《抛物线及其标准方程》作业.doc

抛物线及其标准方程一选择题（共8小题）1已知点P（x，y）在以原点为圆心的单位圆上运动，则点Q（x+y，xy）的轨迹是（）A圆B抛物线C椭圆D双曲线2正方体ABCDA1B1C1D1 中，M为侧面ABB1A1所在平面上的一个动点，且M到平面ADD1A1的距离与M到直线BC距离相等，则动点M的轨迹为（）A椭圆B双曲线C圆D抛物线3已知定点A（1，1）和直线l：x+y2=0，则到定点A的距离和到定直线l的距离相等的点的轨迹为（）A椭圆B双曲线C抛物线D直线4若抛物线y2=2px的焦点与双曲线=1的右焦点重合，则p的值为（）A2B2C4D45抛物线y=4x2的准线方程是（）Ay=1By=1Cy=Dy=6抛物线的准线方程是，则其标准方程是（）Ay2=2xBx2=2yCy2=xDx2=y7顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（）Ax2=3yBy2=6xCx2=12yDx2=6y8已知点F为抛物线y 2=8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为（）A6BCD4+2二填空题（共8小题）9已知F是抛物线y2=x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为 10抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是 11圆心在x轴上，经过原点，并且与直线y=4相切的圆的标准方程是 12平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离比到直线x=2的距离小1若机器人接触不到过点P（1，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是 13若坐标原点到抛物线x=m2y2的准线的距离为2，则m= ；焦点坐标为 14顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线2x+y2=0上的抛物线方程是 15在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2=2px经过点（4，2），则实数p= 16对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：焦点在x轴上；焦点在y轴上；抛物线的通径的长为5；抛物线上横坐标为2的点到焦点的距离等于6；抛物线的准线方程为x=；由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）能使抛物线方程为y2=10x的条件是 三解答题（共2小题）17平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M（1，3）、N（5，1），若点C满足=t+（1t）（tR），点C的轨迹与抛物线：y2=4x交于A、B两点（）求证：；（）在x轴上是否存在一点P（m，0）（mR），使得过P点的直线交抛物线于D、E两点，并以该弦DE为直径的圆都过原点若存在，请求出m的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由18已知点F（0，1）为抛物线x2=2py的焦点（1）求抛物线C的方程；（2）点A、B、C是抛物线上三点且+=，求ABC面积的最大值抛物线及其标准方程参考答案与试题解析一选择题（共8小题）1已知点P（x，y）在以原点为圆心的单位圆上运动，则点Q（x+y，xy）的轨迹是（）A圆B抛物线C椭圆D双曲线【分析】先设处点Q的坐标，进而根据定义得出u=x+y和v=xy，利用圆的半径为1，代入圆的方程，进而求得u和v关系，则点的轨迹可得【解答】解：设Q（u，v），则x2+y2=1，u22v=x2+y2=1点Q的轨迹是抛物线故选B【点评】本题主要考查了抛物线的定义属基础题2正方体ABCDA1B1C1D1 中，M为侧面ABB1A1所在平面上的一个动点，且M到平面ADD1A1的距离与M到直线BC距离相等，则动点M的轨迹为（）A椭圆B双曲线C圆D抛物线【分析】根据正方体ABCDA1B1C1D1，可得|MB|等于M到AA1的距离，根据抛物线的定义，可得结论【解答】解：BC平面ABB1A1，|MB|表示M 到直线BC 距离相等平面ADD1A1平面ABB1A1，M 到平面ADD1A1 的距离等于M到AA1的距离M 到平面ADD1A1 的距离与M 到直线BC 距离相等，|MB|等于M到AA1的距离根据抛物线的定义，可知动点M 的轨迹为抛物线故选D【点评】本题重点考查正方体的性质，考查抛物线的定义，解题的关键是得出|MB|等于M到AA1的距离3已知定点A（1，1）和直线l：x+y2=0，则到定点A的距离和到定直线l的距离相等的点的轨迹为（）A椭圆B双曲线C抛物线D直线【分析】判断定点A与直线的位置关系，然后判断动点的轨迹【解答】解：因为定点A（1，1）在直线l：x+y2=0上，所以到定点A的距离和到定直线l的距离相等的点的轨迹是直线，就是经过定点A与直线l：x+y2=0，垂直的直线故选D【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，逻辑推理能力，考查计算能力注意本题与抛物线定义的区别，易错选C4若抛物线y2=2px的焦点与双曲线=1的右焦点重合，则p的值为（）A2B2C4D4【分析】求出双曲线的焦点坐标，可得抛物线y2=2px的焦点坐标，即可求出p的值【解答】解：双曲线=1的右焦点为（2，0），即抛物线y2=2px的焦点为（2，0），=2，p=4故选D【点评】本题考查双曲线、抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题5抛物线y=4x2的准线方程是（）Ay=1By=1Cy=Dy=【分析】将抛物线化成标准方程得x2=y，算出2p=且焦点在y轴上，进而得到=，可得该抛物线的准线方程【解答】解：抛物线y=4x2化成标准方程，可得x2=y，抛物线焦点在y轴上且2p=，得=，因此抛物线的焦点坐标为（0，），准线方程为y=故选：D【点评】本题给出抛物线的方程，求它的准线方程着重考查了抛物线的标准方程及其基本概念等知识，属于基础题6抛物线的准线方程是，则其标准方程是（）Ay2=2xBx2=2yCy2=xDx2=y【分析】根据准线方程，可知抛物线的焦点在y轴的负半轴，再设抛物线的标准形式为x2=2py，根据准线方程求出p的值，代入即可得到答案【解答】解：由题意可知抛物线的焦点在y轴的负半轴，设抛物线标准方程为：x2=2py（p0），抛物线的准线方程为y=，=，p=1，抛物线的标准方程为：x2=2y故选B【点评】本题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质属基础题7顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（）Ax2=3yBy2=6xCx2=12yDx2=6y【分析】先设出抛物线的方程，根据题意求得p，则抛物线的方程可得【解答】解：设抛物线的方程为x2=2p或x2=2p，依题意知=3，p=6，抛物线的方程为x2=12y，故选：C【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程考查了学生对抛物线的标准方程的掌握8已知点F为抛物线y 2=8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为（）A6BCD4+2【分析】利用抛物线的定义由|AF|=4得到A到准线的距离为4，即可求出点A的坐标，根据：“|PA|+|PO|”相当于在准线上找一点，使得它到两个定点的距离之和最小，最后利用平面几何的方法即可求出距离之和的最小值【解答】解：|AF|=4，由抛物线的定义得，A到准线的距离为4，即A点的横坐标为2，又点A在抛物线上，从而点A的坐标A（2，4）；坐标原点关于准线的对称点的坐标为B（4，0）则|PA|+|PO|的最小值为：|AB|=故选C【点评】此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决最小值问题，灵活运用点到点的距离、对称性化简求值，是一道中档题二填空题（共8小题）9已知F是抛物线y2=x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到y轴的距离【解答】解：F是抛物线y2=x的焦点F（，0）准线方程x=设A（x1，y1），B（x2，y2）|AF|+|BF|=x1+x2+=3解得x1+x2=线段AB的中点横坐标为线段AB的中点到y轴的距离为故答案为：【点评】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题10抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是【分析】根据点M到焦点的距离为1利用抛物线的定义可推断出M到准线距离也为1利用抛物线的方程求得准线方程，进而可求得M的纵坐标【解答】解：根据抛物线的定义可知M到焦点的距离为1，则其到准线距离也为1又抛物线的准线为y=，M点的纵坐标为1=故答案为：【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质抛物线中涉及点到焦点，准线的距离问题时，一般是利用抛物线的定义来解决11圆心在x轴上，经过原点，并且与直线y=4相切的圆的标准方程是（x4）2+y2=16或（x+4）2+y2=16【分析】根据题意，确定出圆的圆心坐标与半径，进而可得圆的标准方程【解答】解：由题意可知，圆的半径为4圆心在x轴上，经过原点圆的圆心坐标为（4，0）或（4，0）圆心在x轴上，经过原点，并且与直线y=4相切的圆的标准方程是（x4）2+y2=16或（x+4）2+y2=16故答案为：（x4）2+y2=16或（x+4）2+y2=16【点评】本题考查圆的标准方程，解题的关键是确定出圆的圆心坐标与半径，属于基础题12平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离比到直线x=2的距离小1若机器人接触不到过点P（1，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是k1或k1【分析】由抛物线的定义，求出机器人的轨迹方程，过点P（1，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1），代入y2=4x，利用判别式，即可求出k的取值范围【解答】解：平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离比到直线x=2的距离小1，即平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离和到直线x=1的距离相等，由抛物线的定义可知，机器人的轨迹方程为y2=4x，过点P（1，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1），代入y2=4x，可得k2x2+（2k24）x+k2=0，机器人接触不到过点P（1，0）且斜率为k的直线，=（2k24）24k40，k1或k1故答案为：k1或k1【点评】本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题13若坐标原点到抛物线x=m2y2的准线的距离为2，则m=；焦点坐标为（2，0）【分析】求出抛物线的标准方程，结合准线方程和焦点坐标进行求解即可【解答】解：抛物线的标准方程为y2=x=4（）x，则准线方程为x=，坐标原点到抛物线x=m2y2的准线的距离为2，=2，即=2，得m2=，则m=，则抛物线的焦点坐标为（2，0），故答案为：，（2，0）【点评】本题主要考查抛物线方程和性质的应用，根据条件求出抛物线的标准方程是解决本题的关键14顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线2x+y2=0上的抛物线方程是y2=4x或x2=8y【分析】求出已知直线与坐标轴的交点A和B，在焦点分别为A和B的情况下设出抛物线标准方程，对照抛物线焦点坐标的公式求待定系数，即可得到相应抛物线的方程【解答】解：直线2x+y2=0交x轴于点A（1，0），与y轴交于点B（0，2）；当抛物线的焦点在A点时，设方程为y2=2px，可得2p=4，抛物线方程为y2=4x；当抛物线的焦点在B点时，设方程为x2=2py，可得2p=8，抛物线方程为x2=8y综上所述，抛物线方程为y2=4x或x2=8y故答案为：y2=4x或x2=8y【点评】本题主要考查了给出抛物线的焦点坐标，求它的标准方程，着重考查了抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题15在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2=2px经过点（4，2），则实数p=【分析】利用抛物线经过的点，求解即可【解答】解：抛物线y2=2px经过点（4，2），可得4=8P，解得p=故答案为：【点评】本题考查抛物线才的应用，基本知识考查16对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：焦点在x轴上；焦点在y轴上；抛物线的通径的长为5；抛物线上横坐标为2的点到焦点的距离等于6；抛物线的准线方程为x=；由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）能使抛物线方程为y2=10x的条件是【分析】根据抛物线方程，即可得出结论【解答】解：抛物线方程为y2=10x中，焦点在x轴上，抛物线的准线方程为x=；由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）故答案为【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础三解答题（共2小题）17平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M（1，3）、N（5，1），若点C满足=t+（1t）（tR），点C的轨迹与抛物线：y2=4x交于A、B两点（）求证：；（）在x轴上是否存在一点P（m，0）（mR），使得过P点的直线交抛物线于D、E两点，并以该弦DE为直径的圆都过原点若存在，请求出m的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由【分析】（1）欲证两向量垂直，通过向量的坐标运算，就是证明它们的数量积为0，将直线与抛物线的方程组成方程组，利用设而不求的方法求解；（2）对于存在性问题，可设假设存在，本题中将垂直关系合理转化，找出m的一个相等关系，从而解出了m的值，即说明存在【解答】解：（）解：由=t+（1t）（tR），知点C的轨迹是M、N两点所在的直线，故点C的轨迹方程是：即y=x4由得x212x+16=0x1x2=16，x1+x2=12y1y2=（x14）（x24）=x1x24（x1+x2）+16=16x1x2+y1y2=0 故（）解：由题意知：弦所在的直线的斜率不为零故设弦所在的直线方程为：x=ky+m，代入 y2=4x 得 y24ky4m=0，y1+y2=4k，y1y2=4m若以弦DE为直径的圆都过原点，则ODOE，x1x2+y1y2=0即=m24m，解得m=0 （不合题意，舍去）或 m=4存在点P（4，0），使得过P点任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点设弦AB的中点为M（x，y） 则x=，y=，x1+x2=ky1+4+ky2+4=k（y1+y2）+8=4k2+8，弦AB的中点M的轨迹方程为：消去k得：y2=2x8圆心的轨迹方程为y2=2x8【点评】对于存在判断型问题，解题的策略一般为先假设存在，然后转化为“封闭型”问题求解判断，若不出现矛盾，则肯定存在；若出现矛盾，则否定存在这是一种最常用也是最基本的方法本题根据抛物线的定义，结合焦点三角形，引出矛盾，从而问题得解解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解18已知点F（0，1）为抛物线x2=2py的焦点（1）求抛物线C的方程；（2）点A、B、C是抛物线上三点且+=，求ABC面积的最大值【分析】（1）利用抛物线的定义，可以求出p，即可得到抛物线的方程；（2）首先设出A，B，C点的坐标，再设出直线AB与y轴交于点D（0，yD），进一步求出yD，根据几何位置关系表示出三角形的面积，再根据基本不等式求出最值及最值成立的条件，则答案可求【解答】解：（1）由题意知，即p=2，抛物线C的方程为：x2=4y；（2）令，不妨设直线AB与y轴交于点D（0，yD），即又且+=，从而x1+x2=x3，=，即，=令，令y=0，则t1=2，t2=6当t（0，2）时函数单调递减，当t（2，6）时函数单调递增，t（6，+）时函数单调递减且当t=0时y=，当t=6时y=，【点评】本题考查了抛物线的标准方程，考查了利用基本不等式求出最值及最值成立的条件，属于中档题第14页（共14页）