浙江省宁波市鄞州区2013届高三数学5月适应性考试试题-理-新人教A版.doc

宁波市鄞州区2013年高考适应性考试
高中数学（理科）
说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分．
考试时间120分钟．
柱体的体积公式

其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高
锥体的体积公式

其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高
球的表面积公式
S=4πR2
球的体积公式

其中R表示球的半径

参考公式：
如果事件A，B互斥，那么
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A，B相互独立，那么
P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n
次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率
Pn(k)=pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…，n)
台体的体积公式
V=
其中S1,S2分别表示台体的上、下底面积，
h表示台体的高

选择题部分（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合，，则（▲ ）
A． B． C． D．
2、在复平面内，复数的对应点位于 （ ▲ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3、将正方体（图（1））截去两个三棱锥，得到几何体（图（2）），则该几何体的正视图为 （ ▲ ）

图（1） 图（2）

A B C D
4.等差数列为一个确定的常数，则下列各个前项和中，也为确定的常数的是 （ ▲ ）
A．S6 B．S11 C．S12 D．S13
5．对于平面与共面的直线m，n，下列命题为真命题的是 ( ▲ )
A．若m，n与所成的角相等，则m//n B．若m//，n//，则m//n
C．若，，则// D．若m，n//，则m//n
6、已知在平面内有一区域M，命题甲：点；命题
乙：点,如果甲是乙的必要条件，那么区域M的面积有 （ ▲ ）

A．最小值8 B．最大值8 C．最小值4 D．最大值4
7、已知双曲线的右焦点F(2,0)，设A,B为双曲线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过点F，直线AB的斜率为，则双曲线的的离心率为( ▲ ）
A． B． C．4 D．2
8、 若函数 在区间上单调递增，则实数 的取值范围是 （ ▲ ）
A． B． C． D．
9、将2个相同的和2个相同的共4个字母填在的方格内，每个小方格内至多填1
个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法种数为 （ ▲ ）
A．196 B．197 C．198 D．199
10．函数f（x）=sin2x在区间[-3，3]上的零点的个数为 （ ▲ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
非选择题部分（共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11．在 的展开式中，若第4项是常数项，则n＝ ▲ 　
12．已知等比数列的前项和为，若，
则的值是 ▲ .
13、设，其中满足，若的最大值为6，则 ▲ 。
14.定义：的运算原理如图（3）所示，设，则在区间上的最小值为 ▲ ．
15、函数的单调递减区间为 ▲ 。
16、设为实数，若，则的最大值是 ▲ 。
x
y
o
A
B
C
M
E
F
图（4）
17、如图(4)，已知圆：，为圆的内接正三角形，为边的中点，当正绕圆心转动，同时点在边上运动时，的最大值是 ▲ 。
图（3）

三、解答题：本大题共5小题，共72分. 解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤。
18、已知函数的图象与轴相邻两交点的距离为。
（１）求的值；
（２）在△ABC中，分别是角A,B,C的对边，且求的取值范围。

19、某集团公司举办一次募捐爱心演出，有1000人参加，每人一张门票，每张100元。在演出过程中穿插抽奖活动，第一轮抽奖从这1000张票根中随机抽取10张，其持有者获得价值1000元的奖品，并参加第二轮抽奖活动。第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮，电脑随机产生两个数（），满足电脑显示“中奖”，且抽奖者获得特等奖奖金；否则电脑显示“谢谢”，则不中奖。
（1）已知小明在第一轮抽奖中被抽中，求小明在第二轮抽奖中获奖的概率；
（2）若该集团公司望在此次活动中至少获得61875元的收益，则特等奖奖金最高可设置成多少元？
20、如图（5），已知多面体中，⊥平面，⊥平
面， ，，为的
中点．
（1）求证：⊥平面；
（2）求二面角的大小．
图（5）

M
y
O
N
l
x
F1
F2
21、 已知两点及，点在以、为焦点的椭圆上，且、、 构成等差数列．
（1）求椭圆的方程；

图（6）
（2）如图（6），动直线与椭圆有且仅有一个公共点，
点是直线上的两点，且，．
求四边形面积的最大值．

22、已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，对于任意的
，函数在区间 上总不是单调函数，
求实数的取值范围；
（3）求证

宁波市鄞州区2013年高考适应性考试
高中数学(理科)答
案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分,满分50分，
在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的．）

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
A
B
D
B
D
C
C
B

二、填空题（本大题共4小题，每小题7分，满分28分.）

11. 18　　 12. -2 13. -4 14. -6

15. 　 (,-1)　　 16. 　 17. 　
三、解答题（本大题共5小题，满分72分．解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
18.
解：（Ⅰ）
由题意知.
（Ⅱ）即又,
.

19．（Ⅰ）从0，1，2，3四个数字中有重复取2个数字，其基本事件有（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）共 16 个．
设“小明在第二轮抽奖中获奖”为事件A，且事件A所包含的基本事件有（0，0），（2，0），（3，0），（3，1），（3，3）共5个，∴P(A)= ．
（Ⅱ）设特等奖奖金为a元，一个人参加此次活动的收益为ξ，则ξ的可能取值为-100，900，a．
P(ξ=-100)=，P(ξ=900)=，P(ξ=a)= ．
∴ξ的分布列为
ξ
-100
900
a
P

∴．
∴该集团公司收益的期望为，
由题意，解得a≤9900．
故特等奖奖金最高可设置成9900元．

20.
（Ⅰ）∵DE⊥平面ACD，AF平面ACD，∴DE⊥AF．
又∵AC=AD，F为CD中点，∴AF⊥CD，
因CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE.

（Ⅱ）取CE的中点Q，连接FQ，因为F为CD的中点，则FQ∥DE，故DE⊥平面ACD，∴FQ⊥平面ACD，又由（Ⅰ）可知FD，FQ，FA两两垂直，以O为坐标原点，建立如图坐标系，
则F（0，0，0），C（，0，0），A（0，0，），B（0，1，），E（1，2，0）．
设面ABC的法向量，则
即取．
又平面ACD的一个法向量为，则即

∴ ．
∴二面角的大小为。

21. 解：（1）依题意，设椭圆的方程为．构成等差数列，， ．又，．
椭圆的方程为．
(2) 将直线的方程代入椭圆的方程中，得．
由直线与椭圆仅有一个公共点知，，
化简得：．
M
y
O
N
l
x
F1
F2
H
设，，
（法一）当时，设直线的倾斜角为，
则，
，
，………11分
，当时，，，．
当时，四边形是矩形，．
所以四边形面积的最大值为．
（法二），
．
．
四边形的面积，
．
当且仅当时，，故．
所以四边形的面积的最大值为．

22.解：1），
当时，
当时，
当时，
2）

，
令
又，

，

，可证，

3）令
即
因为。。。。①
。。。。。②
又①式中“=”仅在n=1时成立，又，所以②“=”不成立
证毕。

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