h/(x)＝x－＝……………10分
当x∈[－1，1]时，h(x)max＝0，∴m2－2bm－3≥0
令Q(b)＝m2－2bm－3，则
得m≥3或m≤－3……………12分

8、设，且（e为自然对数的底数）
(I) 求 p 与 q 的关系；
(II)若在其定义域内为单调函数，求 p 的取值范围；
(III)设，若在上至少存在一点，使得成立, 求实数 p 的取值范围.
解：(I) 由题意得 而，所以… 3分
(II) 由 (I) 知 ，…… 4分
令，要使在其定义域 (0,+¥) 内为单调函数，只需 h(x) 在 (0,+¥) 内满足：h(x)≥0 或 h(x)≤0 恒成立. ………… 5分
① 当时，，所以在 (0,+¥) 内为单调递减，故；
② 当时，，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为，
∴，只需，即p≥1时， h(x)≥0，，
∴ f (x) 在 (0,+¥) 内为单调递增，故 p≥1适合题意.
综上可得，p≥1或 p≤0 ………… 9分
另解：(II) 由 (I) 知 f (x) = px－－2ln x
f’(x) = p + －= p (1 + )－ ………… 4分
要使 f (x) 在其定义域 (0,+¥) 内为单调函数，只需 f’(x) 在 (0,+¥) 内满足：f’(x)≥0 或 f’(x)≤0 恒成立. ………… 5分
由 f’(x)≥0 Û p (1 + )－≥0 Û p≥ Û p≥()max，x > 0
∵ ≤ = 1，且 x = 1 时等号成立，故 ()max = 1
∴ p≥1 ………… 7分
由 f’(x)≤0 Û p (1 + )－≤0 Û p≤ Û p≤()min，x > 0
而 > 0 且 x → 0 时，→ 0，故 p≤0 ………… 8分
综上可得，p≥1或 p≤0 ………… 9分
(III) ∵ g(x) = 在 [1,e] 上是减函数
∴ x = e 时，g(x)min = 2，x = 1 时，g(x)max = 2e
即 g(x) Î [2,2e] ………… 10分
① p≤0 时，由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 递减 Þ f (x)max = f (1) = 0 < 2，不合题意。 …… 11分
② 0 < p < 1 时，由x Î [1,e] Þ x－≥0
∴ f (x) = p (x－)－2ln x≤x－－2ln x
右边为 f (x) 当 p = 1 时的表达式，故在 [1,e] 递增
∴ f (x)≤x－－2ln x≤e－－2ln e = e－－2 < 2，不合题意。 ………… 12分
③ p≥1 时，由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 连续递增，f (1) = 0 < 2，又g(x) 在 [1,e] 上是减函数
∴ 本命题 Û f (x)max > g(x)min = 2，x Î [1,e]
Þ f (x)max = f (e) = p (e－)－2ln e > 2
Þ p > ………… 13分
综上，p 的取值范围是 (,+¥) ………… 14分

8