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截交、相贯题目解题指导
平面与平面立体相交
1.单一平面截切立体
12● 平面立体的截交线是由直线段构成的封闭平面图形，为截平面与立体共有。
　● 求平面立体的截交线实质上是求立体的棱线与截平面的交点，并依次连接同一棱面上的两点。

例：求棱锥的截交线
图(1)：截平面是正垂面，正面投影有积聚性。所以棱线与截平面交点的正面投影1'、2'、3'、4'已知 ,借助点在棱线上的关系求出各点的另两面投影。连线，并判别可见性。

图(2)：将一般位置的截平面变换到特殊位置，其余同上例。

2.组合平面截切立体
　●　有几个截平面就有几个截断面。
　●　两相邻截断面之间必有交线。
　●　交线结合点为两截平面共有。
　●　求组合截交线必求各交线结合点。
例：三平面截切六棱柱
（如图3）分析：截交线的构成：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ～正垂面截得的截交线 Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ ～侧平面截得的截交线 Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ、Ⅹ、Ⅺ ～水平面截得的截交线各断面的交线：ⅤⅥ、ⅦⅧ。结合点：交线的端点。作图：利用六棱柱和截平面的双积聚性直接求点作图。

例：三平面截切四棱锥台
（如图4）
分析：截交线的构成，各断面的交线及结合点的分 析同上例。
作图：Ⅷ、Ⅸ点用辅助线作图，其终点可直接求出。

平面与曲面立体相交
●曲面立体的截交线一般是封闭的平面曲线，特殊情况可由直线和曲线，或全部由直线围成。并为立体和截平面共有。
●求曲面体的截交线，实质上是求平面与立体表面的一系列共有点，再依次光滑连接成曲线。
1.平面截圆柱体。
（1）单一平面截圆柱体：截平面与圆柱轴线的相对位置不同，截交线性质不同如表1

●求截交线方法（一）
　　若截平面和立体表面均具有积聚性（双积聚）。用直接作图法求作截交线。
●求截交线方法（二）
　 若截平面或柱面之一有积聚性时 （单积聚），可用辅助线法求截交线（如图(6）中辅助线MN），也可用投影变换，将四边形变换成垂直面再求解。
例：作圆柱被正垂面截切后的投影如图（5）。
分析：截平面与圆柱轴线倾斜，截交线为椭圆。

作图：求特殊点：C、D为最前、最后，最上、最 下点，A、B为最左最右点。
求一般点：先在截交线正面投影上确定一 点，如e'、f'，在水平圆上找出e、f，再 求出e"、f"。
连线，判别可见性。

若截平面为一般位置平面可先将一般位置面变换到特殊位置再求解如图（6）。

（2）多个平面截圆柱体。
●有几个截平面就有几个截断面。
●相邻的两截断面有交线，交线的端点为两截交线的结合点。结合点为两截平面和立体表面所共有（三面共点）。
●圆柱体的组合截交线无论形式如何变 化，其组成不过是由直线、圆弧、椭圆曲线构成，如图（7）、（8）、（9）。

2. 平面截圆锥体
1）单一平面截圆锥体
截平面与圆锥轴线或素线的相对位置不同，截交线的性质不同。见表2。

求截交线的方法（一） 辅助线法
若截平面有积聚性（单积聚），可在圆锥面上作辅助线求点，辅助线可以是纬圆或素线如图（10）

求截交线的方法（二）
辅助平面法
在适当的位置用垂直于圆锥轴线的平面作辅助面求截交线上的点。该点为三面共点。如图（11）。

例：求圆锥被正垂面截切后的截交线。如图（12）
分析：图12中，圆锥的截交线为椭圆，截平面有单积聚性，可用辅助线法求截交线上的点。
作图：求特殊点：Ⅰ、Ⅱ可直接求出，Ⅲ、Ⅳ点用辅助平面法求出。
求一般点：Ⅴ、Ⅵ可用辅助圆求出。
连线并判别可见性。

例：求圆锥被一般位置平面截切后的截交线（如图13）。
分析：经一次投影变换，将截平面变换成垂直面，使其具有单积聚性，再用方法（一）、（二）求解，若要求出截断面实形可经二次变换求出。
还可选水平面或过锥顶的正垂面作辅助平面作图。如选水平面Pv，Pv与截平面交线为MN，切圆锥得水平圆，MN与水平圆交点为截交线上的点。

（2）多个平面截圆锥体
几个平面同时截圆锥体的分析，可参照多个平面截圆柱的情形。其组合截交线由直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线组成。以截平面与圆锥轴线或素线的相对位置为依据，分析每部分截交线的类型，并求出结合点。最后求出组合截交线。

3. 平面截球体
（1）单一平面截切球体
●截交线的性质：无论截平面在什么位置截切球体，截交线均为圆，只是圆处于投影面的不同位置而已。可以是特殊位置圆，也可以是一般位置圆。
求截交线的方法（一） 辅助线和辅助平面法
当截平面有积聚性时（单积聚），可采用辅助 线或辅助 面法作图。球面上的辅助线，可以 是平行于三个投影面 中任何一个投影面的纬 圆，也可选用水平、正平、侧平 面作辅助面 如图14中Pv面。

求截交线方法 （二） 辅助投影法
当截平面无积聚性时，可将一般位置截平面交换到垂直位置再求截交线。
例：求作正垂面切球的截交线（见图15)
分析：截平面是正垂面，截交线为正垂圆；其水平投影和 侧面投影均为椭圆。
作图：求特殊点；求一段点；连线判别可见性。

（2). 多个平面截切球体
　　球面上的组合截交线的每一段均为圆弧，当截平面平行于投影面时，截交线在相应投影面上的投影反映实形；当截平面垂直于某投影面时截交线在相应投影面上的投影是椭圆，如图16、17。

4、平面截切组合回转体
　　上述截交线的性质和作图方法，对于组合回转体中每一部分截交线的分析和作图均适用。
●一个平面截切几个形体就有几部分截交线。这几部分围成一个封闭的截断面。有几个截平面就有几个截断面。
●相邻两截断面之间有一条交线,其端点是两部分截交线的结合点,是三面共点。
●求作组合截交线的关键是分析立体, 并确定每一部分截交线的性质,并根据截平面的相对位置确定作图方法。以解决平面截切组合回转体的问题。（如图18）

立体与立体相交
●曲面立体的相贯线一般是封闭的空间曲线 ，特殊情况下可是平面曲线或直线，也可 能不封闭。
●求相贯线的实质是求两曲面立体表面上的一系列共有点，并按顺序连接。
●两立体的相对位置不同，则产生两种贯穿形式：全贯图(a)；偏贯图(b)。
●求作相贯线的一般步骤：

1. 圆柱与圆柱相交
解题方法（一）直接作图法：
两个立体的表面均具有积聚性（双积聚），可用直接作图法。
例：两圆柱轴线垂直相交，求其相贯线（如图19）。

分析：两圆柱垂直相交，其相应投影有双积聚性；相贯线分上 下两组，为封闭空间曲线；相贯线水平侧面投影已知， 求正面投影。可直接作图法。
作图：求特殊点，A、B点为相贯线上的最左、最右点，并为其正面投影的可见性分界点。C、D点为 相贯线上的最前、最后点，并为其正面投影的可见性分界点。
求一般点，可先在水平投影上确定e→e″→e′；也可先确定e″→e→e′。直接作图。连线 并判制可见性。

图20的情况请分析、思考。

图21分析：相贯两立体，一是轴线侧垂的圆柱，该圆柱被关于轴线对称的两正平面和两侧平面 截切；另一是轴线铅垂的半圆柱、两相贯圆柱轴线垂直相交（双积聚）；相贯线和截交线水平 侧面投影已知，求其正面投影。

例：两圆柱轴线交叉垂直，求其相贯线（如图22）。
分析：两圆柱轴线交叉垂直, 其投影"双积聚"；相贯线为一组封闭空间曲线；相贯线水平侧面投影已知，求其正面投影，用直接作图法。
作图：求特殊点： A、B、C、D、E、F、H、I、J。
求一般点:在圆柱Ⅱ上确定m、n → m″、n″→ m'、n′。
连线,并判别可见性。

请分析图23。

2. 圆柱与圆锥相交
●解题方法（二）辅助线法
　　相贯的两立体中，只有一个立体表面的投影有积聚性（单积聚）时，可采用辅助线法。在没有积聚性的立体表面可作出为直线或圆的辅助线,其投影亦为直线或圆。若立体为回转体，当轴线垂直于投影面时常用纬圆作辅助线。
例：圆柱与圆锥面相交，求其相贯线，如图24。
分析：由侧面投影可知圆柱穿入圆锥为全贯，相贯线分左右对称的两组，且每一组前后对称；圆柱的侧面投影有积聚性（单积聚），即相贯线侧面投影已知，求其正面投影和水平投影。
作图：
●求特殊点：A、B两点可直接求图，它们是柱锥正面轮廓的交点，也分别是相贯线的最高、最低点。C、D是圆柱水平轮廓素线上的点，且分别是相贯线最前、最后点，用辅助线法求出C、D两点的投影。c"d"已知，→c，d→c'，d'。G、H分别是相贯的最右点，过两立体轴线交点，作圆锥面素线的垂线，过垂足取一纬圆，确定g″,n″→g，n→g'，n'。
●求一般点：先在侧面投影上确定一系列点如e″,f″，再在锥面上作相应纬圆，求得e,f→e′f′。如此可作出一系列点。
●连线，并判别可见性。

相似的作图如图25、26，请分析、思考。

例：求圆锥台被铣切后的投影，如图27。
分析：圆锥被铣切出一段平行于锥台轴线的平面，和另一段圆柱面，所以交线由截交线（双曲线）和相贯线组成。双曲线的正面和侧面投影均有积聚性为已知，求水平投影。圆柱面轴线正垂，所以相贯线正面投影已知，求侧面和水平投影。
作图：

●求特殊点：A、D为交线的最左、最右点，a′d′→a″d″→ad。B、C是圆柱侧面轮廓素线上的点，也是截交线和相贯线的结合点。b′,c′已知，用辅助线法求出b″,c″→b,c。
●求一般点：如E、F点。先确定e′f′，再作纬圆的投影e″f″→e,f。
●连线并判别可见性。

相似的作图如图28，请分析、思考。

例：求轴线侧垂的圆柱与与斜置圆柱相交的相贯线。
分析：相贯两立体有单积聚性，相贯线前后对称，相贯线侧面投影已知，求其正面和水平投影。
作图：
●求特殊点：A、B、C、D可直接求出。
●求一般点：如求E、F点，先确定e″,f″，在斜置圆柱上作辅助线，求得e′,f′→e,f。
●连线并判别可见性。

3. 其它类型的相贯线
解题方法（三）辅助平面法

当相贯的两立体表面都没有积聚性，不能用前两种方法作图时，可利用"三面共点"原理求相贯线上的点。这里的"三面"指两立体曲面和一个辅助平面。用同一平面截切相贯的两个立体，得到的两组截交线及其投影为直线或圆时，才能应用辅助平面法作图。
辅助平面法适用于直接作图法和辅助线法所能解决的求相贯线的问题。
例：求圆锥与球体相交的相贯线，如图30。
分析：两相贯立体的投影均无积聚性，需采用辅助平面法作图，圆锥的轴线垂直水平面，球体的轴线也可垂直于水平面，所以可选取水平面作为辅助平面截切圆，锥和球体，其水平投影分别是圆。相贯线为一组，相贯线的三个投影均需求出。
作图：
●求特殊点： A、B是相贯线上的最左、最右点，也是最低最高点，且可直接求出。
E、F为圆锥侧面轮廓素线上的点，用辅助平面法作图，包含E、F作侧平面R（Rv），求出R与球面交线的侧面投影，它与圆锥侧面轮廓素线交于e″,f″→e′,f′→e,f。e″, f″是相贯线侧面投影可见性的分界点。
●求一般点：用水平面作辅助平面可求出一般点，如作平面Q，先作出Q与圆锥、球体两个交线圆的水平投影求得c,d→c′,d′→c″,d″。作S面又得两点，如此可作出若干点。
●连线并判别可见性。

解题方法（四）辅助球面法
　　这里仍用"三面共点"原理求相贯线上的点，"三面"指两个立体曲面和一个辅助球面。当球与回转体同轴相贯时，交线是垂直于回转体轴线的圆，当回转体轴线平行与某投影面时，此圆在该面上的投影为一直线。若两回转体轴线均通过球心，它们与球面的交线分别为圆，两圆的交点为"三面共点"自然是相贯线上的点。使用辅助球面法一般需要具备下列条件：相贯两立体均为回转体；两回转体轴线相交，且同时平行与某一投影面。辅助球面要在一定范围选取。
例：求圆锥与回转体相交的相贯线。
分析：相贯两立体为轴线相交的回转体，且两轴线平行于V面，可用辅助球面法求解，相贯线的三面投影均需求出。

作图：求点 i.A、B、C、D四点可直接求出。
ii.包括回转体侧面轮廓素线作辅助平面Q（Qv）求出e″,f″, g″,h″，再求四点的正面和水平投影。
iii.以O为圆心作圆锥的内切球面（半径为R1的最小内切球）。并画出交线与两立体交线的投影得i′,j′,k′,l′四点，分别求出它们的水平和侧面投影。按此方法求出一系列中间点。
连线并判制可见性。

4. 影响相贯线的因素和相贯线的特殊情况
I、在特殊情况下，两曲面立体的相贯线可能是平面曲线，直线，也可能不封闭。
（1）相贯线为平面曲线
●相贯线为圆

●相贯线为椭圆

（2）相贯线为直线

II 影响相贯线的因素
(1)两立体尺寸变化对相贯线的影响。
（2）两立体相对位置的变化， 对相贯线的影响。