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数列中的不等式问题

江苏省启东中学 张 杰

数列和不等式是历年高考的热点，由于它们具有“知识上的综合性、题型上的新颖性、方法上的灵活性、思维方式上的抽象性”等特点，交汇综合成为高考的重中之重, 其命题趋势是：
（1）以客观题考查不等式的性质、解法与数列、等差数列、等比数列的简单交汇．
（2）以解答题以中档题或压轴题的形式考查数列与不等式的交汇，还有可能涉及到导数、解析几何、三角函数的知识等，深度考查不等式的证明(主要比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法)和逻辑推理能力及分类讨论、化归的数学思想，试题新颖别致，难度相对较大．
题型一 利用不等式性质求数列元素的最值
例1.(2011江苏试题13)设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是________
分析: 求解数列中的某些最值问题，可结合不等式来解决，其具体解法有：（1）建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；（2）首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；（3）利用条件中的不等式关系确定最值．本题如将q看作目标函数，可用上述方法（1）或（2）来求解。
解析：由题意得
,
方法一：在直角坐标系中,若以为点,作出其可行区域,其目标函数就是求的最小值,因直线与曲线,,,,的交点分别为,,,,,从而满足上述不等关系的.
方法二.欲使值最小，首先取，从而得，，
因，故公比的的最小值是。
点评: 数列与不等式的小题，主要是运用基本不等式、不等式的性质、线性规划等求范围或最值．本题明为数列，实为不等式问题，着力考查了转化化归和数形结合思想．

拓展变式: 已知正数数列的所有奇数项成公比为q()的等比数列，所有偶数项成公差为1的等差数列,且,则满足条件的可取哪些数值,其公比的的最小值是多少?
解析: 由题意得,欲求的的最小值,显然取,从而有 且
构造函数,当时,因, 于是为单调减函数,从而,即,又,故;
同理构造函数可证,故,
再由得,取成立,当时不成立,
综上所述, 满足条件的可取3,4,5, 其公比的的最小值是.
题型二 通过比较或放缩证数列中元素的不等关系
例2.（2009安徽卷文）已知数列 的前n项和，数列}的前n项和
,
（Ⅰ）求数列与的通项公式；
（Ⅱ）设，证明：当且仅当n≥3时，. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
分析：数列参与的不等式的证明问题常用的方法：(1)比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；(2)分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法证明；(3)放缩法，利用迭代法、累加法、累乘法构建关系进行放缩.本题根据数列前项和公式得，可求数列与的通项公式，进而求得数列的通项，再用比较法（作差或作商）证其大小关系。
解析：(1)由于
当时,
又得，当时由，
数列项与等比数列,其首项为1,公比为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2)由(1)知，
方法一：由
，
当时，，从而
方法二：因
由即，
即时恒成立. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 又，因此,当且仅当时,
点评：利用比较法比较两数大小时，作差比较是通法，而作商比较的前提条件是“各项为正”，即若，则当时，当时。第（2）小题的方法二，也可从函数的单调性证之，即由是单调递减函数可知，当时，，所以，得证。
拓展变式: 条件同原题，试证：
证明：由条件得，从而当时上述不等式显然成立，又当时，由得，于是

。
题型三 根据不等关系的约束条件探究数列存在性
例3（2010江西理科22）证明以下命题：
(1)对任一正整数a,都存在整数b,c(b题通过类比的数学思想构造数列，证其存在性。
证明：（1）易知成等差数列，故也成等差数列，
所以对任一正整数，都存在正整数，使得成等差数列．
（2）若成等差数列，则有，
…… ①
选取关于的一个多项式，例如，使得它可按两种方式分解因式，由于

因此令 ，
可得 …… ②
易验证满足①，因此成等差数列，
当时，有且
因此为边可以构成三角形．
其次，任取正整数，假若三角形与相似，则有：
，据比例性质有：

所以，由此可得，与假设矛盾，
即任两个三角形与互不相似，所以存在无穷多个互不相似的三角形,其边长为正整数且成等差数列．
点评:类比推理是中学数学的重要方法，它通过观察、比较，然后联想、类推，猜测新的结论。本题中，通过对第（1）小题的观察，联想到我们在初中数学中已学习了“勾股数”的相关知识,如一个三角形的边长形如的特征,则此三角形为直角三角形，考虑到结构要证，类比勾股数进行构造；而对于第（2）问，也联想到形如 的数组成了“勾股数”,从而结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似且无穷，且要注意它与第（1）问的区别是增加了约束条件“ 为三角形的三边”，从而必须满足“两边之和大于第三边”这一不等关系。
拓展变式: 已知,,，()。
试证：成等差数列。
证明： 因，

所以于是成等差数列；

题型四 建立不等关系求解数列应用模型
例4.(2011湖南文科20)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%．
（I）求第n年初M的价值的表达式；
（II）设若大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，证明：须在第9年初对M更新．
分析: 根据题意可知,第2年到第6年年初M的价值构成一个等差数列,从第7年开始年初M的价值构成等比数列了,由此写出第n年初M的价值的表达式,并通过其通项公式计算后证之.
解析：（I）当时，数列是首项为120，公差为的等差数列．当时，数列是以为首项，公比为为等比数列，又，
所以 第年初，M的价值的表达式为
(II)设表示数列的前项和，由等差及等比数列的求和公式得
当时，
当时，
因为是递减数列，所以是递减数列，又
所以须在第9年初对M更新．
点评: 在数列应用问题中，“增长(下降)率”的问题一般是等比数列问题，“比上一年增加(减少)了多少”往往是等差数列问题.由此得到通项公式,再根据题意计算其和来解决问题.

即时练习:
1.已知函数，数列中，，．当取不同的值时，得到不同的数列，如当时，得到无穷数列1，3，，…；当时，得到常数列22,2，…；当时，得到有穷数列，0．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）设数列满足，．求证：不论取中的任何数，都可以得到一个有穷数列；
（Ⅲ）如果当时，都有，求的取值范围．
2.在数列中，任意相邻两项为坐标的点均在直线上，数列满足条件：， ()。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，，求 成立的正整数的最小值。

参考答案:
1.解析：（Ⅰ）因为 ，且，所以 ． 同理可得，即．
（Ⅱ）证明：假设为数列中的第项，即；则
；；………
；， 即。
故不论取中的任何数，都可以得到一个有穷数列．
（Ⅲ）因为，且，所以 ．
又因为当时， ，即，
所以 当时，有．
2.解：（Ⅰ）依题意：
∴，（*）
∴，
∵， ∴. ∴ 数列{}是以2为首项，2为公比的等比数列.
∴ ，即为数列的通项公式。
（Ⅱ）
∴
∴
（3）-（4）得

，即，
又当时，
当时，
故使成立的正整数的最小值为5 .

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