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第六课时 交集、并集(二)
教学目标：
使学生掌握集合交集及并集有关性质，运用性质解决一些简单问题，掌握集合的有关术语和符号；提高分析、解决问题的能力和运用数形结合求解问题的能力；使学生树立创新意识.
教学重点：
利用交集、并集定义进行运算.
教学难点：
集合中元素的准确寻求
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
集合的交集、并集相关问题的求解主要在于集合元素寻求.
Ⅱ.讲授新课
［例1］求符合条件{1}P{1，3，5}的集合P.
解析：（1）题中给出两个已知集合{1}，{1，3，5}与一个未知集合P，欲求集合P，即求集合P中的元素；（2）集合P中的元素受条件{1}P{1，3，5}制约，两个关系逐一处理，由{1}与P关系{1}P，知1∈P且P中至少有一个元素不在{1}中，即P中除了1外还有其他元素；由P与{1，3，5}关系P{1，3，5}，知P中的其他元素必在{1，3，5}中，至此可得集合P是{1，3}或{1，5}或{1，3，5}.
［例2］已知U＝{x｜x2＜50，x∈N}，（CUM）∩L＝{1，6}，M∩（CUL）＝{2，3}，CU(M∪L)＝{0，5}，求M和L.
解析：题目中出现U、M、L、CUM、CUL多种集合，就应想到用上面的图形解决问题.
第一步：求全集5＝{x｜x2＜50，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}
第二步：将(CUM)∩L＝{1，6}，M∩（CUL）＝{2，3}，CU(M∪L）＝{0，5}中的元素在图中依次定位.
第三步：将元素4，7定位.
第四步：根据图中的元素位置得M＝{2，3，4，7}，N＝{1，6，4，7}.
［例3］50名学生报名参加A、B两项课外学科小组，报名参加A组的人数是全体学生数的五分之三，报名参加B组的人数比报名参加A组的人数多3人，两组都没有报名的人数是同时报名参加两组的人数的三分之一多1人，求同时报名参加A、B两组的人数和两组都没有报名的人数.
解析：此题是一道应用题，若用建模则寻求集合与集合交集借助符合题意的文氏图
设A∩B的元素为x个，则有
(30－x)＋x＋（33－x）＋（x＋1）＝50，可得
x＝21，x＋1＝8那么符合条件的报名人数为8个.
［例4］设全集I＝{x｜1≤x＜9，x∈N}，求满足{1，3，5，7，8}与B的补集的集合为{1，3，5，7}的所有集合B的个数.
解析：(1)求I＝{x｜1≤x＜9，x∈N}＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，因{1，3，5，7，8}∩（CUB）＝{1，3，5，7}，则CUB中必有1，3，5，7而无8.
(2)要求得所有集合B个数，就是要求CUB的个数. CUB的个数由CUB中的元素确定，分以下四种情况讨论：
①CUB中有4个元素，即CUB＝{1，3，5，7}
②CUB中有5个元素，CUB中有元素2， 4，或6，CUB有3个.
③CUB中有6个元素，即从2和4，2和6，4和6三组数中任选一组放入CUB中，CUB有3个
④CUB中有7个元素，即CUB＝{1，3，5，7，2，4，6}
综上所有集合CUB即B共有8个.
［例5］设U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{3，4，5}，B＝{4，7，8}，求A∩B、A∪B、CUA、CUB、（CUA）∩（CUB）、(CUA)∪(CUB).
解析：关键在于找CUA及CUB的元素，这个过程可以利用文氏图完成.
解：符合题意的文氏图如右所示，由图可知
A∩B＝｛4｝，A∪B＝｛3，4，5，7，8｝，
CUA＝{1，2，6，7，8}，CUB＝{1，2，3，5，6}
(CUA)∩(CUB)＝{1，2，6}，即有(CUA)∩（CUB）＝CU(A∪B)
(CUA)∪(CUB)＝{1，2，3，5，6，7，8}，即有(CUA)∪(CUB)＝CU (A∩B)
［例6］图中U是全集，A、B是U的两个子集，用阴影表示(CUA)∩（CUB）.
解析：先将符号语言(CUA)∩（CUB）转换成与此等价的
另一种符号语言CU(A∪B)，再将符号语言CU(A∪B)转换成图
形语言(如下图中阴影部分)

［例7］已知A＝{x｜－1＜x＜3}，A∩B＝，A∪B＝R，求B.
分析：问题解决主要靠有关概念的正确运用，有关式子的正确利用.
解：由A∩B＝及A∪B＝R知全集为R，CRA＝B故B＝CRA＝{x｜x≤－1或x≥3}，B集合可由数形结合找准其元素.
［例8］已知全集I＝{－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4}，A＝{－3，a2，a＋1}，B＝{a－3，2a－1，a2＋1}，其中a∈R，若A∩B＝{－3}，求CI（A∪B）.
分析：问题解决关键在于求A∪B中元素，元素的特征运用很重要.
解：由题I＝{－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4}，A＝{－3，a2，a＋1}，B＝{a－3，2a－1，a2＋1}，其中a∈R，由于A∩B＝{－3}，因a2＋1≥1，那么a－3＝－3或2a－1＝－3，即a＝0或a＝－1

则A＝{－3，0，1}，B＝{－4，－3，2}，A∪B＝{－4，－3，0，1，2}
CI（A∪B）＝{－2，－1，3，4}
［例9］已知平面内的△ABC及点P，求{P｜P A＝P B}∩{ P｜P A＝P C}
解析：将符号语言{ P｜PA＝PB}∩{ P｜PA＝PC}转化成文字语言就是到△ABC三顶点距离相等的点所组成的集合.故{ P｜PA＝PB}∩{ P｜PA＝PC}＝{△ABC的外心}.
［例10］某班级共有48人，其中爱好体育的25名，爱好文艺的24名，体育和文艺都爱好的9名，试求体育和文艺都不爱好的有几名?
解析：先将文字语言转换成符号语言，设爱好体育的同学组成的集合为A爱好文艺的同学组成的集合为B.整个班级的同学组成的集合是U.则体育和文艺都爱好的同学组成的集合是A∩B，体育和文艺都不爱好的同学组成的集合是(CUA)∩（CUB)再将符号语言转换成图形语言：
通过图形得到集合(CUA)∩（CUB）的元素是8
最后把符号语言转化成文字语言，即(CUA)∩（CUB）
转化为：体育和文艺都不爱好的同学有8名.
Ⅲ.课堂练习
1.设A＝{（x，y）｜3x＋2y＝1}，B＝{（x，y）｜x－y＝2}，C＝{（x，y）｜2x－2y＝3}，D＝{（x，y）｜6x＋4y＝2}，求A∩B、B∩C、A∩D.
分析：A、B、C、D的集合都是由直线上点构成其元素A∩B、B∩C、A∩D即为对应直线交点，也即方程组的求解.
解：因A＝{（x，y）｜3x＋2y＝1}，B＝{（x，y）｜x－y＝2}
则
∴A∩B＝{（1，－1）}
又C＝{（x，y）｜2x－2y＝3}，则方程无解
∴B∩C＝
又 D＝{（x，y）｜6x＋4y＝2}，则
化成3x＋2y＝1
∴A∩D＝{（x，y）｜3x＋2y＝1}
评述：A、B对应直线有一个交点，B、C对应直线平行，无交点.A、D对应直线是一条，有无数个交点.
2.设A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，B＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，C＝{x｜x＝2（k＋1），k∈Z}，D＝{x｜x＝2k－1，k∈Z}，在A、B、C、D中，哪些集合相等，哪些集合的交集是空集?
分析：确定集合的元素，是解决该问题的前提.
解：由整数Z集合的意义，
A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，C＝{x｜x＝2（k＋1），k∈Z}都表示偶数集合.
B＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，D＝{x｜x＝2k－1，k∈Z}表示由奇数组成的集合
故A＝C，B＝D
那么，A∩B＝A∩D＝{偶数}∩{奇数}＝，
C∩B＝C∩D＝{偶数}∩{奇数}＝
3.设U＝{x｜x是小于9的正整数}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，求A∩B，CU(A∩B).
分析：首先找到U的元素，是解决该题关键.
解：由题U＝{x｜x是小于9的正整数}＝{1，2，3，4，5，6，7，8}
那么由A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}得A∩B＝{3}
则CU(A∩B)＝{1，2，4，5，6，7，8}
Ⅳ.课时小结
1.能清楚交集、并集有关性质，导出依据.
2.性质利用的同时，考虑集合所表示的含义，或者说元素的几何意义能否找到.
Ⅴ.课后作业
课本P14 习题1.3 7，8

参考练习题：
1.(1)已知集合P＝{x∈R｜y2＝－2（x－3），y∈R}，Q＝{x∈R｜y2＝x＋1，y∈R}，则P∩Q为 （ ）
A.{(x，y)｜x＝，y＝±} B.{x｜－1＜x＜3}
C.{x｜－1≤x≤3} D.{x｜x≤3}
(2)设S、T是两个非空集合，且ST，TS，记X＝S∩T，那么S∪X等于 （ ）
A.S B.T C. D.X
(3)已知，M＝{3，a}，N＝{x｜x2－3x＜0，x∈Z}，M∩N＝{1}，P＝M∪N，则集合P的
子集的个数为 （ ）
A.3 B.7 C.8 D.16
解析：(1)因P＝{x∈R｜y2＝－2（x－3），y∈R}，x＝－y2＋3≤3，即P＝{x｜x≤3}
又由Q＝{x∈R｜y2＝x＋1，y∈R}，x＝y2－1≥－1即1＝{x｜x≥－1}
∴P∩Q＝{x｜－1≤x≤3}即选C
另解：因P∩Q的元素是x，而不是点集.故可排除A.令x＝－1，有－1∈P，－1∈Q，即－1∈P∩Q，排除B取－2，由－2Q，否定D，故选C.
评述：另解用的是排除法，充分利用有且只有一个正确这一信息，通过举反例，取特殊值而排除不正确选项，找到正确选择支，在解集合问题时，对元素的识别是个关键.
本题若开始就解方程组，这样就易选A
(2)因X＝S∩T，故XS，由此S∪X＝S，选A
另解：若X≠，则有文氏图
∴有S∪X＝S
若X＝，则由文氏图
S∪X＝S∪＝S，综上选A.
评述：本题未给出集合中元素,
只给出两个抽象集合及其间关系,这时候想到利用文氏图.
(3)因N＝{x｜x2－3x＜0，x∈Z} 即N＝{x｜0＜x＜3，x∈Z}＝{1，2}
又 M∩N＝{1}，故M＝{3，1}，此时P＝M∪N＝{1，2，3}，子集数23＝8，选C.
2.填空题
(1)已知集合M、N满足，cardM＝6，cardN＝13，若card（M∩N）＝6，则card（M∪N）＝_______.若M∩N＝，则card(M∪N)＝
(2)已知满足“如果x∈S，且8－x∈S”的自然数x构成集合S
①若S是一个单元素集，则S＝_______；②若S有且只有2个元素，则S＝_______.
(3)设U是一个全集，A、B为U的两个子集，试用阴影线在图甲和图乙中分别标出下列集合. ①CU（A∪B）∪(A∩B) ②(CUA)∩B

解析：(1)因cardM＝6，cardN＝13，由文氏图，当card（M∩N）＝6时，card（M∪N）＝6＋7＝13

又当M∩N＝，则card（M∪N）＝19
(2)①若S中只有一个元素，则x＝8－x即x＝4 ∴S＝{4}
②若S中有且只有2个元素.
则可由x分为以下几种情况，使之两数和为8，即{0，8}，{1，7}，{2，6}，{3，5}
评述：由集合S中元素x而解决该题.
(3)符合题意的集合用阴影部分表示如下：
①CU(A∪B)∪(A∩B) ②(CUA)∩B

3.设全集I＝{不超过5的正整数}，A＝{x｜x2－5x＋q＝0}，B＝{x｜x2＋px＋12＝0}且
(CUA)∪B＝{1，3，4，5}，求实数p与q的值.
解析：因(CUA)∪B＝{1，3，4，5}则B{1，3，4，5}且x2＋px＋12＝0
即B＝{3，4} ∴{1，5}CUA 即{2，3，4}A
又 x2－5x＋q＝0，即A＝{2，3}
故p＝－（3＋4）＝－7，q＝2×3＝6
评述：此题难点在于寻找B及A中元素是什么,找到元素后运用韦达定理即可得到结果.
4.设A＝{－3，4}，B＝{x｜x2－2ax＋b＝0}，B≠且BA，求a、b.
解析：因A＝{－3，4}，B＝{x｜x2－2ax＋b＝0}
B≠，BA，那么x2－2ax＋b＝0的两根为－3，4，或有重根－3，4.
即B＝{－3}或B＝{4}或B＝{－3，4}
当x＝－3时，a＝－3，b＝9
x＝4时，a＝4，b＝16
当x＝－3，x2＝4时，a＝（－3＋4）＝，b＝－12
评述：此题先求B，后求a、b.
5.A＝{x｜a≤x≤a＋3}，B＝{x｜x＜－1或x＞5}，分别就下面条件求A的取值范围.
①A∩B＝，②A∩B＝A.
解：①因A＝{x｜a≤x≤a＋3}，B＝{x｜x－1或x＞5}
又 A∩B＝，故在数轴上表示A、B

则应有a≥－1，a＋3≤5即－1≤a≤2
②因A∩B＝A，即AB
那么结合数轴应有a＋3＜－1或a＞5即a＜－4或a＞5
评述：集合的交、并运算利用数形结合，即可迅速找到解题思路，该题利用数轴，由A∩B＝及A∩B＝A，分别求a.
6.已知全集I＝{x｜x2－3x＋2≥0}，A＝{x｜x＜1或x＞3}，B＝{x｜x≤1或x＞2}，求CUA，CUB，A∩B，A∪B，（CUA）∩（CUB），CU(A∪B）.
解析：I＝{x｜x2－3x＋2≥0}＝{x｜x≤1或x≥2}
又A＝{x｜x＜1或x＞3}，B＝{x｜x≤1或x＞2}
则CUA＝{x｜x＝1或2≤x≤3}
CUB＝{x｜x＝2}＝{2}
A∩B＝A＝{x｜x＜1或x＞3}
A∪B＝{x｜x≤1或x＞2}＝B
(CUA)∩（CUB）＝CU（A∪B）＝{2}
评述：清楚全集、补集概念，熟练求解，并运算.

交集、并集(二)
1.(1)已知集合P＝{x∈R｜y2＝－2（x－3），y∈R}，Q＝{x∈R｜y2＝x＋1，y∈R}，则P∩Q为 （ ）
A.{(x，y)｜x＝，y＝±} B.{x｜－1＜x＜3}
C.{x｜－1≤x≤3} D.{x｜x≤3}
(2)设S、T是两个非空集合，且ST，TS，记X＝S∩T，那么S∪X等于 （ ）
A.S B.T C. D.X
(3)已知，M＝{3，a}，N＝{x｜x2－3x＜0，x∈Z}，M∩N＝{1}，P＝M∪N，则集合P的
子集的个数为 （ ）
A.3 B.7 C.8 D.16
2.填空题
(1)已知集合M、N满足，cardM＝6，cardN＝13，若card（M∩N）＝6，则card（M∪N）＝_______.若M∩N＝，则card(M∪N)＝_______.
(2)已知满足“如果x∈S，且8－x∈S”的自然数x构成集合S
①若S是一个单元素集，则S＝_______；②若S有且只有2个元素，则S＝_______.
(3)设U是一个全集，A、B为U的两个子集，试用阴影线在图甲和图乙中分别标出下列集合.
①CU（A∪B）∪(A∩B) ②(CUA)∩B

3.设全集I＝{不超过5的正整数}，A＝{x｜x2－5x＋q＝0}，B＝{x｜x2＋px＋12＝0}且
(CUA)∪B＝{1，3，4，5}，求实数p与q的值.

4.设A＝{－3，4}，B＝{x｜x2－2ax＋b＝0}，B≠且BA，求a、b.

5.A＝{x｜a≤x≤a＋3}，B＝{x｜x＜－1或x＞5}，分别就下面条件求A的取值范围.
①A∩B＝，②A∩B＝A.

6.已知全集I＝{x｜x2－3x＋2≥0}，A＝{x｜x＜1或x＞3}，B＝{x｜x≤1或x＞2}，求CUA，CUB，A∩B，A∪B，（CUA）∩（CUB），CU(A∪B）.

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