《质疑答问》：解三角形.doc

解三角形
江苏 黄安成(特级教师)
“学问学问”，“学”而欲善“问”.古语云：“学贵有疑，小遗则小进，大疑则大进”.提出一个问题比解决一个问题更重要.在学习《解三角形》的过程中，笔者就遇到学生提出的许多问题，现对这些问题，谈谈自己的见解，正是与同学们共同探讨的良机.
问题1 学习《解三角形》有何意义？只是为了应付高考吗？
答：这个问题提得十分深刻.如果仅仅理解为应付高考，那就大大降低了学习《解三角形》的价值了.我们知道，学习数学的根本目标是发展思维，提高分析问题与解决问题的能力.三角形具有稳定性，若两条边与其夹角确定，这个三角形就确定了，另外的边和角就可以求出来.很有意思，由已知求未知，显示了数学的无穷魅力与威力.虽然我们在生活中，遇到用《解三角形》解决实际问题的实例不是太多，只是在测量时要用一下.但要知道现在的学习是为了将来解决更高层次的问题打下坚实的基础.我国在航天技术方面具有很强的实力，卫星发射与宇宙飞船技术在世界上属于领先的地位.其中所用的当然是高层次的测量技术，《解三角形》是不可或缺的基础，“树高千尺也忘不了根！”
问题2 《解三角形》的两条定理我总记不熟，过不长时间记忆就模糊了，怎么办？
答：数学学习中有一句很有意义的话，叫做“不记而记”.不须费劲，更无须死记硬背，就能形成自然牢固的记忆，想忘记都难！关键是自己推导、抓住本质、深刻理解.书本上的，老师教的，都是“别人”的，只有通过自己辛勤又富有智慧的劳动而获得的，才是属于自己的.另外也要掌握一些记忆的技巧.
在直角三角形中，有，顺势一推，这个结论对任意三角形都适用，且对称和谐，多么美妙啊！怎会记不住呢？不过在任意三角形中，上式中的c就是三角形外接圆的直径2R，而直角三角形的外接圆的直径就是斜边，好玩极了！
在直角三角形中，有勾股定理c2=a2+b2，其实可以改写成c2=a2+b2-2abcosC ①
原来余弦定理是勾股定理推广，借助于特殊记忆一般，好点子.
c
b
a
图1
问题3 余弦定理的三种形式，我有时难以分辨，怎么办？
答：好办！一种办法是用自然语言来定型，即“三角形中，任何一边的平方
等于另外两条边的平方和减去这两条边与其夹角余弦的乘积”，另一种办法是利用
字母的轮换，如图1，既然有①式，那么就有a2=b2+c2-2bccosA、b2=c2+a2-2cacosB.
正弦定理与余弦定理的表达式分别体现了数学的对称与轮换美.
问题4 太好了！这样一来，我记住两条定理就不成问题了，可是两条定理
还有许多变形呢！
答：熟练掌握了两条定理的基本形式，变形有什么难！如a=2RsinA等，就是将边转化为角；等就是将角转化为边；“边角互换”是运用正弦定理的最常用策略.若已知三边，求角，则由余弦定理得，其余的由轮换可得，也是边角之间的转换.这样就都不会形成记忆的负担，实现“不记而记”.至于何时将“边化角”，何时将“角化边”，要由具体情况而定.现在举一个“边角互换”，即用正弦定理证明余弦定理的典型例子.
因为b2+c2-2bccosA=4R2sin2B+4R2sin2C-8R2sinBsinCcosA=4R2(sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA)
又sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA=(sin2B-sinBsinCcosA)+(sin2C-sinBsinCcosA)]
=sinB(sinB-sinCcosA)+sinC(sinC-sinBcosA)=sinB[sin(A+C)sinCcosA]+sinC[sin(A+B)-sinBcosA]
=sinB(sinAcosC+cosAsinC-sinCcosA)+sinC(sinAcosB+cosAsinB-sinBcosA)
=sinBsinAcosC+sinCsinAcosB=sinA(sinBcosC+sinCcosB)=sinAsin(B+C)=sin2A，
所以b2+c2-2bccosA=4R2sin2A=a2，故a2=b2+c2-2bccosA.
这里用到了许多以前我们学过的三角函数变换的知识，正是复习巩固有关知识的大好时机.
问题5 教材中习题1.1的问题10(阅读题)，最难以理解，也很难掌握，我们非常担心，怎么办？
答：完全没有必要去记一般结论，遇到具体问题能解决就很好了，为此举一个例子.
在△ABC中，若已知两边a、b与角A，求角B.
(1)a=2，b=6，A=30o；
(2)a=2，b=4，A=30o；
(3)a=3，b=，A=30o.
略解：由正弦定理，在(1)中，得sinB=＞1，这不可能，所以此时无解.
在(2)中，得sinB=，此时有一解，B=90o.
在(3)中，得sinB=，此时有两解，B=45o，或B=135o.
请注意，这里有a＜b，所以角B可为钝角，否则只能为锐角.其余的，由举一反三可知.
问题6 老师经常说要“灵活运用知识”，请您举个具体例子好吗？
B
A
C
D
P

图2

答：对此不必感到神秘，一方面所谓“灵活”，绝对离不开基础知识；另一方面，需要积累、总结这方面经验.请看下例.
如图2，P是正方形ABCD内的一点，若PA：PB：PC=1：2：3，求∠APB
的大小.
解析：很自然地，由题意可设PA=1，PB=2，PC=3，正方形的边长为x，欲
求的角为∠APB=，下面设法构建关于未知数的方程.
在△APB中，由余弦定理，迅速自然地得cos=.
再往下，可能感到有些茫然了，最“好”的办法是“放弃”，哈哈！这是笑话.
还须找到一个式子才行啊！正方形的条件没有用彻底，AB=BC=x，∠ABC=90o，都还没有用上呢！若设∠PBA=，则∠PBC=，在△ABP中，由正弦定理得sin=.
又在△PBC中，由余弦定理得cos()=，即sin=，
那么sin=，于是得sin=-cos，tan=-1，
而是三角形的内角，所以=，即∠APB=.
由此例，可总结那些宝贵经验呢？题目既然没有给出任何一条线段的长度，那么我们就掌握了设线段长的主动权，就可以由PA：PB：PC=1：2：3直接设PA=1，PB=2，PC=3，巧妙设线段的长在许多数学题的解答中可用到；解此题的关键是多设了一个字母，只有这样才能将与x联系起来，当得到关于的方程后，与x又都悄悄地退隐了，可我们不能忘记它们“铺路架桥”的功劳啊！这些经验概括为两个字：“灵活”，如此而已！

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