1、
点到直线距离公式的另外几种推导方法
“点到直线的距离公式”是新课标人教版必修2数学的重点内容，教材在推到公式之后给出“请研究一下，如何用其它方法推导上面的距离公式”的伏笔，因此，笔者给出另外几种推导方法，供大家参考。
1 点到直线的距离公式
在平面直角坐标系中，已知点P（x0,y0），直线l：Ax+By+C=0(A﹒B≠0).设点P（x0,y0）到直线l的距离为d，则
设点外一点，如何求它到该直线的距离？
解：设过点且与已知直线垂直的直线为，垂足为，点到点距离为，则
y
0
P0
D
d
x
即，直线外一已知点到已知直线的距离公式为：
2、
当A=0或B=0，上面的公式依然适用。当然，也可以不用上面的距离公式，即当A=0且B≠0时，直线l：y=－，d==；当A≠0，B=0时，
直线l：x=－，d==
图1
证法二：如图1，过作直线∥，设直线和分别交轴于点、，过M作直线于点，则就等于点P到直线的距离，记为．
设直线的方程为，由于点在直线上，， ．
直线：．
令，得；
在直线：中，
令，得．
．
设直线的倾斜角为，则，且，
说明：在证法二中，先将点到直线距离转化成过点的且与平行的直线与的距离，并通过特殊位置——轴上的线
3、段的长，利用三角函数解决了问题，体现化斜为直的思想．当然，也可以对证法二进行适当的变化来证明点到直线的距离公式，由兴趣的读者不妨去试一试．
2 公式的另外几种推导方法
方法1 利用直角三角形的面积公式
A﹒B≠0，∴ 直线l必与两坐标轴相交，如图1，
作PM‖x轴交直线l于M，作PN‖y轴交直线l于N，
作PQ⊥l于Q，则d =∣PQ∣，d 既是点P到直线l的距
离，又是Rt△MPN的高.∴d= (※)
设M（x1,y0），N（x0,y2），∵ M、N∈l，易求出x1
4、y2=.
∴∣PM∣=∣x1-x0∣=∣∣……①
∣PN∣=∣y2-y0∣=∣∣……②
∣MN∣==﹒∣Ax0+By0+C∣……③
将①②③代入（※）得：d= (A2+B2≠0).
方法2 利用两点间的距离公式
教材指出，由PQ⊥l可知直线PQ的斜率为，可求出PQ所在直线的方程，从而可求出交点P的坐标，再用两点间的距离公式求∣PQ∣。“这种方法思路自然，但运算较繁”，可是，如果在推导过程中注意运算技巧，也并不繁琐！
方法2—1 如图1，设Q（a,b），则d=∣PQ∣=，易得直线PQ的方程为y-y0= (x-x0),即Bx-Ay=Bx0-Ay0.从而有,
5、解之,a=,∴ a-x0=-,b-y0=-
∴ d=∣PQ∣== (A2+B2≠0).
方法2—2 如图1，由方法2—1 有
由(1)2+(2)2得：(A2+B2)(a-x0)2+(A2+B2)(b-y0)2=(Ax0+By0+C)2,
∴ (a-x0)2+(b-y0)2=,
∴ d=∣PQ∣== (A2+B2≠0).
方法3 利用换元法
在方法2—2中，设b-y0=B t, a-x0=A t,代入(1)得(A2+B2) t=-(Ax0+By0+C)
∴ t=,
∴ d =∣PQ∣==
= (A2+B2≠0).
6、 y
方法4 利用向量法 l
显然，直线l的法向量=（A，B），设P1（x1,y1）是 x
直线l上与Q不重合的任意一点，当<,>为锐角时，
d=∣PQ∣=cos（如图2）； 图2
当<,>为钝角时， l y
d=∣PQ∣=cos(-)
= -cos=∣cos∣（如图3）. x
∴无论直线l的法向量=（A，B）的方向如何，均有
d=∣PQ∣=∣cos∣.又∵﹒＝， 图3
∴ d =
＝＝
又∵P1（x1,y1）在直线上，∴Ax1+By1+C=0代入上式，得d= (A2+B2≠0)。
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