课题学习-最短路径问题.docx

《课题学习　最短路径问题》教学设计
一、内容和内容解析
1．内容
利用轴对称研究某些最短路径问题.
2．内容解析
最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为基础知识，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究.
本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题．
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题，培养学生解决实际问题的能力.
二、目标和目标解析
1.教学目标
能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，进一步获得数学活动的经验，增强应用意识．
2. 教学目标解析
学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象为数学问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想．
三、教学问题诊断分析
最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此之前很少接触，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的极值问题，更会感到陌生，无从下手.
对于直线异侧的两点，怎样在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，学生很容易想到连接这两点，所连线段与直线的交点就是所求的点.但对于直线同侧的两点，如何在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，一些学生会感到茫然，找不到解决问题的思路.
在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求作的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，学生想不到，不会用.
教学时，教师可从“直线异侧的两点”过渡到“直线同侧的两点”，为学生搭建“脚手架”.在证明“最短”时，教师可告诉学生，证明“最大”“最小”这类问题，常常要另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明.由于另取的点具有任意性，所以结论对于直线上的每一点（C点除外）都成立
本节课的教学难点是：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题．
四、教学过程设计
1．创设问题情境
问题1  如图，从A地到B地有三条路可供选择，你会选择哪条路距离最短？说说你的理由.

师生活动：学生回答问题，说出理由：两点之间，线段最短.
【设计意图】让学生回顾“两点之间，线段最短”，为引入新课作准备．
问题2：如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两村供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

师生活动：学生回答，连接AB，线段AB与l的交点即为泵站修建的位置．
【设计意图】让学生进一步感受“两点之间，线段最短”，为把“同侧的两点”转化为“异侧的两点”做铺垫．
2．将实际问题抽象为数学问题
问题3 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．
你能将这个问题抽象为数学问题吗？

师生活动：学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识:（1）将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线；（2）在直线l上找到一点C，使AC与BC的和最小？
【设计意图】学生通过动手操作，在具体感知轴对称图形特征的基础上，抽象出轴对称图形的概念．
3．解决数学问题
问题4  如图，点A，B 在直线l 的同侧，在直线l上找到一点C，使AC 与BC的和最小？

师生活动：学生独立思考，尝试画图，相互交流.
如果学生有困难，教师可作如下提示：
（1）如果点B在点A的异侧，如何在直线l上找到一点C，使AC 与BC的和最小
（2）现在点B与点A在同侧，能否将点B移到l 的另一侧点处，且满足直线l上的任意一点C，都能保持?
（3）你能根据轴对称的知识，找到（2）中符合条件的点吗？
师生共同完成作图，如下图.

作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．则点C 即为所求．
【设计意图】教师一步一步引导学生，如何将同侧的两点转化为异侧的两点，为问题的解决提供思路，渗透转化思想.
4．证明AC +BC “最短”
问题4  你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
师生活动：学生独立思考，相互交流，师生共同完成证明过程.

证明：如图，在直线l 上任取一点（与点C 不重合），连接AC′，BC′，．
由轴对称的性质知，
，．
∴，         
  ．
在△中，，
∴　．
即AC +BC 最短．
追问1：证明AC +BC最短时，为什么要在直线l上任取一点（与点C但不重合）？
师生活动：学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识：若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC +BC，就说明AC +BC最小．
【设计意图】让学生体会作法的正确性，提高逻辑思维能力．
追问2：回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？
师生活动：学生回答，相互补充.
【设计意图】学生在反思中，体会轴对称的桥梁作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验.
5．巩固练习
如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．

师生活动:学生分析解题思路，独立完成画图，教师适时点拨.
【设计意图】让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法．
6．归纳小结
教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题.
（1）本节课研究问题的基本过程是什么？
（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？
师生活动：教师引导，学生小结.
【设计意图】：引导学生把握研究问题的基本策略和方法，体会轴对称在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要价值.
7．布置作业：
教科书复习题13第15题．
五、目标检测设计
某实验中学八(1)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？

【设计意图】考查学生解决“最短路径问题”的能力.
《课题学习　最短路径问题》同步试题
湖北省通山县教育局教研室　袁观六
一、精心选一选
1．在平面直角坐标系中有两点，要在轴上找一点，使它到的距离之和最小，现有如下四种方案，其中正确的是（　）

A．              B．              C．              D．
考查目的：本题主要考查利用轴对称解决简单的路径问题，体现了转化的思想．
答案：D．
解析：利用轴对称的性质，把y轴同侧的两点转化为y轴异侧的两点，根据“两点之间，线段最短”，找到点C的位置，故选D．
2．如图，在等边△ABC中，边BC的高AD=4，点P是高AD上的一个动点，E是边AC的中点，在点P运动的过程中，存在PE+PC的最小值，则这个最小值是（　）
A．4             B．5              C．6         D．8

考查目的：本题主要考查等边三角形的性质及利用轴对称解决最短的线段和问题．
答案：A．
解析：根据等边三角形的性质可知点B是点C关于AD的对称点，PE+PC的最小值就是BE的长，即等边△ABC的高，故选A．
3．如图，正方形ABCD的边长为8，△BCE是等边三角形，点E在正方形内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（　）
A．4          B．6          C．8           D．10

考查目的：本题主要考查利用轴对称解决简单的路径问题，体现了转化的思想．
答案：C．
解析：由题意知，点B是点D关于AC的对称点，因此，PD+PE的和可以转化为PB+PE的和．因为PBPE的和的最小值BE，即为8，故选C．
二、细心填一填
4．两点的所有连线中，      最短．
考查目的：本题主要考查“两点之间，线段最短”的基本事实．
答案：线段．
解析：根据基本事实“两点之间，线段最短”即可得出答案．
5．连接直线外一点与直线上各点所有连线中，      最短．
考查目的：本题主要考查连接直线外一点与直线上各点所有连线中，垂线段最短的基础知识．
答案：垂线段．
解析：连接直线外一点与直线上各点所有连线中，垂线段最短．
6．如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点F，使△AEF周长最小，此时∠AEF+∠AFE的度数为       ．

考查目的：本题主要考查利用轴对称解决较复杂的路径问题．分别作点A关于CD、BC的对称点，画出基本图形是解题的关键．
答案：120°．
解析：如下图，分别作点A关于CD、BC的对称点A1，A2，连接A1A2，分别交CD、BC于点F，E，即此时△AEF周长最小．由对称可知∠A1=∠DAF，∠A2=∠BAE，因为∠A1+∠A2=180°-∠BAD=60°，所以∠DAF+∠DAF=∠A1+∠A2=60°，所以∠EAF =60°，所以∠AEF+∠AFE=180°-∠EAF=120°．

三、专心解一解
7．如图， A、B是河流同侧的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出来．

考查目的：本题主要考查利用轴对称解决简单的路径问题．把同侧两点转化为异侧两点是解题的关键．
答案：如下图，作点B关于的对称点，连接交于点，点即为所求．

解析：作点B关于的对称点，连接交于点，点即为所求．
8．如图，公园内有两条小河，两河形成的半岛上有一处古迹P，现计划在两条小河上各修建一座小桥，并在半岛上修三条小路，连通两座小桥与古迹，这两座小桥应建在何处，才能使所修建的道路最短？请在图中画出最短路径．

考查目的：本题主要考查利用轴对称解决较复杂的路径问题．分别作点P关于、的对称点是解题的关键．
答案：如下图，分别作点P关于的对称点，关于的对称点，连接，与和分别交于点E，F，则路线PEFP即为所求．

解析：分别作点P关于的对称点，关于的对称点，连接，与和分别交于点E，F，点E，F即为修桥的位置．