三质点弹簧系统.pdf

第2 6 卷第 9 期2 0 0 7年 9月o.92 0 0 7 C8理，s1物P学GE E大LL co三质点弹簧系统的运动分析 何勤，谢秉川(江苏大学 物理系，江苏 镇江2 1 2 U 0 3)摘要:分析了一个由三质点和弹黄构成的系统的运动问题，给出了三质点质盘满足不同关系时各质点的运动徽分方程，求出了运动徽分方程的解析解，并由 此讨论了各质点的运动规律.关链词:运动微分方程;解析解;运动规律 中图分类号:O 3 1 3.2:0 3 2 5文献标识码:A文童绷号:1 0 0 0.0 7 1 2(2 0 0 7)0 9-0 0 1 3-0 4 力学系统为质点系时，原则上可以用隔离体法对质点系中每一质点进行受力分析，给出各质点的运动微分方程后求解.质点数较多，二阶微分方程数较多，求解困难，我们通常更关心的是质点系整体运动的特征;质点数较少，微分方程数较少，可以求出微分方程的解析解，给出每一质点的具体运动情况.本文分析了一个由三质点和弹簧构成的系统的运动问题，给出了三质点质量满足不同关系时各质点的运动微分方程，求出了运动微分方程的解析解，并由此讨论了各质点的运动规律.如图1 所示 i 7，质量为 乞“乡 念 乞 拍“m,的物体A经一个轻质弹簧与下方的质量为 m:的物体B相连，弹簧的劲度系数为k,A,B都处于静止状态一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩.开始时各段绳子都处于伸直状态,A上方的一段绳子沿竖直方向，现在挂钩上挂一个质量为 Ma 的物体展状态时，弹簧的上端点为坐标原点 O 1，建立坐标轴x,，取弹黄的下端点为坐标原点 0 2，建立坐标轴r 2.不论物体 C的质量m;的 大小如何，在物体B离开地面前只需考虑物体A X 的运动.当物体A的位 置 坐 标 为x:且一 娜:9/k-0,物体B将由静止开始向上运动收稿日 期:2 0 0 6 一 0 7 一 i s作者祠介:何拗(1 9 5 5-)男.江苏扬中人 江苏大学物理系副教授万方数据大学物理第 2 6卷将 z,=A l:代人上式，并令。0 得设 物 体A 在t o 时 刻向 上 运动的 速度 为v .，对(m，一。，)一 告 k(A 1 2 一 l,)0刀 2 1 9、l 2=因为k A l 1=m 1 8,k 0 1 2=m 2 9，所以(令(m2 一二1)S 0，即，:粤(m，十 艺m，一-i)8-m Z)时，物体B式(4)两边求导后代人 t o 或将 1 1=m 2 9 代 人 式(2)可 得 况才 能 离 开 地 面;m 3 2离开地面m1+m 2)时，物体B不能认.=(2 m3 一m;一m2)(m1+m2)k(m1+m 3)2 ra 3 lm 2 8/k),s 2(X 20)处，对三物体进行受力分析，由牛顿第二定律可得物体 C,A,B的动力学方程分别为(5)(6)由 上 面 分 析 可 知 当?，、合(。:十 m 2)时。物 体B不能离开地面，因此式(1)在任意时刻都成立，令 d r 1脚 3 a t e=m3%一F T泞 二2 1，一-,)g，则式(1)变为=F T 一m,g一k(x,一x 2)k$冲.。+，”呜二O=k(x,一x 2)一m2 9 (7)其解可写成E=A.(-/一 k 一 、丫 跳,十m3+小因 此 有式(5)与式(6)相加得x,=二3-m,)g=A c o s(W p l+0 0)+(m,一 3)豁一(m 3 一;)g 一*(x,-x 2)(8)令(m 3 一二,)9式中。=km,+m3，A、币。由初始条件确定.(3)因为式(8)乘以m 2 减式(7)乘以(m,+m 3)并整理得子(x:一 x,)一 兀 平-一十(m,+m 2+m 3)k(x,一 x 2)2 m 3 9m 2(m,+m 3)t=。时，.的初始位置为x,a-M I 9，初速度为m,+m3 (9)式(5)至式(7)三式相加得Z 1 0=0，所以，凡=a,A=切 3 9.于是T 1=m 3 9k(。:+!)+1(km 3 一 ml)g (4),d x,d X,l m l t m 3)不z 十 m 2 石 户=(m，一 m l一m2)9 (1 0)上式表示当 m 3 粤(m l+m 2)时.物 体 A,B 的 运 动 规 律一.口 一 2、一 丘.，J 礴”“行 .、“”，J 矛 几冲 当，3 弄(二，+，2)时，物 体B 将 由 静 止 开 始，一 r 口 一 2、一 J”了 一 j 脚 户一，囚盯/，离开地面向上运动.在物体 B离开地面前，物体 A(物体C)的运动微分方程仍为式(1)，运动规律仍服从式(4)，设物体 B运动的起始时刻即物体 A运动至 二;一 竿的 时 刻 为，。，由 式 4，可 解 得(M I+m 3)x i+m 2 x 2一 合(m，一 一 m 2)R(t 一 t o 产+(M I+m 3)w,o(t 一 t o)+x l,o (1 1)式(9)的解为x:-x 2 一 A cosw;(，一:。)+、。卜 应 2 m 2 m 39+k(m im 2+m 3)t o=1-ar cc os曰0m 3一 m【一 m 2爪 3式中。0=k(m,+m2+二，)m,+机1”认 2 9X 2 1.=飞J 二 2(m,+二 3)，代人式(1 2)并整理得 (1 2)t=t o 时，x o-ar cc osm3一r n,一m2 刀,3万方数据第 9期何勤，等:三质点弹赞系统的运动分析 A c o s 气=对式(1 2)求导 得主;二 2(m,+m 2 一 m 3)$k(ml+。2+m3)(1 3)一 x2气 ，将t 二 t o 沂，。一 S Z io-一 A w 云 s i n w 6(t 一 t o)+v,o 代 入 得体A(物体C)和物体B 在 t 大于t o 后的运动规律.4 结论 在三质点和弹簧系统中，当物体 A,B的质量A sin 0,u=一 杂将式(1 3)和式(1 4)平方后相加得 mI,m:一定而物体C 质量m 3 取不同值时，三物体(1 4)将 遵 循 不 同 的 运 动 规 律，1)当，i-冬(m:*，)时，物 体B 不 能 离 开 价一 ，2、”L2 尸 一 J 行 口，/二2(mi+mZ 一，)9k(m,+m2+m 3)+/v,2 w p/叫m 2(M I+m 2)(2 m 3 一 m，一 二 2)9k 2(m i+m 2+m 3).所 以 m,K 1(.,+m,一 m 3 (m,+m,)(2 m;一 m:一 m 2)A=一l十 k勺(m,+m 2+m 3 奸m2(-t+-2+m 3)由(1 3),(1 4)两式得ta n 0,o 一 汾k(二 t+2 n 2+m3)m2 8(mi+m2 一m3)+m 2)m3(m,+m 2)，上式中分子 为 负，分 母 为 正，t a n 气(m t+m 2)，上式中分子为负，分母也为负，t a n 气 0,气为 第 三 象 限 角;当m 3=(m i+m 2),武。=一 a/2.式(1 2)乘以m 2 后与式(1 1)相加并整理得地面，物体A X将始终按余弦规律即式(4)运动.2)当 合(M I+m 2)m 3 粤(乙二 1+二 2)时，物3)当，3-(M I+M 2)时，在物体B离开地面前后描述物体运动规律的方程仍分别为式(4)和式(1 5),式(1 6).m 3 (m l+m 2)时，物体A,B的运动可以看成沿x轴正向的匀加速运动和余弦规律运动的合成;m 3=(m l+m 2)时，物体A,B的运动可以看成沿x轴正向的匀速运动和余弦规律运动的合成.因此，当M 3-(M，十m 2)时，物体A,B 一直向上运动，直到物体A被滑轮卡住为止，如图4 所示.该图所取数据为 二，=1 掩,m 2=1.2 k g,m3=2.4吨,k=2 0 N/m,A=9.S m/s.万方数据大学物理第 2 6卷参考文献:1234J.乃Zj 户J月盛1.夺毛村r,-,图 找胡俊明.高考对弹性势能的要求I f).物理通报，2 0 0 6(1):4 9.漆安值.杜蝉英 力学I Ml.北京:高等教育出版社，1 9 9 7:2 6 0-2 6 2.周衍柏 理论力学 MI.2 版.北京:高等教育出版社.1 9 8 5:9 6-9 7.u.;.52图 4A n a l y s i s o n m o v e m e n t o f t h e s p r i n g s y s t e m w i t h t h r e e p a r t i c l e s H E Qi n,X I E B i n g-c h u a n(D e p a rt m e n t o f P h y s ic s,J ia n g s u U n iv e r s i t y,Z h e n j i a n g,J i a n g s u 2 1 2 0 0 3,C h in a)A b s t r a c t:T h e s p r i n g s y s t e m w i t h t h r e e m a s s p o i n t s i s s t u d i e d.T h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s o f t h r e e m a s sp o i n t s a r e d e r i v e d f a r d i f f e r e n t m a s s r e l a t i o n s b e t w e e n t h e m,a n d t h e i r a n a l y t i c s o l u t io n s a r e o b t a i n e d,b y w h ic ht h e m o v e m e n t r u l e o f t h r e e m a s s p o i n t s a r e d i s c u s s e d.K e y w o r d s:m o t i o n d i f f e r e n t i a l e q u a t io n;a n a l y t i c s o l u t i o n s;m o v e m e n t r u l e(上接 1 2页)碰撞后系统的动能最小而两个物体分别独立运动的情况是不存在的，有关的推论是错误的.显然，使碰撞后两个物体分开的力必然是两个碰撞的物体之间的弹力，碰撞后两个物体要分开，则两物体在碰撞过程中产生的形变能就必然要(至少是部分地)转变为碰撞后物体的动能，因此，碰撞后系统的动能就不可能最小 文【1 的作者产生误解的原因可能是没有注意到碰撞后小球与细杆组成的系统的质心的速度与碰撞后细杆中心点的速度的不同参考文献:I l l 任才贵.小球与均质自由杆的碰搜I J l.大学物理，2 0 0 6,2 5(5):1 6-2 5O n c e m o r e a b o u t t h e c o l l i s i o n o f p a r t i c l e a n d a h o m o g e n e o u s f r e e b a r Y U Z h i-mi n gD e p a rt m e n t o f P h y s i c s,L i a n y u n g a n g T e a c h e r s C o l l e g e,L i a n y u n g a n g,J i a n g s u 2 2 2 0 0 6,C h i n a)A b s t r a c t:T h e p h y s i c a l r u l e o f t h e c o l l i s i o n o f a p a r t i c l e a n d a f r e e b a r a t a n y p o i n t i s d i s c u s s e d,a n d t h et w o b o d i e s n o t n e c e s s a r i l l y m o v e t o g e t h e r a f t e r c o m p l e t e l y i n e l a s t i c c o l l i s i o n is p o i n t e d o u t t o b e w ron gK e y w o r d s:c o mp l e t e l y e la s t i c c o l l i s i o n;c o mp le t e l y i n e l a s t i c c o l l i s i o n;m i n i mu m v a l u e o f k i n e t ic e n e r g y万方数据