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解析几何最值和参数范围问题的求解策略
解析几何问题常常围绕“形助数”和“数研究形”展开.圆锥曲线的最值和范围问题目标函数化归函数最值求解是通法.若能抓住定义的本质属性和曲线方程的几何特征，往往能寻求到最值问题的简捷解题途径.要充分认识和体验某些几何量的几何意义，重视“形助数”和“数研究形”的简化运算的功能.
1（05）全国 P、Q、M、N四点都在椭圆上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点.已知求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.

解：本小题主要考查椭圆和直线的方程与性质，两条直线垂直的条件，两点间的距离等基本知识及综合分析能力. 突显依据几何条件的特征构建目标函数，换元化归函数值域求解最值。
依据四边形对角线垂直的面积公式，“设而不解整体思维”，用弦长公式切入类比，如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F（0，1），且PQ⊥MN，直线PQ、MN中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为k.又PQ过点F（0，1），故PQ方程为将此式代入椭圆方程得设P、Q两点的坐标分别为

（i）,同上可类比推得
故四边形面积
如何研究最值？整体变量观念“换元法”简化，
因为

（ii）当k=0时，MN为椭圆长轴，、,
综合（i），（ii）知，四边形PMQN面积的最大值为2，最小值为
2 （05广东）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如图4所示）.（Ⅰ）求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（Ⅱ）△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由
解： 本小题主要考查椭圆和直线的方程与性质，两条直线垂直的条件，两点间的距离，等基本知识及综合分析能力.构建目标函数化归不等式求最值解决。
代入法求轨迹方程切入，
（Ⅰ）设△AOB的重心为G（），A（），B（），则（1）
∵OA⊥OB ∴ （2）
又点A，B在抛物线上，有，代入（2）化简得

所以重心为G的轨迹方程为
（II）构建目标函数，注意为定值用不等式求解由（I）得，当且仅当即时，等号成立. 所以△AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1；

3 （05全国3）设两点在抛物线上，l是AB的垂直平分线.
（1）当且仅当取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
（2）当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围.
解： 借助判别式构建不等式求解范围问题产生思维方法1：
（1）两点到抛物线的准线的距离相等.
∵抛物线的准线是x轴的平行线，不同时为0，∴上述条件等价于∵， ∴上述条件等价于
即当且仅当时，l经过抛物线的焦点F.
（2）设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为；过点A、B的直线方程可写为，所以满足方程得；A，B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式即 设AB的中点N的坐标为，则由
即得l在y轴上截距的取值范围为（）.
“代点作差,整体思维”探究，用不等式求范围产生思维方法2，
（1）由题设AB的斜率必存在.
若AB的斜率不为0，用代点作差法构造矛盾
若AB的斜率为0，此时A和B在抛物线上且关于y轴对称，此时L为y轴且过抛物线的焦点，且；
综上所述，时，直线L过抛物线的焦点；
（2）“用代点作差法”沟通关系，均值不等式求值域 ，由（1）“用代点作差法”的探究知

4 （04辽宁）设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：（1）动点P的轨迹方程；（2）的最小值与最大值.
4解：本小题主要考查平面向量的概念、直线方程的求法、椭圆的方程和性质等基础知识，以及轨迹的求法与应用、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.
（1）认识向量加法的几何意义化归如何解决弦的中点的轨迹？可选用两种不同的途径。
选用通法研究产生思维方法一：
直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为记、由题设可得点A、B的坐标、是方程组
②
①
的解. 将①代入②并化简得，，所以
于是，
设点P的坐标为则
消去参数k得 ③

当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P的轨迹方程为
选用“代点作差法”产生思维方法二：
设点P的坐标为，因、在椭圆上，所以 ④ ⑤ ， ④—⑤得 ，所以
当时，有 ⑥ ，并且 ⑦
将⑦代入⑥并整理得 ⑧ 当时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P的坐标为（0，0）也满足⑧，所以点P的轨迹方程为
（2）构建目标函数化二次函数在区间上的问题求解，
由点P的轨迹方程知所以 故当，取得最小值，最小值为时，取得最大值，最大值为
解析几何问题求解的途径为：
通法：选择直线方程的形式和圆锥曲线方程联立，化归一元二次次方程有实数解的问题，借助判别式和根与系数的关系沟通整体处理，注意二次项系数不为0和斜率不存在的特殊性的讨论,称为通法。
代点作差法：设两点在曲线上适合方程，作差凑“整体斜率“用弦的中点坐标来表示”研究弦的中点有关的问题称为代点作差法。
通法下的判别式和弦长公式及韦达定理，代点作差法(揭示了弦斜率整体和弦的中点横、纵坐标的关系)都体现了‘设而不解，整体思维”.为此，凡涉及弦长，参数范围和存在性问题的讨论常常选用通法. 涉及弦的中点和圆锥曲线上两点关于某直线对称等问题可用代点作差法求解.但用代点作差法必须以直线和圆锥曲线相交为前提.
解几最值和范围问题，常常依据题设和解析几何的特征“设而不解，整体思维”，联立方程组化归一元二次方程，借助判别式和根与系数的关系（简称通法），通法下构建目标函数，化归函数的值域问题，用函数的性质或用均值不等式求解；或借助判别式适合的条件构建不等式解最值或范围。
1．（200 6天津）已知椭圆（），长轴的两个端点为、，若椭圆上存在点，使，则该椭圆的离心率的取值范围是 ．
5．过椭圆中心的弦AB,是右焦点,则的最大面积为（ ）
A, B, C, D,
5,A (1)当轴时,;
(2)当AB与轴不垂直时,设AB的方程为,由消去得.
设,,则,,
.
9．已知椭圆与直线交于M,N两点,且,(为
原点),当椭圆的离心率时,椭圆长轴长的取值范围是 .
9, 由,可得 ①
由得,即,将,
代入得,即,因为,得
,得,有,解得.
13．设椭圆有一个内接,射线OP与轴正向成角,直线AP,BP的斜率
适合条件.
(1),求证:过A,B的直线的斜率是定值;
(2),求面积的最大值.
13,:(1)证明:易知直线OP的方程为,将此方程代入,可求得交点
P(1, .由题意可设直线PA,PB的方程分别为和,
分别与椭圆方程联立,可求得A,B的横坐标分别为,.
从而,
所以(定值).
(2)不妨设直线AB的方程为,与椭圆方程联立,并消去得+
,有
=
点P到战线AB的距离,所以=
,当且仅当,即时,
.
14．已知点和抛物线上两点使得，求点的纵坐标的取值范围．
14.解：设点坐标为，点坐标为．
显然，故
由于，所以
从而，消去，注意到得：

由解得：或．
当时，点的坐标为；当时，点的坐标为，均满足是题意．故点的纵坐标的取值范围是或．
7．(2005全国)若正方形ABCD的一条边在直线上，另外两个顶点在抛物线上.则该正方形面积的最小值为　　80　　.
解：设正方形的边AB在直线上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为、，则CD所在直线的方程将直线的方程与抛物线方程联立，得令正方形边长为则①
在上任取一点（6，,5），它到直线的距离为②.
①、②联立解得或
例题椭圆方程为，试确定m的范围，使得对于直线，椭圆上总有不同的两点关于对称.
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