《抛物线及其标准方程》作业.doc

抛物线及其标准方程

一．选择题（共8小题）
1．已知点P（x，y）在以原点为圆心的单位圆上运动，则点Q（x+y，xy）的轨迹是（　　）
A．圆 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线
2．正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，M为侧面ABB1A1所在平面上的一个动点，且M到平面ADD1A1的距离与M到直线BC距离相等，则动点M的轨迹为（　　）
A．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．抛物线
3．已知定点A（1，1）和直线l：x+y﹣2=0，则到定点A的距离和到定直线l的距离相等的点的轨迹为（　　）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线
4．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣=1的右焦点重合，则p的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
5．抛物线y=4x2的准线方程是（　　）
A．y=1 B．y=﹣1 C．y= D．y=﹣
6．抛物线的准线方程是，则其标准方程是（　　）
A．y2=2x B．x2=﹣2y C．y2=﹣x D．x2=﹣y
7．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（　　）
A．x2=±3y B．y2=±6x C．x2=±12y D．x2=±6y
8．已知点F为抛物线y 2=﹣8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为（　　
A．6 B． C． D．4+2

二．填空题（共8小题）
9．已知F是抛物线y2=x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为　 　．
10．抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是　 　．
11．圆心在x轴上，经过原点，并且与直线y=4相切的圆的标准方程是　 　．
12．平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离比到直线x=﹣2的距离小1．若机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是　 　．
13．若坐标原点到抛物线x=m2y2的准线的距离为2，则m=　 　；焦点坐标为　 　．
14．顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线2x+y﹣2=0上的抛物线方程是　 　．
15．在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2=2px经过点（4，2），则实数p=　 　．
16．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在x轴上；
②焦点在y轴上；
③抛物线的通径的长为5；
④抛物线上横坐标为2的点到焦点的距离等于6；
⑤抛物线的准线方程为x=﹣；
⑥由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）．
能使抛物线方程为y2=10x的条件是　 　．

三．解答题（共2小题）
17．平面直角坐标系中，O为坐标原点已知两点M（1，﹣3）、N（5，1），若点C满足=t+（1﹣t）（t∈R），点C的轨迹与抛物线：y2=4x交于A、B两点．
（Ⅰ）求证：⊥；
（Ⅱ）在x轴上是否存在一点P（m，0）（m∈R），使得过P点的直线交抛物线于D、E两点，并以该弦DE为直径的圆都过原点．若存在，请求出m的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由．
18．已知点F（0，1）为抛物线x2=2py的焦点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）点A、B、C是抛物线上三点且++=，求△ABC面积的最大值．

抛物线及其标准方程
参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）
1．已知点P（x，y）在以原点为圆心的单位圆上运动，则点Q（x+y，xy）的轨迹是（　　）
A．圆 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线
【分析】先设处点Q的坐标，进而根据定义得出u=x+y和v=xy，利用圆的半径为1，代入圆的方程，进而求得u和v关系，则点的轨迹可得．
【解答】解：设Q（u，v），则
∵x2+y2=1，
∴u2﹣2v=x2+y2=1．
∴点Q的轨迹是抛物线．
故选B
【点评】本题主要考查了抛物线的定义．属基础题．

2．正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，M为侧面ABB1A1所在平面上的一个动点，且M到平面ADD1A1的距离与M到直线BC距离相等，则动点M的轨迹为（　　）
A．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．抛物线
【分析】根据正方体ABCD﹣A1B1C1D1，可得|MB|等于M到AA1的距离，根据抛物线的定义，可得结论．
【解答】解：∵BC⊥平面ABB1A1，∴|MB|表示M 到直线BC 距离相等
∵平面ADD1A1⊥平面ABB1A1，∴M 到平面ADD1A1 的距离等于M到AA1的距离
∵M 到平面ADD1A1 的距离与M 到直线BC 距离相等，
∴|MB|等于M到AA1的距离
根据抛物线的定义，可知动点M 的轨迹为抛物线
故选D．
【点评】本题重点考查正方体的性质，考查抛物线的定义，解题的关键是得出|MB|等于M到AA1的距离．

3．已知定点A（1，1）和直线l：x+y﹣2=0，则到定点A的距离和到定直线l的距离相等的点的轨迹为（　　）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线
【分析】判断定点A与直线的位置关系，然后判断动点的轨迹．
【解答】解：因为定点A（1，1）在直线l：x+y﹣2=0上，
所以到定点A的距离和到定直线l的距离相等的点的轨迹是直线，
就是经过定点A与直线l：x+y﹣2=0，垂直的直线．
故选D．
【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，逻辑推理能力，考查计算能力．注意本题与抛物线定义的区别，易错选C．

4．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣=1的右焦点重合，则p的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
【分析】求出双曲线的焦点坐标，可得抛物线y2=2px的焦点坐标，即可求出p的值．
【解答】解：双曲线﹣=1的右焦点为（2，0），
即抛物线y2=2px的焦点为（2，0），
∴=2，
∴p=4．
故选D．
【点评】本题考查双曲线、抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．

5．抛物线y=4x2的准线方程是（　　）
A．y=1 B．y=﹣1 C．y= D．y=﹣
【分析】将抛物线化成标准方程得x2=y，算出2p=且焦点在y轴上，进而得到=，可得该抛物线的准线方程．
【解答】解：抛物线y=4x2化成标准方程，可得x2=y，
∴抛物线焦点在y轴上且2p=，得=，
因此抛物线的焦点坐标为（0，），准线方程为y=﹣．
故选：D
【点评】本题给出抛物线的方程，求它的准线方程．着重考查了抛物线的标准方程及其基本概念等知识，属于基础题．

6．抛物线的准线方程是，则其标准方程是（　　）
A．y2=2x B．x2=﹣2y C．y2=﹣x D．x2=﹣y
【分析】根据准线方程，可知抛物线的焦点在y轴的负半轴，再设抛物线的标准形式为x2=﹣2py，根据准线方程求出p的值，代入即可得到答案．
【解答】解：由题意可知抛物线的焦点在y轴的负半轴，
设抛物线标准方程为：x2=﹣2py（p＞0），
∵抛物线的准线方程为y=，
∴
∴p=1，
∴抛物线的标准方程为：x2=﹣2y．
故选B．
【点评】本题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质．属基础题．

7．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（　　）
A．x2=±3y B．y2=±6x C．x2=±12y D．x2=±6y
【分析】先设出抛物线的方程，根据题意求得p，则抛物线的方程可得．
【解答】解：设抛物线的方程为x2=2p或x2=﹣2p，依题意知=3，
∴p=6，
∴抛物线的方程为x2=±12y，
故选：C．
【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程．考查了学生对抛物线的标准方程的掌握．

8．已知点F为抛物线y 2=﹣8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为（　　）
A．6 B． C． D．4+2
【分析】利用抛物线的定义由|AF|=4得到A到准线的距离为4，即可求出点A的坐标，根据：“|PA|+|PO|”相当于在准线上找一点，使得它到两个定点的距离之和最小，最后利用平面几何的方法即可求出距离之和的最小值．
【解答】解：∵|AF|=4，由抛物线的定义得，
∴A到准线的距离为4，即A点的横坐标为﹣2，
又点A在抛物线上，∴从而点A的坐标A（﹣2，4）；
坐标原点关于准线的对称点的坐标为B（4，0）
则|PA|+|PO|的最小值为：
|AB|==
故选C．
【点评】此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决最小值问题，灵活运用点到点的距离、对称性化简求值，是一道中档题．

二．填空题（共8小题）
9．已知F是抛物线y2=x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为　　．
【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到y轴的距离．
【解答】解：∵F是抛物线y2=x的焦点
F（，0）准线方程x=﹣
设A（x1，y1），B（x2，y2）
∴|AF|+|BF|=x1++x2+=3
解得x1+x2=
∴线段AB的中点横坐标为
∴线段AB的中点到y轴的距离为
故答案为：．
【点评】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．

10．抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是　　．
【分析】根据点M到焦点的距离为1利用抛物线的定义可推断出M到准线距离也为1．利用抛物线的方程求得准线方程，进而可求得M的纵坐标．
【解答】解：根据抛物线的定义可知M到焦点的距离为1，则其到准线距离也为1．
又∵抛物线的准线为y=﹣，
∴M点的纵坐标为1﹣=．
故答案为：．

【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．抛物线中涉及点到焦点，准线的距离问题时，一般是利用抛物线的定义来解决．

11．圆心在x轴上，经过原点，并且与直线y=4相切的圆的标准方程是　（x﹣4）2+y2=16或（x+4）2+y2=16　．
【分析】根据题意，确定出圆的圆心坐标与半径，进而可得圆的标准方程．
【解答】解：由题意可知，圆的半径为4
∵圆心在x轴上，经过原点
∴圆的圆心坐标为（4，0）或（﹣4，0）
∴圆心在x轴上，经过原点，并且与直线y=4相切的圆的标准方程是（x﹣4）2+y2=16或（x+4）2+y2=16
故答案为：（x﹣4）2+y2=16或（x+4）2+y216
【点评】本题考查圆的标准方程，解题的关键是确定出圆的圆心坐标与半径，属于基础题

12．平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离比到直线x=﹣2的距离小1．若机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是　k＜﹣1或k＞1　．
【分析】由抛物线的定义，求出机器人的轨迹方程，过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1），代入y2=4x，利用判别式，即可求出k的取值范围
【解答】解：平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离比到直线x=﹣2的距离小1，
即平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离和到直线x=﹣1的距离相等，
由抛物线的定义可知，机器人的轨迹方程为y2=4x，
过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1），
代入y2=4x，可得k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，
∵机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，
∴△=（2k2﹣4）2﹣4k4＜0，
∴k＜﹣1或k＞1．
故答案为：k＜﹣1或k＞1．
【点评】本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．

13．若坐标原点到抛物线x=m2y2的准线的距离为2，则m=　±　；焦点坐标为　（2，0）　．
【分析】求出抛物线的标准方程，结合准线方程和焦点坐标进行求解即可．
【解答解：抛物线的标准方程为y2=x=4（）x，则准线方程为x=﹣，
∵坐标原点到抛物线x=m2y2的准线的距离为2，
∴﹣=﹣2，即=2，得m2=，则m=±，
则抛物线的焦点坐标为（2，0），
故答案为：±，（2，0）
【点评】本题主要考查抛物线方程和性质的应用，根据条件求出抛物线的标准方程是解决本题的关键．

14．顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线2x+y﹣2=0上的抛物线方程是　y2=4x或x2=8y　．
【分析】求出已知直线与坐标轴的交点A和B，在焦点分别为A和B的情况下设出抛物线标准方程，对照抛物线焦点坐标的公式求待定系数，即可得到相应抛物线的方程．
【解答】解：直线2x+y﹣2=0交x轴于点A（1，0），与y轴交于点B（0，2）；
①当抛物线的焦点在A点时，设方程为y2=2px，可得2p=4，
∴抛物线方程为y2=4x；
②当抛物线的焦点在B点时，设方程为x2=2py，可得2p=8，
∴抛物线方程为x2=8y
综上所述，抛物线方程为y2=4x或x2=8y．
故答案为：y2=4x或x2=8y．
【点评】本题主要考查了给出抛物线的焦点坐标，求它的标准方程，着重考查了抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．

15．在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2=2px经过点（4，2），则实数p=　　．
【分析】利用抛物线经过的点，求解即可．
【解答】解：抛物线y2=2px经过点（4，2），
可得4=8P，
解得p=．
故答案为：．
【点评】本题考查抛物线才的应用，基本知识考查．

16．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在x轴上；
②焦点在y轴上；
③抛物线的通径的长为5；
④抛物线上横坐标为2的点到焦点的距离等于6；
⑤抛物线的准线方程为x=﹣；
⑥由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）．
能使抛物线方程为y2=10x的条件是　①⑤⑥　．
【分析】根据抛物线方程，即可得出结论．
【解答】解：抛物线方程为y2=10x中，焦点在x轴上，抛物线的准线方程为x=﹣；由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）．
故答案为①⑤⑥．
【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．

三．解答题（共2小题）
17．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M（1，﹣3）、N（5，1），若点C满足=t+（1﹣t）（t∈R），点C的轨迹与抛物线：y2=4x交于A、B两点．
（Ⅰ）求证：⊥；
（Ⅱ）在x轴上是否存在一点P（m，0）（m∈R），使得过P点的直线交抛物线于D、E两点，并以该弦DE为直径的圆都过原点．若存在，请求出m的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）欲证两向量垂直，通过向量的坐标运算就是证明它们的数量积为0，将直线与抛物线的方程组成方程组，利用设而不求的
方法求解；
（2）对于存在性问题，可设假设存在，本题中将垂直关系合理转化，找出m的一个相等关系，从而解出了m的值，即说明存在．
【解答】解：（Ⅰ）解：由=t+（1﹣t）（t∈R），知点C的轨迹是M、N两点所在的直线，
故点C的轨迹方程是：即y=x﹣4．
由得x2﹣12x+16=0．
∴x1x2=16，x1+x2=12
∴y1y2=（x1﹣4）（x2﹣4）=x1x2﹣4（x1+x2）+16=﹣16
∴x1x2+y1y2=0 故⊥．
（Ⅱ）解：由题意知：弦所在的直线的斜率不为零．故设弦所在的直线方程为x=ky+m，
代入 y2=4x 得 y2﹣4ky﹣4m=0，∴y1+y2=4k，y1y2=﹣4m．
若以弦DE为直径的圆都过原点，则OD⊥OE，∴x1x2+y1y2=0．
即=m2﹣4m，解得m=0 （不合题意，舍去）或 m=4．
∴存在点P（4，0），使得过P点任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点．
设弦AB的中点为M（x，y） 则x=，y=，
x1+x2=ky1+4+ky2+4=k（y1+y2）+8=4k2+8，
∴弦AB的中点M的轨迹方程为：
消去k得：y2=2x﹣8．
∴圆心的轨迹方程为y2=2x﹣8．
【点评】对于存在判断型问题，解题的策略一般为先假设存在，然后转化为“封闭型”问题求解判断，若不出现矛盾，则肯定存在；若出现矛盾，则否定存在．这是一种最常用也是最基本的方法．本题根据抛物线的定义，结合焦点三角形，引出矛盾，从而问题得解．解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解．

18．已知点F（0，1）为抛物线x2=2py的焦点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）点A、B、C是抛物线上三点且++=，求△ABC面积的最大值．
【分析】（1）利用抛物线的定义，可以求出p，即可得到抛物线的方程；
（2）首先设出A，B，C点的坐标，再设出直线AB与y轴交于点D（0，yD），进一步求出yD，根据几何位置关系表示出三角形的面积，再根据基本不等式求出最值及最值成立的条件，则答案可求．
【解答】解：（1）由题意知，即p=2，
∴抛物线C的方程为：x2=4y；
（2）令，不妨设直线AB与y轴交于点D（0，yD），
∴即．
又∵且++=，
∴，．
从而x1+x2=﹣x3，
∴=，即．
，

=．
令，，，令y′=0，则t1=2，t2=6．
当t∈（0，2）时函数单调递减，当t∈（2，6）时函数单调递增，t∈（6，+∞）时函数单调递减且当t=0时y=，当t=6时y=，
∴．
．
【点评】本题考查了抛物线的标准方程，考查了利用基本不等式求出最值及最值成立的条件，属于中档题．

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