山西省山大附中高三数学1月月考试题-理-新人教A版.doc

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山大附中高三2013年1月月考数学（理科）试卷
时间：120分钟 分数：150分
一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分。
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数的值是( )
A． B．或 C． 或 D．
3．函数的单调递增区间为（　　）
A． B. C. D．
4．—个几何体的正视图与侧视图相同，均为右图所示，则其俯视图可能是（ ）

5．从1、2、3、4、5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字有2和3时，且2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有 （ ）
A．12个 B．54个
C．51个 D．45个
6．已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为（ ）
A． B． C． D．
7．设若，则的值是( )
A. 1 B. 2 C. 1 D.-2
8．已知命题,则是的充分不必要条件;
命题已知 是锐角三角形的三个内角,向量
,则与的夹角是锐角,则（　　）
A．假真 B．且为真 C．真假 D．或为假
9．等差数列{}前项和为，满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．是中的最大值 B．是中的最小值 C．=0 D．=0
10．若,
则（ ）
A．1 B． C． D．
11．下图是函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是（ ）
x
y
1
1
O

A． B． C． D．
12．已知定义域为的函数是奇函数，当时，||，且对
，恒有，则实数的取值范围为（ ）
A．[0，2] B．[，] C．[1，1] D．[2，0]
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
13．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．若要从身高在[ 120 , 130），[130 ，140) , [140 , 150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数应为 ．

14．在△中，分别为的对边，三边、、成等差数列，且，则的值为 ．
15．当直线与曲线有3个公共点时,实数的取值范围是 ．

16．如图，平面四边形中，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体顶点在同一个球面上，则该球的体积为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分。
17．（本小题满分12分）
已知数列满足，，且，。
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．

18．（本小题满分12分）

已知的三个内角所对的边分别为，向量，
，且．
(1)求的大小；
(2)现在给出下列三个条件：①；②；③，试从中再选择两个条件以确定，求出所确定的的面积．

19．（本小题满分12分）
假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为0.5，记此时教室里敞开的窗户个数为．
(1)求的分布列,以及的数学期望；
(2)若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变．记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为，求的数学期望．

20．（本小题满分12分）
如图，在边长为4的菱形中，．点分别在边上，点与点不重合，，．沿将翻折到的位置，使平面⊥平面．
(1)求证：⊥平面；
(2)当取得最小值时，请解答以下问题：
(i)求四棱锥的体积；
(ii)若点满足= ()，试探究：直线与平面所成角的大小是否一定大于?并说明理由．

21. (本小题满分12分)
已知函数
(1) 当时, 求函数的单调增区间；
(2) 求函数在区间上的最小值；
(3) 在(1)的条件下，设,
证明：.参考数据：．

请在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22. (本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中, 过点作倾斜角为的直线与曲线相交于不同的两点．
(1) 写出直线的参数方程;
(2) 求 的取值范围．

23．(本小题满分10分). 选修4－5：不等式选讲
已知函数．
(1)若不等式的解集为，求实数的值；
(2)在(1)的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围．

2013山大附中高三一月考数学理科答案
ADDBC BCADC CB
3
17、解：（1），∴。
(2）由（1）知是以为首项，为公差的等差数列，
∴，。
，
，
∴，
∴。
18、

(Ⅱ)方案一:选择①②，可确定，因为
由余弦定理，得：
整理得：……………10分
所以……………………13分
方案二:选择①③，可确定，因为
又
由正弦定理……………10分
所以……………13分
19、（理科）
解：（Ⅰ）∵的所有可能取值为0，1，2，3，4，， 1分
∴，，
，，
， 6分
的分布列为

0
1
2
3
4

7分
（Ⅱ）的所有可能取值为3，4，则 8分
， 9分
， 11分
的期望值.
答：的期望值等于. 13分
（文科）
解：（Ⅰ）甲班高等数学成绩集中于60-90分之间，而乙班数学成绩集中于80-100分之间，所以乙班的平均分高----------------------------------------3分
（Ⅱ）记成绩为86分的同学为，其他不低于80分的同学为
“从甲班高等数学成绩不得低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有：
一共15个，
“抽到至少有一个86分的同学”所组成的基本事件有：共9个，---------5分
故--------------------7分

（Ⅲ）
--------------------------9分
，因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关.-----------------------12分
20、（Ⅰ）证明：
∵　菱形的对角线互相垂直，
∴，∴， 1分
∵ ，∴．
∵　平面⊥平面，平面平面，
且平面，
∴　平面, ∵ 平面，∴　. 3分
∵ ，∴　平面 4分
（Ⅱ）如图，以为原点，建立空间直角坐标系. 5分
（ⅰ）设 因为，所以为等边三角形，
故，.又设，则，.
所以，，，
故 ， 6分
所以，
当时，. 此时， 7分
由（Ⅰ）知，平面
所以. 8分
（ⅱ）设点的坐标为，
由（i）知，，则，，，.
所以，， 9分
∵，　
∴．
∴，
∴． 10分
设平面的法向量为，则．
∵，，∴　，
取，解得：， 所以. 11分
设直线与平面所成的角，
∴
． 12分
又∵∴． 13分
∵，∴．
因此直线与平面所成的角大于，即结论成立． 14分
21、(Ⅰ)当时，，
或。函数的单调增区间为……………… 3分
(Ⅱ) ，
当，单调增。
当，单调减. 单调增。
当，单调减， ………………………………………… 8分
（Ⅲ）令，
, 即

， ……………………………………… 12分
22、（Ⅰ） 为参数）… 4分（Ⅱ） 为参数）代入，得
，
…………10分
23、解：（Ⅰ）由得，∴，即 ，┈┈3分∴，∴。┈┈4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,┈5分，只需的最小值┈6分
令， 则
┈┈8分∴的最小值为4，┈9分；故实数的取值范围是。┈10分

9