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巧用均值不等式及其条件求最值
(南京师范大学数学与计算机科学学院 张逸洁)

均值不等式是高中阶段初等数学中最重要的基本不等式之一，在许多问题的解决中往往能发挥出它的独特功能，对于它及它各种变式的掌握和熟练运用也是求解很多与不等式有关的最值问题的重要方法。本文将归纳介绍均值不等式在最值问题中的一些巧妙运用，希望能够开拓学生的思维，对高中生不等式的学习有所帮助。
一、均值不等式
1．（当且仅当a=b时取“=”）。
推论：，（当且仅当a=b时取“=”）。
2．变形，对积向平方和转化：。对积向和转化：。
注：这里有“最值定理”： 若
运用此定理求最值时必须具备“一正，二定，三相等”这三个条件。
3．，（当且仅当a=b=c时取“=”）
推论：，（当且仅当a=b=c时取“=”）
4．变形：对
方法小结：在运用均值不等式求正数和的最小值时，凑积为定值；求正数积的最大值时，凑和为定值。
二、巧用均值不等式求解最值问题
在求解函数最值问题的过程中，我们通常运用不等式，函数单调性，数形结合等方法分析解答。本文着重介绍均值不等式在求解此类问题中的妙用，旨在帮助读者系统归纳，拓展思维，灵活解题。
1． 连用
例1：已知的最小值。
解：

分析：有时利用均值不等式求最值时只用一次并不能解决问题，通常需要连用来巧求最值。不等式的连用分为连续正用、连续逆用和正逆交替连用前两种连用法比较直观，一般题型也较易；第三种交替连用法的使用比较广泛，较常见的题型为不等式两边均为分式相加且分子为定常数。
自求1：已知
2．平方（也作“升幂处理”）
例2：当的最值。
解：

综上，
分析：在从最值函数直接入手凑整和取等无法同时满足的情况下，我们往往考虑在最值函数两边平方后再予以配凑。
自求2：设的最大值。
3．变换
例3：实数a,b满足，求a+b的最大值与最小值。
解：
，当且仅当3（a-4）=4(b-3)时①式等号成立。
综合条件得
分析：在例3的解题过程中，核心是对“若(当且仅当an=bm时等号成立)”。这一变换不等式的运用，将两个孤立的变量联系起来，从而求得最值。此题出现的变换式较均值不等式本身变形较多，一般不易想到，这也就要求读者在平时的阅读、解题中多尝试、多积累，必要的也要加以记忆，才能在万变的题海中以敏锐的嗅觉找出解题良策。
自求3：设（提示：恰当利用变式“若a、b>0，则”）
4．拆项和添项
例4a:求函数的最小值。
解:
当且仅当成立，即x=0时等号成立。

例4b：已知x,y为正数且4x+y=30，求的最小值。
解：由条件：

当且仅当即
分析：在例5的求解过程中，直接利用
当且仅当时等号成立，是不可能实现的，也就是说等号不能成立。由本题出发，我们观察到在运用均值式出现等号不成立的情况下，拆项法可以快速解决此类问题，使不等式中的等号得以成立并取得相应的最值；对于添项法，这里我们着重介绍的是“1”的巧妙添加，运用三角函数中构造出的“1”或条件中给出的常数，将其乘在不等式的一侧，有时将有出其不意的效果。
自求4a：求函数的最小值。
4b：已知求x+y的最小值。
5．换元
例5：设a,b,c为三角形三边，求证：
证明：设a=x+y,b=y+z,c=z+x,其中x,y,z>0
则
当且仅当x=y=z，即a=b=c时等号成立。
原等式成立。
分析：换元法通常运用于结构比较复杂、量与量之间关系不太直观的求值或证明问题中，通过恰当引入新的变量来代换原命题中的部分因式，通过代换达到减元的目的，从而简化结构，便于求解。
自求5：已知.（提示：可尝试三角代换。）
6．引参

解：引入参数
于是
当且仅当 同时成立时取等号。
由（1）：
由（2）：

即当
分析：本题借助求“”最小值添加“”项再利用均值不等式解的思想遇到瓶颈，即根据前一思想添加“sinx+cosx”项时，
但题中并未给定这一条件。因此我们考虑在sinx+cosx这一项引入参数，这样就避免了a=b,只要设定适当的值，最小值就迎刃而解了。
自求6：设三角形三边长分别为a、b、c且周长为p。求证：
（提示：对不等式左边每一项添加参数再利用均值不等式）
以上是从均值不等式本身出发归类总结的一些巧解最值的方法，希望对读者有所帮助和启发，下面将对利用不等式条件求最值做一些引入。（在这里我们对于下述命题的正确性证明不予探讨，仅将其作为一个正确的命题加以运用。）
三、延伸：巧用均值不等式的成立条件求解最值问题
均值不等式a+b指出：若两正数和为定值，那么当且仅当两数相等时，成积取最大值。换言之，若两正数和为定值，当两数之差为零时，两数之积最大。由此得到，若把一个正整数折分成两个正整数之和，那么这两个整数之差越小（大数减小数），它们的乘积就越大。如易见d越小xy值越大。当d=0时xy取最大值，此即为均值不等式揭示的结论；若c不能分解为两个相等的正整数之和，当d=1时xy取最大值。上述结论即是说当把一个正整数分解为相等或相邻的两个整数之和，它们的乘积最大。循此思路，若把一个正整数分解成若干个（个数不限）正整数之和，我们猜想：当这些被拆分的正整数越接近时它们的乘积越大，当它们相等时乘积最大。
例7：试求和为2008的正整数之积的最大值。
解：∵2008总可拆成有限个正整数之和，命为即2008。∴乘积M=
又2008拆分成有限整数之和的种类为有限个，故乘积M的值也为有限个，因而其中必有最大值。
再由算术基本定理：任意一个大于1的正整数都可以分解为一些素数的乘积形式，即（P是素数，是非负整数）
根据上述分析，欲使M值最大，应尽量接近，故需在集合{2，3}中取值，即M且。
又因为3不能整除2008，故不全为3；虽然2|2008，但若则，此时根据但可看出，同样的数表示为2之和与3之和时，拆分为2的乘积要小于拆分为3的乘积，因此我们应尽量多的分解为3之和而不是分解为2之和故不全为2，此时。
，，
分析：此题可推广至一般情形；将自然数N折分成若干个自然数之和，则其乘积最大值M是：

（此题情形）

例8：用长度分别为1、2、3、4、5的5根细棒围成一个三角形（允许连接但不许折断），求能够得到三角形的最大面积。
解：由海伦公式，设三角形的半周长为l则面积，当周长一定时，三边长越接近面积越大，当三边相等时面积最大。
面积最大的三角形的三边应该这样构成：1+4、2+3、5。
从而。
以上总结了一些求解最值的技巧，希望能给读者一些借鉴与参考。但考虑到数学题型的多样性与创新性，任何能以一文概全的解题技巧都是不存在的，仍然需要读者多阅读多钻研，锻炼自身解题能力，形成独有的数学思维，方可从容解题。