第二讲 初等变换及其应用(一).doc

第二讲 初等变换及其应用（一）
一、初等变换及记号
二、行列式性质及计算（化三角形方法）
三、矩阵化简的三种形式（行阶梯形、行最简形、等价标准形）
四、矩阵逆、秩、秩子式的计算
五、矩阵秩的性质及矩阵等式证明的满秩方法

初等变换是线性代数中解计算题型的基本方法. 这一讲和下一讲专门讲初等变换方法解题.
一、 初等变换及记号
初等变换作用在行列式上和矩阵上分行初等变换和列初等变换，变换的方法和记号如下：
①换行：第行与第行交换，记作，
换列：第列与第列交换，记作；
②倍行：第行倍，记作，
倍列：第列倍，记作；
③倍行加：第行倍加到第行上去，记作.
倍列加：第列倍加到第列上去，记作.

注：①第3种初等变换的记号有的书规定写成，，但规定后就不能变，只能用一种；
②为时，可以直接写成；
③ 时，可看成第行减去第行的倍，可看成第列减去第列的倍；
④ 时，，
规定：① 每次变形对每个元素至多只能改变一次； ② 每次变形所做的多个初等变换按从上往下的次序.
将“行”字改成“方程”，就是方程组的初等变换。
初等变换作用在行列式上，就是行列式的初等变换。
初等变换作用在矩阵上，就是矩阵的初等变换。
习题1
写出下列初等变换的记号
（1） ；（2）；
（3）；（4）.

二、行列式性质及计算（化三角形方法）
行列式概念
定义1 由个数排成行列的如下记号
，
称为阶行列式（其中表示第行第列位置的数，称为第行第列元素），它表示所有取值不同行、不同列的个数的乘积并按照如下方法带上正号或负号的代数和：每项乘积中的个数按行号排成标准排列时，其列号排列的奇偶性决定该项的符号：奇排列时为负号，偶排列时为正号，即
， （1.3）
其中求和取遍所有级排列.而称为行列式的一般项.特别地，当时，规定一阶行列式.
行列式有时也简记作，其值是一个数.
行列式性质
性质1 将行列式转置，行列式的值不变.
性质2 行列式的初等变换性质：
①换行，值反号；
②倍行，倍值；
③倍行加，值不变.
性质3 提取一行公因子，即可以把行列式中某一行所有元素的公因子提取出来放到行列式外面作为因子.
性质4 具有如下特征之一的行列式，其值为.
①有一行元素全为；
②有两行元素对应相等；
③有两行元素对应成比例.
性质5 拆行拆值，即把一个行列式的某一行拆开成两行所得到的两个行列式的值之和就等于原行列式的值.

行列式中元素的余子式和代数余子式的概念.
定义2 在阶行列式中，划去元素所在的第行和第列后，余下的元素按原来的相对位置排成的阶行列式称为的余子式，记作，称为的代数余子式，其中.
例如，阶行列式

中，的余子式和代数余子式分别为
，
.
行列式展开性质
定理1 阶行列式等于任一行的元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

推论1 行列式中，任一行的数字与另一行中同列数字代数余子式的乘积之和等于，即.
有时，我们把定理1简称为“同行展开等于行列式本身”，而把推论1简称为“异行展开等于”.
定义3 在阶行列式中，任取行列，位于这些行、列交叉处的个数字按原来在中的相对位置排成的阶行列式，称为的一个阶子式.划去所在的行和列，余下的数字按原来的相对位置排成的阶行列式并带上符号，称为的代数余子式，其中是所在的行号，是所在的列号.
定理2（拉普拉斯（Laplace）展开定理） 在阶行列式中，任取行后，所有位于这行的阶子式与其代数余子式乘积之和等于.
计算行列式的化三角形方法
首先，若第1个对角元及其下方（即第1列）的数字都等于,则行列式等于，否则，经过行初等变换把化成非零，并把其下方的都化成；其次，再考虑第2个对角元，若第2个对角元及其下方的数字都等于，则行列式的值也等于.否则，经过初等行变换把化成非零，并把其下方的都化成；接着再考虑第3个对角元；；这样，逐步将每个对角元下方都化成了，行列式就化成了三角形了.
如果在某步，对角元及其下方都为，则行列式等于，否则，化成了三角形行列式，由此可计算出原行列式的值.
例1 计算行列式

解 利用初等变换化成三角形行列式：
原式化下方为0
化下方为0
化下方为0
.
例2 计算行列式

解 （化为非零）
（化下方为零）

（化下方为零）
（化下方为零）
.
例3 计算行列式

解 （化下方为0，这时及其下方都为0了）

行列式展开方法应用
例4 用行列式展开方法计算行列式

解 .
例5 对于行列式

计算余子式的线性组合 .
解

（注意这里变换的写法，第1行变了两次）

高阶行列式计算中应用初等变换的思考途径
例6 计算阶行列式

解 这个行列式的各行（列）元素之和相等，将它们加到一起，再相减就可以化出0.

这个高阶行列式计算中应用了初等变换的第一个思考途径：同一位置.

例7 计算范德蒙（Vandermonde）行列式（）

解 在中，从第行开始，下一行减去上一行的倍（即上一行的（）倍加到下一行），得

按第列展开，并把每列的公因子提出，得

注意比中少了，因此就可以递推得到

这里的记号表示全体同类因子的乘积.
上述范德蒙行列式的计算中，我们利用了初等变换的第二个思考途径：相邻位置.
习题2
1 按行列式定义计算下列行列式
（1）； （2），
（3）计算阶行列式 .

2. 设，利用行列式性质计算.
3. 利用行列式性质计算行列式 .
4. 利用行列式性质证明 .
5. 用化三角形方法计算下列行列式
（1）；（2）；（3）.

6. 用行列式展开方法计算行列式
.
7. 对于行列式，求余子式和代数余子式的下列线性组合
（1）； （2）.
8. 对于行列式，计算代数余子式的线性组合 .
9. 计算行列式 中的余子式和代数余子式的下列线性组合：
（1） ，
（2）.
10. 用行列式展开方法计算阶行列式 .
11. 设 ，求方程 的根.
三、矩阵化简的三种形式（行阶梯形、行最简形、等价标准形）
行阶梯形矩阵
特点 可画一条阶梯线，线的下方全为；每个台阶只有一行，阶梯线的竖线（每段竖线对应一个台阶）后面的第一个元素为非零元（叫做非零首元）
求法 在中先找到第个非零列，经过行初等变换，将其上方元素（非零首元位置）化成非零元，而下方所有元素都化成，除去这个非零首元所在位置前面所有列和上面所有行外，在剩下的子块中，再找到第个非零列，经过行初等变换，将其上方元素（非零首元位置）化成非零元，下方所有元素化成.再除去这个非零首元所在位置前面所有列和上面所有行之外，考虑剩下的子块.这样一直做下去，直到剩下的子块元素全为或没有剩下的子块元素为止.
例8 化矩阵为行阶梯形矩阵

解

行最简形矩阵
特点 首先它是阶梯形矩阵，其次，它的每个非零首元元素为且其上方都为.
求法 先化为行阶梯形矩阵，再经过行初等变换，化每个非零首元为且其上方都为（这应该是从下面的非零首元开始化起，计算量会少！）
例9 化例8的矩阵为行最简形矩阵
解 接例8的解

等价标准形矩阵
特点 左上角为单位矩阵，其余元素全为，即 （或或或）.
求法 第步化为行阶梯形矩阵，接着第步化为行最简形矩阵，最后第步，经过列初等变换，化每个非零首元所在行后面全为，再将非零首元换到左上角.
例10 化例8的矩阵为等价标准形矩阵
解 接例9的解

习题3
化下列矩阵为行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、等价标准形矩阵
（1）（2）

四、矩阵逆、秩、秩子式的计算
矩阵求逆方法： 对进行行初等变换，把化成行最简形就行了，后面的就变成了.
例11 用行初等变换方法求，其中

解

故.
这个方法在不知可逆时，当对进行行初等变换，不能把化成以为行最简形时，即在化行阶梯形时，某个剩下的子块（以及开始的）中前面有零列，这时的非零首元不能在对角线上，这时就已经说明不可逆了.
矩阵的秩与秩子式概念
定义3 在型矩阵中，任取行与列（），这些行列交叉位置的元素按原来在中的相对位置排成的阶行列式称为的一个阶子式.
型矩阵的阶子式共有个.
定义4 非零矩阵中，不等于的最高阶子式称为的秩子式.秩子式的阶数称为的秩，记作，也记作等等，并规定，零矩阵的秩，零矩阵没有秩子式.
例2 按定义求矩阵的秩和秩子式，
.
解 为型，阶子式，
阶子式都是的秩子式，，，此外，中还有个阶子式全都等于.
求矩阵的秩和秩子式的方法
定理3 ①矩阵经初等变换后，其秩不变；
②非零矩阵经行初等变换后，其秩子式的列位置不变；非零矩阵经列初等变换后，其秩子式的行位置不变.
求的秩的方法： 化为行阶梯形，非零首元的个数就是的秩.
求的一个秩子式的方法： （两次行阶梯形方法）化为行阶梯形，非零首元的列号对应的的列按原来次序排成矩阵，再化为行阶梯形，这时非零首元的列号在中确定的子式就是的一个秩子式.
例12 求的秩和一个秩子式,

解

为非零首元,共个,故,非零首元位于第列,故中第列排成矩阵
,

非零首元位于第列,故中第行的子式为的一个秩子式.
习题4
1. 用行初等变换方法求，其中
；
2. 用定义求矩阵的秩和秩子式，

.
3. 用行阶梯形求的秩和一个秩子式

五、矩阵秩的性质及矩阵等式证明的满秩方法（等价标准型的应用）
若中有阶非零子式，则；反之，若中所有阶子式全都等于，从而.于是，的秩的充分必要条件是：中至少有一个阶子式不等于，且所有阶子式（如果存在的话）全都等于.
很显然，型矩阵的秩满足：.
对于阶方阵，即为可逆矩阵，而，就意味着不可逆.
矩阵经初等变换后，其秩不变.
从而对于可逆矩阵总成立
性质6 矩阵秩的分块性质

注 这里共有个不等式.
证 设的等价标准型为，则有可逆矩阵和，使，从而

其中.
由已有个非零首元了，故的秩.由于也是可逆矩阵知，即的秩前一块的秩.
又由及为可逆矩阵知（为的前一块）.
再由.
最后再根据的秩为前非零首元个数后面中非零首元个数.及，就得到
，
.
性质7 矩阵秩的运算性质
①
②时，
③
④
⑤为型，为型时，
⑥
证 ①②③是显然的.
④由及为可逆矩阵，得.
⑤仿性质6的证明，设，从而，
为行，于是
，而.由为行知
（请思考此不等式！）
再由就得到.
⑥当时，，故；
当时，，可逆，，由得；
当时，一方面，有元素的代数余子式不等于，从而，即；另一方面，，由上面已证的④得
，
即，所以.（这个证明应用的是矩阵乘积秩的性质④，请大家自已给出另外一个应用齐次线性方程组基础解系性质的证明方法。）
矩阵秩的应用
最后，我们给出矩阵秩的一个应用.
对于矩阵的矩阵方程
,其中为矩阵
称为其增广矩阵.
对作行初等变换与的同解变形是一致的. 因此，由行阶梯形可知，当时，无解.
当时，化为行最简形，于是与同解，从而为唯一解.
当时，化为行最简形，不妨设非零首元位于前列，则行最简形为，于是与同解，从而当任意取值时，为无穷多解.
这就证明了矩阵方程的解只可能是无解、有唯一解和有无穷多解三种情形之一，而矩阵秩和的关系也只可能是、和三种情形之一.于是，我们就有了如下定理：
定理4 ①无解的充分必要条件是；
②有唯一解的充分必要条件是；
③有无穷多解的充分必要条件是.
而总有零解，因此有如下的推论：
推论2 ①仅有零解的充分必要条件是；
②有非零解的充分必要条件是.
矩阵等式证明的满秩方法
推论2的①给出了矩阵等式证明的满秩方法：
①如果为型矩阵，，且, 则.
②如果为型矩阵，，且, 则.
例13 设为型矩阵且，都是方阵，满足，
试证明：都是可逆矩阵且.
证 由为型矩阵且及，根据满秩方法得

一方面，从上式得,又知是方阵，这说明矩阵可逆.
另一方面，在上式两端，左乘，右乘，得，从而,又知是方阵，这说明矩阵可逆，且.
习题5
设为型矩阵且，，试计算矩阵
使.