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一个三角形不等式猜想的证明及联想
安徽省太和县第二小学 任迪慧
邮编 236635
摘要：我首先给出一个三角形不等式猜想的证明，其次与其它三角形不等式相联系，进一步联想出若干新三角形不等式，其目的想培养学生创新能力！
关键词：三角形不等式; 猜想；证明; 联想；新三角形不等式; 创新能力！
为供读者阅读方便，特将有关符号规定为:a、b、c、R、r、p和S分别为△ABC的三条边、外接圆半径、內切圆半径、半周长和面积。、、分别为△ABC的三中线长。
众所周知，在△ABC中，有，，因此我猜想有下面的：
定理1. 在△ABC中，求证 ，等号当且仅当△ABC为正三角形时成立。

证明 在△ABC 中，有p2≤4R2＋4Rr＋3r2 ，于是得ab＋bc＋ac＝p2＋4Rr＋r2≤4(R＋r)2,
又ab＋bc＋ac≥3,整理得 abc≤(R＋r)3，又＋＋≥3,从而得. ,其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
定理1是一个极好的三角形不等式，它与其它三角形不等式相联系，可联想出许多新三角形不等式，详述如下:
定理2.在△ABC中，求证
等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
证明 在△ABC中，有[1] 。
由和定理1可证得定理2。其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
推论1.
一般地，在△ABC中，有
。n.请读者自证。
定理3. .在△ABC中，求证
等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
证明: 在△ABC中，有[2]
由和定理1可得定理3. 其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
推论2.
一般地，在△ABC中，有
n
. 定理4. .在△ABC中，求证
等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
证明 在△ABC中，有[3] ，由和定理1可得定理4. 其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.

推论3.
推论4
一般地，在△ABC中，有
n
. 定理5. 在△ABC中，求证
等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
证明 在△ABC中，有[4] ， ，由和定理1可得定理5. 其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
推论5 。
一般地，在△ABC中，有
n。
定理6. .在△ABC中，求证
等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.

证明 在△ABC中，有[5] ，由可得，，由上式和定理1可得定理6. 其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
推论6.
一般地，在△ABC中，有，
。n
定理7. .在△ABC中，求证
等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.

证明 在△ABC中，有[6] ，上式两边同乘得，上式整理得，在△ABC中，有
，由上两式可得，由上式和定理1可得定理7。其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
推论7.
一般地，在△ABC中，有，
n。
定理8. .在△ABC中，求证

等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.

证明 在△ABC中，有【7】，由和可得，由上式和定理1可得定理8。其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
推论8.
定理9. .在△ABC中，求证 等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
证明 在△ABC中，有，上式变为 ,
由和定理1可得定理9.其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
推论9.
一般地，在△ABC中，有，

n。
定理10. .在△ABC中，求证 等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.

证明 在△ABC中，有 ，由和定理1可得定理10.其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
推论10
一般地，在△ABC中，有，

n。
定理11. .在△ABC中，求证 等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
证明 在△ABC中，有[8] ，由和定理1可得定理11，其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
推论
一般地，在△ABC中，有，

定理12. .在△ABC中，求证 等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.

证明 在△ABC中，有[9] ，由和定理1可得定理12. 其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.

推论12.
一般地，在△ABC中，有
。
定理13. .在△ABC中，求证
等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.

证明 由中线公式，由余弦定理，由上两式整理得，同理得，，由、和整理得
，
由和定理1可得定理13。其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
推论13
一般地，在△ABC中，有
，

定理14. .在△ABC中，求证 等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.

证明 在△ABC中，有[10] ，由和定理1可得定理14。其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
推论14.
一般地，在△ABC中，有，
。
定理15. .在△ABC中，求证 等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
证明 在△ABC中，有[11] ，。
由和定理1可得定理15。其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
推论15.
一般地，在△ABC中，有
，

定理16. .在△ABC中，求证 等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
证明 在△ABC中，有[12] ，由和定理1可得定理16。其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
推论16.
一般地，在△ABC中，有

定理17. .在△ABC中，求证 等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
证明 在△ABC中，有[13] ，由和定理1可得定理17。其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
推论17.
一般地，在△ABC中，有，
。
定理18. .在△ABC中，求证 等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
证明 在△ABC中，有[14] ，由和定理1可得定理17.
其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
推论18.
一般地，在△ABC中，有
，

定理19. .在△ABC中，求证

等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
证明 由和整理得

由可得，由上两式可得
，
由上式可推得，如此反复推演可得。由和定理1可得定理19. 其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
推论19.
定理20. .在△ABC中，求证

等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
证明: 由可得，由和定理1可得定理20。其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
推论20. 。

定理21. .在△ABC中，求证
等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
证明 由知，由上式可推得，由和定理1可得推论21。
推论21.
一般地，在△ABC中，有

上述诸定理及推论与其它三角形不等式相联系，又可得许多新三角形不等式，今举几例，其它读者仿此导出。
例1. 在△ABC中，求证

证明 在△ABC中，有，由上式和定理2可得例1。
例2. 在△ABC中，求证
证明 在△ABC中，有，由上式和定理2可得例2。
例3. 在△ABC中，求证
证明. 在△ABC中，有，由上式可推论1可得例3.
例4 在△ABC中，求证

证明 在△ABC中，有，由上式和推论1可得例4。
例5. 在△ABC中，求证
证明 在△ABC中，有，由上式和推论2可得例5。
例6. 在△ABC中，求证

证明 在△ABC中，有，由上式和推论2可得例6。
继续联想，还可得许多新三角形不等式，下面提供数例，其证明留给读者。
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
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18.
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35.
36.
37.
38.
限于篇幅，其它诸例不再祥述。
结束语:
对一个三角不等式进行猜想、联想，往往可得到许多新结论，我认为这样的思维方式可培养学生创新能力！
参考文献
[1] 任迪慧 全国第五届不等式学术年会论文集[M] p253
[2] 任迪慧 关于常见三角形不等式结论的更新[j] <<数学教学研究>>2002 2:39
[3] 任迪慧 关于常见三角形不等式结论的更新[j] <<数学教学研究>>2002 2:41
[4] 任迪慧 全国第八届初等数学研究学述交流会论文集[M] P91
[5] 任迪慧 全国第八届初等数学研究学述交流会论文集[M] P91
[6] 任迪慧 全国第五届不等式学术年会论文集[M] p255
[7] 任迪慧 全国第五届不等式学术年会论文集[M] p258
[8] 任迪慧 全国第八届初等数学研究学述交流会论文集[M] P94
[9] 任迪慧 常见三角形不等式结论的更新[j]<< 中国初等数学研究>>No.4 2012 p46
[10] 任迪慧 全国第五届不等式学术年会论文集[M] p260
[11] 任迪慧 全国第八届初等数学研究学述交流会论文集[M] P93
[12] 任迪慧 全国第八届初等数学研究学述交流会论文集[M] P93
[13] 任迪慧 全国第八届初等数学研究学述交流会论文集[M] P68
[14] 任迪慧 全国第八届初等数学研究学述交流会论文集[M] P95
作者简介：
任迪慧，男，生于1965年5月4日 ，毕业于安徽省教育学院数学系，本科学历，小学高级教师，从教于安徽省太和县第二小学。县教坛新星，省级骨干教师，阜阳市首批学科带头人。曾在《中学数学教学》、《安徽教育》、《数学教学研究》、《素质教育》、《教育学文摘》《中国初等数学研究>>等刊物发表论文几十篇，论文<<由一个三角形不等式联想到的>>获全国基础教育改革论文一等奖。论文<<几个三角形不等结论的更新>>获全国第八届初等数学研究学术交流会贰等奖。曾聘为中国科学院学术委员会特约研究员，《素质教育》杂志社特邀编委，第五届全国不等式研究协会理事。主攻方向 ，不等式及中小学数学教育教学。邮编 236635 联系电话 [phone]

推论2可