正交各向异性夹层板基本抗弯方程.doc

正交各向异性夹层板基本抗弯方程.txt23让我们挥起沉重的铁锤吧！每一下都砸在最稚嫩的部位，当青春逝去，那些部位将生出厚晒太阳的茧，最终成为坚实的石，支撑起我们不再年轻但一定美丽的生命。第31卷 第2期
1998年4月
哈 尔 滨 建 筑 大 学 学 报
Journal of Harbin University of C.E. &Architecture
Vol.31 No.2
Apr.1998
正交各向异性夹层板基本抗弯方程
刘 畅 钟善桐
(哈尔滨建筑大学) 苗若愚(长春市市政府)
摘 要 正交各向异性夹层板具有较好的强度、刚度和稳定性,已在一些重要承力
结构应用本文建立的正交各向异性夹层板的基本方程,充分考虑了板层和芯层的正交各
向异性,具有较强的应用性、普遍性。
关键词 正交各向异性;夹层板;弯曲理论
分类号 TU375.2
0 引言
至今在工程中常用的夹层板线性理论,都是在夹层结构问世不久的四五十年代建
立起来的[1]。常见的理论大致可以概括为三种类型[2],即Reissner型理论、Hoff型理论
和pycakoB-杜庆华型理论。其中Reissner型理论只计及夹心的横向剪切作用,最为简
单实用,是工程分析与设计中最常见的理论;Hoff型理论考虑了夹心的横向剪切作用
和表层的抗弯能力,在解决刚硬面板的夹层板中,比Reissner型理论更为合理,但这两
种理论皆未考虑夹芯的弹性支撑作用,因而在分析夹层时误差较大。pycakoB-杜庆华
型理论考虑了夹层抗剪切与弹性支撑作用及面层的抗弯能力,应该说还是比较完善的,
但是未涉及正交各向异性夹层板的弯曲问题,考虑到在许多实际的夹层板中,其夹心有
不少是各向异性的连续介质和非连续介质,例如蜂窝、波纹等;表层也可由各向异性材料
组成,例如钢筋混凝土板等,对于这种结构用各向同性理论来描述,就不符合客观实际了,建
立正交各向异性夹层板理论,解决工程实际当中的复合板材问题是很有必要的。
1 基本假定
两层平面刚度较大、厚度较小的正交各向异性表层和一层材料较硬、厚度较大的正
交各向异性夹心所组成的三层板见图1。
本文理论的基本假定与ΠpycakoB-杜庆华型理论相同[3,4],即:
(1)平截面假定;(2)表层为单层薄板;(3)夹心中有σcx=σcy=τcxy=0;(4)忽略反对
称变形与对称变形之间的耦合作用,反对称变形形式见图2。本文只建立反对称变
收稿日期:1997-10-08
刘 畅 女 博士生/哈尔滨建筑大学建筑工程学院(150008)
吉林省教委基金项目形的基本方程。
图1 三层板 图2 反对称变形形式
2 反对称变形的方程
2.1 位移
令φx,φy代表上、下表层中面上对应点的连线在变形后的转角,分别在xz和yz平
面中,变形后的直线段一般不再垂直于中面。
2.1.1 表层
根据第一个假设,上下表层中各点的位移u±,v±,w±可用表层中面的挠度w和平
行于x、y轴的位移 12(h+t)φx, 12(h+t)φy来确定,即:
u±= 12(h+t)φx-(z h+t2) w x
v±= 12(h+t)φy-(z h+t2) w y
w±=w
(1)
2.1.2 夹心
根据式(1),在表层与夹心的连接面(z=±h2)上,各点的位移为:
12(h+t)φx±t2 w x; 12(h+t)φy±t2 w x;w
又z=±h2时wc=w;z=0时,wc=w0,这里w0是夹心中面的挠度,则wc=w-
(1-4z2h2)w′,其中w′=w-w0。
于是,夹心中的位移可写作:
uc=-z(h+thφx-th w x)
vc=-z(h+thφy-th w y)
wc=w-(1-4z2ι2)w′
(2)
21第2期刘 畅等:正交各向异性夹层板基本抗弯方程2.2 应力
2.2.1 表层
σ±x=±M′x(h+t)t±6t3(±z-h+t2)M″x
σ±y=±M′y(h+t)t±6t3(±z-h+t2)M″y
τ±xy=±M′xy(h+t)t±6t3(±z-h+t2)M″xy
(3)
表层应力分量σ±xσ±y,τ±xy是坐标z的线性函数,其中M′x,M′y,M′xy表示沿表层厚
度均匀分布的弯矩(整体弯矩);M″x,M″y,M″xy表示沿表层厚度不均匀分布的弯矩(局
部弯矩)[5]。
2.2.2 夹心
因为σcx=σcy=τcxy=0,则剪应力τcxy,τcyz与坐标z无关,即:
τxy=Qcxh,τyz=Qcyh,σcz=σz2zh(4)
其中Qcx,Qcy为夹心中横向剪力,σz=σ+z-σ-z2。
以下推导表层中的剪力Q±x,Q±y,表层的平衡方程:
σ±xy
x+ τ±xy y+ τ±xy z=0
τ±xy
x+ σ±y y+ τ±yz z=0
将此方程两边乘z±h+t2,然后对z积分,并注意到在z=±h2处,τ±xz=τcxz,τ±yz,τcyz;
在z=±(h2+t)处,τ±xz=τ±yz=0,并将式(3)代入后,算出积分得:
Q±x=t2hQcx+12( M″x x+ M″xy y)
Q±y=t2hQcy+12( M″y x+ M″y y)(5)
2.3 应力-应变关系
2.3.1 表层
M′x=-D1( φx x+γf2 φy y)
M′y=-D2( φy y+γf1 φx x)
M′xy=-Dk( φx y+ φy x)
(6)
22哈 尔 滨 建 筑 大 学 学 报第31卷M″x=-2Df1( 2w x2+γf2 2w y2)
M″y=-2Df2( 2w y2+γf1 2w x2)
M″xy=-4Dfk 2w x y
(7)
其中: D1=Ef1(h+t)2t2(1-γf1γf2),D2=Ef2(h+t)2t2(1-γf1γf2),Dk=G(h+t)22t,
Df1=Ef1t312(1-γf1γf2),Df2=Ef2t312(1-γf1γf2),Dfk=Gt312。
2.3.2 夹心
在夹心中有:
γcxz= uc z+ wc x=h+th( w x-φx)-(1-4z2h2) w′ x
γcyz= vc z+ wc y=h+th( w y-φy)-(1-4z2h2) w′ y
εcz= wC z=8zh2w′
(8)
又 Qcx=∫
h
2
-h2γcxzGcdz
Qcy=∫
h
2
-h2γcyzGcdz
σz=εczh2
则

Qcx=Gc1[(h+t)( w x-φx)-2h3 w′ x]
Qcy=Gc2[(h+t)( w y-φy)-2h3 w′ y]
σz=4Echw′
(9)
2.3.3 夹层板总剪力和总力矩
总剪力:
Qx=Qcx+Q+x+Q-x
Qy=Qcy+Q+y+Q-y(10)
将式(5)代入式(10),则:
Qx=h+thQcx+ M″x x+ M″xy y,Qy=h+thQcy+ M″y y+ M″xy x
将式(7)和式(9)代入上式,得:
23第2期刘 畅等:正交各向异性夹层板基本抗弯方程Qx=C1[ w x-φx-2h3(h+t) w′ x]-2Df1 3w x3-(2Df1γf2+4Dfk) 3w x y2
Qy=C2[ w y-φy-2h3(h+t) w′ y]-2Df2 3w y3-(2Df2γf1+4Dfk) 3w x2 y(11)
其中
C1=Gc1(h+t)2h,C2=Gc2(h+t)2h
总力矩
Mx=M′x+M″x;My=M′y+M″y;Mxy=M′xy+M″xy(12)
将式(6)和式(7)代入式(12),得:
Mx=-D1( φx x+γf2 φy y)-2Df1( 2w x2+γf2 2w y2)
My=-D2( φy y+γf1 φx x)-2Df2( 2w y2+γf1 2w x2)
Mxy=-Dk( φx y+ φy x)-4Dfk 2w x y
(13)
2.4 平衡微分方程
对应反对称变形问题中的四个广义位移φx,φy,w,w′,将有四个平衡方程:
Mx
x+ Mxy y-Qx=0
Mxy
x+ My y-Qy=0
Qx
x+ Qy y+Nx 2w x2+2Nxy 2w x y+Ny 2w y2+q=0
Qcx
x+ Qcy y+2σz=0
(14)
将式(9),式(11),式(13)代入式(14),则可得以广义位移表示的平衡方程组:
D1 2φx x2+Dk 2φx y2+(D1γf2+Dk) 2φy x y+C1[ w x-φx-2h3(h+t) w′ x]=0
(D2γf1+Dk) 2φx x y+Dk 2φy x2+Dk 2φy y2+C2[ w y-φy-2h3(ht) w′ y]=0
-C1 φx x-C2 φy y+C1 2w x2+C2 2w y2-2Df1 4w x4-2Df2 4w y4
-2h3(h+t)(C1 2w′ x2+C2 2w′ y2)-(2Df1γf2+2Df2γf1+8Dfk) 4w x2 y2
+Nx 2w x2+2Nxy 2W x y+Ny 2w y2+q=0
(15)
24哈 尔 滨 建 筑 大 学 学 报第31卷(h+t)(Gc1 2w x2+Gc2 2w y2-Gc1 φx x-Gc2 φy y)
-23h(Gc1 2w′ x2+Gc2 2w′ y2)+8Ecw′h=0
3 小结
本文充分考虑了夹层板的表层和夹心材料的正交各向异性,在工程应用中很有普
遍性,而且对于一般工程实际问题,利用上述基本方程可得到一定精度的解。不足的是
求解析解相当困难,可利用差分法求数值解。
参 考 文 献
1 赵渠森.复合材料.北京:国防工业出版社,1979
2 中科院力学所.夹层板壳的弯曲稳定和振动.北京:科学出版社,1977
3 蔡四维.复合材料结构力学.北京:人民交通出版社,1987
4 程华等.复合材料夹层板弯曲修正的Reissner理论.复合材料学报,1990(4):17~21
5 徐芝纶.弹性力学.北京:高等教育出版社,1988
The Basic Bending Equations of Orthotropic
Sandwich Plate
Liu Chang Zhong Shantong Miao Ruoyu
Abstract The orthotropic sandwich plate has larger strength,rigidity and stabil-
ity.It has been adopted in some loading structures.In this paper the basic equations of
this plate have been established considered the orthotropic characteristics of various
layers.These equations have more suitability and generality.
Key words orthotropic;sandwich plate;basic bending theory
25第2期刘 畅等:正交各向异性夹层板基本抗弯方程