理力答案_第四章.docx

4-1 图示为一轧纸钳，其尺寸如图所示。工作时上、下钳口保持平行，设手握力为P，求作用于纸片上的力Q的大小。

解：
1）取整个轧纸钳为研究对象。
2）系统约束为理想约束。
3）主动力P和Q分别作用在B点和A点。
4）取A点和B点的无穷小真实位移为虚位移和。
5）建立虚位移和的关系。由几何关系得

6）主动力的虚功为

于是

4-2 图示机构的在C处铰接，在D点上作用水平力P，已知AC=BC=EC=FC=DE=DF=l，求保持机构平衡的力Q的值。

解：建立如图所示的坐标系，由几何关系得：
，
由虚位移原理得：

所以：

4-3 用滑轮机构将两物体A和B悬挂如图，并设物体B保持水平。如绳和滑轮的重量不计，求两物体平衡时，重量PA和PB的关系。

解：取物块A、B为研究对象。约束为理想约束。
由虚位移原理可得：

由如图所示的滑轮组可得虚位移关系为：

即：

所以：

4-4 反平行四边形机构中的杆和用铰链和互相连接，同时又用铰链和连在机架上。在杆的铰链处作用着水平力。在铰链沿垂直于杆的方向作用有力，机构在图示位置处于平衡。设，，，。求的大小。

解：根据题意，选三根杆组成的整体为研究对象，约束均为理想约束，主动力为。质系平衡，则由虚位移原理，有

又由运动学知识，

其中是沿CB杆方向的分量。
联立上述两式可得，

4-5 滑套D套在光滑直杆AB上，并带动CD杆在铅垂滑道上滑动，如图所示。已知当时，弹簧等于原长，且弹簧系数为5kN/m。若系统的自重不计，求在任意位置角平衡时，在AB杆上应加多大力偶矩M。

x

F
F
y

解：如图所示，以A为原点建立坐标系。则D点坐标：

对上式进行变分可得：
(1)

此时弹簧的弹力为：
(2)
以杆AB、滑套D和杆CD为研究对象，约束为理想约束。将弹簧去除，代之以作用在D和B上的弹簧力。弹簧力在上所做的虚功为零，在上做的虚功为，利用虚位移原理有：
(3)
将(1)式代入得：

由的任意性可得：

将(2)式代入，并由可得：

4-6 两等长杆AB与BC在B点用铰链接，又在杆的D和E两点连一弹簧，如图所示。弹簧系数为k，当距离AC等于a时，弹簧的拉力为零。如在C点作用一水平力F，杆系处于平衡。设AB=l，BD=b，杆重及摩擦略去不计，求距离AC之值。

解：解除弹簧DE的约束，代之以约束反力和。
因为当AC等于a时，弹簧的拉力为零，从而当AC等于时，弹簧弹力：
由约束知：
（1）
主动力的虚功为：
（2）
将（1）代入（2）得到：

得到距离AC为：

4-7 在图示机构中，AB与CD长均为a=300cm，在E处以铰链连接，BE＝DE＝a/3，AB与BF在B处以铰链连接，D处为一光滑套筒，C处为小滚轮，弹簧刚度系数为1.8kN/m,且当时，弹簧具有原长，求当在B处作用载荷P=1.2kN 时,系统的平衡位置。

解：将弹簧解除，代之以弹簧力F，弹簧力的大小为：
(1)
利用虚功原理解本题。以A为原点建立坐标系，如图所示，则：
(2)
其中，l是BF的长度。对(2)式变分可得：
(3)
主动力为：，则根据虚功原理可得：

由于的任意性，可得：

即：

将(1)带入可得：

所以：

4-8 在曲柄OA上作用力矩为M=6的力偶。OA=150mm，OO1=200mm, O1B=500mm, BC=780mm,略去摩擦及自重。当OA⊥OO1时（如图所示），为了使机构处于平衡，求作用在滑块C上的水平力P。
解：

如图，OA杆速度为, 其中
对BC杆，有 , 其中 , ,
由以上式子可得
则A点的虚位移drA与滑块C的虚位移drC的关系同速度之间的关系，即

由虚位移原理 ，代入drA与drC的关系
得 P = 125N.

4-9 两相同的均质杆，长度均为l，质量均匀为m，其上作用力偶如图。试求在平衡状态时，杆与水平线之间的夹角，。
B
A

解：假设上面杆的质心为A点，下面质心为B点。
假设不动，有一个小的转角，
那么 ，那么两根杆所做的功为
而力偶所做的功为：
而根据虚位移原理，

现假设不动，有一个小的转角，
那么 ，，两根杆所做的功为
而力偶所做的功为：
而根据虚位移原理，

4-10 三均质细杆以铰链相联，其A端和B端另以铰链联接在固定水平直线AB上，如图所示。已知各杆的重量与其长度成正比，AC=a,CD=DB=2a,AB=3a。设铰链为理想约束，求杆系平衡时和间的关系。

解：如图所示，重力，，的坐标分别为，，。
易知
，，
由几何关系有

变分得

解得

主动力的虚功为0，即

带入便得

4-11 均质杆AB长2l，一端靠在光滑的铅垂墙壁上，另一端放在固定光滑曲面DE上，如图所示。欲使细杆能静止在铅垂平面的任意位置。问曲面的DE应是怎样的曲线？
x

解：建立如图所示坐标系。杆受到一个主动力，由虚位移原理，平衡时应该满足，因为，故，即常数。
又当杆垂直时，则在任意瞬时均为。当杆在任意位置时，A点坐标为，代入且消去参数可得：，即曲线DE为中心在点，长短半轴各为 、的椭圆的一部分。

4-12 图示平面平衡系统，在列其整体的平衡方程时，不需计入弹簧内力；而用虚位移原理求力F1和F2之间的关系时，必需计入弹簧的虚功，二者矛盾吗？简要说明理由。

解：这二者并不矛盾。
在列其整体的平衡方程时，弹簧力是属于内力，不计入平衡方程。
虚位移原理求力F1和F2之间的关系时，弹簧力是主动力，必须计入。

4-13 长度均为l的轻棒四根由光滑铰链联成一菱形ABCD；AB、AD两边支于同一水平线的两个钉E，F上，相距为2a，BD间用一细绳连接，C点作用一铅直力P，如图所示。设A点的顶角为2，试用虚功原理求绳中张力T。

解：根据题意，以四根杆组成的整体为研究对象，约束为理想约束，主动力为。
以EF中点为坐标原点建立坐标系，则有

则有：

因为系统质系平衡，由虚位移原理有：

由此解得：

4-14 已知AD=DB=6m，CD=3m，在节点D的载荷为P，各杆自重不计。试用虚位原理求图示桁架中杆3的内力。

E

解：将杆3解除，并代之以相应的内力S。这样，结构ACD可以绕A点定轴转动，CB做平面运动，B、C、D点的虚位移如图所示。根据运动学中定轴转动的知识可知：

所以：
(1)
CB杆的速度瞬心为E点，，，所以：
(2)
利用虚位移原理可得：

将(1)、(2)代入，得：

由的任意性，可得：

4-15 平台钢架由一个形框架带中间铰构成。框架的上端刚性地插在混凝土墙内，下端则搁在圆柱滚动支座上。求当和两力作用时，插入端A处的铅直反作用力。
速度瞬心O
E
N

解：欲求端铅直方向力，解除端铅直方向约束，代之以约束力，则只能上下平动，和点的虚位移大小相同，方向可知沿铅直方向，B点虚位移方向沿水平方向，由此可以确定的速度瞬心即为的折角处点。可以求出作用点D的虚位移满足：

由虚功原理列方程可得：

解得：为插入端A铅直反作用力。

4-16 试用虚位原理求图标桁架1、2两杆的内力。

F
F
d
dE
dG
dH
S1
d
dG
S2
Q
解：如左图去掉1杆，代以作用力F，设F点虚位移为d（方向向下），则点E，G，H的虚位移分别为 ，
由虚位移原理有 可得；
如右图，分析机构左半部分。设E点虚位移为d（方向向下），则点G的虚位移为，由虚位移原理有 可得；

答：

4-17 图示三铰拱的自重不计，求在水平力P作用下支座A和B的约束反力。

解：解除B点Y方向上的约束，假设B点Y方向上的力为，有：

所以：

根据力平衡原理有：

然后解除C点的约束，假设A点X和Y方向的力为和。对C点，根据力矩平衡，可以得到：

所以：

再根据X方向上的力平衡，可以得到：

所以：

4-18 图示组合梁上作用有载荷P1=5kN，P2=4kN，P3=3kN，以及M=2kN·m的力偶。不计摩擦及梁的质量。试用虚位移原理求固定端A的约束反力偶之矩MA。

（a）
解：为求，首先解除A处约束，并建立如图（a）所示的力和虚位移图。由虚位移原理

于是
KN·m

x
y
4-19 均质杆AB的长为l，重为P，搁置在宽为a的槽内，如图所示。设A、D处光滑接触，试求平衡位置的角，并讨论其平衡的稳定性。

解：建立如图所示的坐标系，以杆为研究对象，约束是理想的，主动力只有重力，系统的势能为：

而，平衡时有：

代入可得：

且易得，是不稳定平衡。

答：时，是不稳定平衡；

4-20 地震仪的杠杆ACD与铰链B连接，其上固结一质量为m的重物，如图所示。当ABC处于水平位置时，弹簧具有初压力F0。若不计杠杆质量，求当BD处于铅垂位置且为稳定平衡时的弹簧系数k。

解：设任意状态时，AC和水平线的夹角为，可得系统总势能为：

在平衡位置势能取驻值，因此：

由题意，当时稳定平衡，因此

此时：

由于，所以：

4-21 如图所示，均质杆OA长3m，质量为m=2kg；O为铰链，A端连一弹簧，弹簧系数k=4N/m。若弹簧原长为l0=1.2m，求平衡时的角度，并讨论平衡的稳定性。

解：根据题意，以为0处为总势能零点，则系统重力势能为：

而系统弹性势能为：

则系统总势能为：

令，可求得：

解此式得：

以上即平衡时的角度。
下面讨论稳定性：

将分别代入上式，可得：

因此，时，是不稳定平衡；时，是不稳定平衡；时，是稳定平衡。