振动理论讲义第7章 二自由度系统.pdf

振动理论 北京大学力学系 陈永强 1目录目录第 7 章二自由度系统.17.1自由振动和固有频率.17.2二自由度系统的基本概念.87.3二自由度无阻尼受迫振动.97.3.1振动微分方程和固有频率.97.3.2振幅比.107.4动力吸振器.107.5阻尼吸振器.157.6船舶的稳定.197.7汽车的减振.227.8参考书.257.9习题.25 第7章 二自由度系统 7.1 自由振动和固有频率 前面我们讨论了具有粘性阻尼的单自由度系统的振动理论。所讨论的理想系统在实际中是比较少见的，但是有很多实际情形是很接近理想情形的，因此，理论上的结论就具有实际上的重要性。单自由度系统的理论能够解释共振现象，计算结构固有频率，以及解释大多数振动测量仪器的作用和原理，并用于讨论隔振和避振，等等。为了解释更复杂的现象，必须建立更复杂的理论。下面先讲几个二自由度系统自由振动的例子，然后再介绍系统建立二自由度/多自由度系统的概念和方法。图 7.1 用弹簧耦合的无阻尼二自由度系统 振动理论 北京大学力学系 陈永强 2最一般的无阻尼二自由度系统可以简化为图 7.1 所示的系统，包含弹簧?和?以及两个质量?和?；然后用一根耦合弹簧?把两个质量联系起来。假定两个质量只能沿竖直方向运动。很明显，这是二自由度系统，因为两个弹簧可以独立运动。一旦知道两个质量的位置?和?就能完全确定系统的构形。与单自由度中情形类似，在二自由度系统中，也有与图 7.1 完全等价的扭转振动和电磁振荡现象。现在考虑二自由度自由振动的计算。注意到有两个不同的力作用在质量?上，即主弹簧?和耦合弹簧?的弹力。主弹簧的力为?,方向向下（?方向），耦合弹簧的缩短?,因此其压缩力为?.处于压缩状态的耦合弹簧向上推动?，因此其弹性力取负号。这是两个作用在质量?的有形的力，再加上惯性力，其运动方程为?(7.1)或?(7.2)同样，考虑第二个质量上的受力和平衡，有?(7.3)假定两个质量都做谐振动，具有相同的未知频率和不同的未知振幅1a和2a?sin?sin(7.4)这只是个猜测，还不知道假设的这两个运动是不是可能的。代入微分方程(7.2)、(7.3)进行检验，有?(7.5)?(7.6)上面方程必须在任意时刻都成立。上面两个方程表示两个正弦波，为使其在所有的时刻均为零，括号里面的振幅必须为零，?(7.7)上面方程有非零解的条件为?和?的系数行列式为零 2113323223()0()mkkkkmkk(7.8)上式展开后是?的二次方程，即为频率方程，或称特征方程。?有两个根，称为特征值，确定了系统的两个固有频率。现在从另一个角度考虑这一问题。注意到如果假设(7.4)是正确的，方程(7.7)必须满足。一般情况下，这是不成立的。但是注意到在方程(7.4)中没有指定振幅?和?或者频率。可以通过适当选择?和 使(7.7)成立，所得到的?和 的值使方程7.4)成为问题的解。由方程(7.7)，两个振幅比为?(7.9)?(7.10)为了一致性，要求二式相等：?(7.11)振动理论 北京大学力学系 陈永强 3即,?(7.12)上面的方程，即频率方程，将给出?的两个值。每个?的值，都会对应一个?的值。这说明方程(7.4)可以作为问题的解,而该问题共有两个这样的解。如果熟悉弹性理论中的摩尔元，可能会对以下的作图法感兴趣。令?(7.13)式中，?相当于把?固定后系统的频率；?相当于把?固定后系统的频率，而?，反映了耦合强度。利用以上符号，方程(7.12)可以写为?(7.14)其解为?(7.15)并有?(7.16)莫尔圆：图 7.2 确定固有频率的莫尔圆?，?，?，以 A 点和 B 点的中点作为圆心，作一个通过 C 点的圆，求得两个新的点 D 和 E 就是系统的固有频率。?，?特别是，没有耦合项时，点 和 就重合于 和，所以?和?都是固有频率。为了进一步讨论的简单起见，我们把系统适当简化，对称化。假设?，?，频率方程简化为?(7.17)具有解 振动理论 北京大学力学系 陈永强 4?(7.18)或者写成?，?(7.19)分别把这两个固有频率代入(7.9)和(7.10)，可以得到对应的振幅比：?（?）(7.20)?（?）(7.21)物理意义：两个固有运动方式对应两个固有频率，?：两个质量同方向运动并通过同样的距离；弹簧?既不拉伸，也没有压缩，系统简化为两个独立的单自由度系统。?：两个质量反方向运动并通过同样的距离，是纯粹的正弦波；两个独立的单自由度运动；弹簧?的中点不动，是节点;起始扰动：?，?。如果耦合弹簧的中点被固定住，系统的运动不会发生变化。此时系统被分成两个单自由度系统：质量被两个弹簧连接到地面上，一个弹簧的刚度为,另一个弹簧的刚度为?,因此其频率为?。这样，就会有两个运动固有模态，每个模态都有各自的固有频率。如果给系统一个初始扰动为：?，?，然后释放，随后发生的是纯粹的正弦波，频率为?,以第一种模态运动。如果给系统一个初始扰动为：?，?，对应着正弦波的频率为?,以第二种模态运动。如果初始扰动为11x,20 x，对应什么样的运动？可以把这个起始位移看成是两部分之和：1.?，?和 2.?，?，而这两部分的解都是已经知道的。现在假设随后的振动是以下两个部分的运动的叠加?(质量?的运动)(7.22)?(质量?的运动)(7.23)即后继运动是具有振幅与频率?的第一种方式的运动，叠加在具有振幅和频率?的第二种运动上面，可以把其代入方程(7.2)和(7.3)进行验证。只要有耦合弹簧?，?一定和?不同，因此每个弹簧的合成运动就都不是正弦运动，而是包括两个频率。当两个频率比较接近时，就会发生“拍”的现象。例如，如果?，即耦合弹簧很软，则?，如果给初始位移?，?，首先，?将以振幅 1 振动，?保持静止。经过一段时间之后，两个频率之间的相位差就会把两个振动之间的相位改变 180 度，即振动由?，?（第一种方式）和?，?（第二种方式）发展到 振动理论 北京大学力学系 陈永强 511/2x，21/2x（第一种方式）和11/2x ，21/2x（第二种方式），即质量?保持静止，质量?作振幅为 1 的振动。这一现象是周期性的，全部运动不断地从一个质量转移到另一个质量上。图 7.3 列出了五种具有这种性质的振动。第一种含有两个纸面内摆动的单摆，主弹簧由重力取代，耦合弹簧为很软的螺旋弹簧。对于小振动（比如小于 30 振幅），重力摆的表现与基本的弹簧质量系统一样。弹性常数,即单位位移的恢复力，为,所以单摆的频率是?.图 7.3(a)简化为图 7.1，可以看到图 7.1 中的耦合弹簧的弹性常数?就是质量被拉动单位距离时耦合弹簧作用在质量上的力。如果在图 7.3(a)应用这一定义，在不考虑重力的情况下，作用在其中一个质量上的力?把质量拉离单位位移,因此与?等价的是?。可以很容易识别两种本征运动模态。两个单摆或者共同运动，或者反向运动，其频率分别为?及?.图 7.3 把左摆向左拉动单位位移，同时保持右摆在原位置不动，这种情形等价于图 7.4b和 c 所示的位移之和。一旦释放左摆，它将发生如图 7.4 所示的振动（右摆保持静止），其运动可以看成是图中所示的频率分别为?和?之和。摆的这一运动形式只能在最初的少数几个周期内保持，因为两个固有频率足够接近使得在一个很短的时间内能够保持同步。然而，既然?,第二种模态实际上比第一种进行地快。经过一定的时间间隔后，第二种模态就会比第一种模态超前 180,如图 7.4d 和 e.经过图中所示的后继发展，可以看到，左摆将保持静止，右摆做满振幅的摆动。这一现象自身不断重复，振幅从一个摆和另一个摆之间来回转移，直到不可避免的阻尼使所有运动停止。振动理论 北京大学力学系 陈永强 6 图 7.4 在图 7.4b 中，两个摆在垂直于纸面的平面上摆动。可能的两个固有频率为：(1)两个摆一致摆动；(2)相对摆动，连接轴承较软，会发生扭转，导致频率的增加。把其中一个摆拉起，同时保持另一个摆在原地（因此耦合杆会发生轻微的扭转），然后释放，则会发生类似的全部运动在一个摆和另一个摆之间的连续转移现象。图 7.4c 中所示的系统与架在弹簧上的汽车底盘有些相似。可能存在质量的两个本征运动：(1)与自身平行的上下跳动，频率为?;(2)在受拉平面内的绕重心 G 的摆动，频率为?.如果把底盘左端抬起单位位移，右端保持原地，然后从这一位置把系统释放。仍然可以把这一运动分成两部分（图 7.5a，从左往右看）。图 7.5 如果调整,和 的值使得?和?几乎相同，图 7.5a 的运动只能在最初的几个周期内保持而没有明显的变化。经过一定数目的周期之后，一种运动形式（比如摆动），就会比另一种形式增快 180。现在观察图 7.5b，从右往左看，可以看到，物体振动时，左端保持静止。当然经过一个相等的时间间隔后，第一种运动形式又会出现。以上现象交替重复，直至由于阻尼使运动停止。在图 7.4a 和 b 中，容易看出耦合弹簧是系统的单独部件，而在图 7.4c 中则不然。上述的试验的要求本质上是令系统的两个固有频率有轻微的差别，并不是一定有耦合弹簧。图 7.4d所示的敲击试验被称为是威尔伯福斯弹簧(Wilberforces spring).质量悬挂在螺旋弹簧上，质量上有两个突出螺钉和螺帽。两个自由度包括上下运动和扭转运动。螺旋弹簧被拉伸时会有轻微的扭转，反过来 受扭转时，也会有轻微的拉伸，因而两个运动存在耦合。改变螺帽的位置可以在质量不变的情况下改变惯性矩.因此，通过调整螺帽的位置，可以使两个固有频率几乎相等。然后向下拉并释放系统，启动质量的不含扭转的上下运动，过一段时间，质量就会只有扭转而没有竖向运动，等等。图 7.4e 所示的最后一个例子是这一现象的电路类似系统。两个相等的质量(电感)连接到两个主弹簧(电容)，用一个弱耦合弹簧（即很大的耦合电容?，因为刚度 等于）。振动理论 北京大学力学系 陈永强 7例题7.1.例题：一匀质杆两端各用一只弹簧支起。杆的质量为，长度为，两只弹簧的刚度分别为（左）和（右）。试求二个固有频率和对应振动方式。图 7.6 例题 解：设 是杆中心向上的位移，是杆的转角（顺时针为正）。建立 与 两个方向的平衡方程 竖直方向力的平衡?力矩的平衡?假定振动形式为?,?方程简化成：?分别求出振幅比，得到频率方程，?振幅比与频率的关系?，?，振动绕杆心右侧 2.16l 处，?，?，振动绕杆心左侧 0.15l 处，k 2l 2k 振动理论 北京大学力学系 陈永强 8 图 7.7 两种固有频率对应的振动方式及其节点 7.2 二自由度系统的基本概念 二自由度系统是最简单的多自由度系统。无论是模型的简化、振动微分方程的建立和求解的一般方法、以及系统响应表现出来的振动特性，两自由度系统与多自由度系统并没有本质区别，因此研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。前面的例子中已经可以看到，二自由度系统有两个不同数值的固有频率（特殊情况下二者可能相等，或者其中之一为零）。当系统按其中任意一个固有频率自由振动时，称为主振动。主振动是简谐振动。系统作主振动时，任何瞬时各点位移之间具有一定的相对比值，即整个系统具有确定的振动形态，称为主振型。主振型和固有频率只取决于系统本身的物理性质，与初始条件无关。主振型是一切多自由度系统以及连续系统的重要特性。二自由度系统在任意初始条件下的响应是两个主振动的叠加，只有在特殊初始条件下，才按某一固有频率作主振动。系统对于简谐激振的响应是频率与激振频率相同的简谐振动。振幅同样与系统固有频率和激振频率的比值有关。当激振频率接近于系统的任一固有频率时，就发生共振。共振时的振型是与固有频率相对应的主振型。二自由度系统的振动微分方程一般包括两个互相耦合的二阶常微分方程组。对于特殊选取的、或经转变的坐标，可以使两个微分方程没有任何耦合，这种坐标称为主坐标。用主坐标建立的二自由度系统振动微分成为两个独立的单自由度系统微分方程。静力耦合：二自由度系统振动微分方程中含有坐标的耦合项，或称弹性耦合。图 7.8 坐标为和 l 的二自由度系统?k2l 2kk2l 2k节点 k1lk2x振动理论 北京大学力学系 陈永强 9动力耦合：二自由度系统振动微分方程中不仅含有坐标的耦合项，而且加速度项也有耦合，或称惯性耦合。采用弹簧支承处的位移?和?作为独立坐标。?7.3 二自由度无阻尼受迫振动 7.3.1 振动微分方程和固有频率 根据牛顿定律，对两个质量块分别建立振动微分平衡方程：?sin?sin(7.24)图 7.9 二自由度系统的强迫振动 这是二阶线性常系数非齐次微分方程组，其齐次方程组即为前面讨论过的自由振动，由于阻尼的存在，经过一段时间之后，自由振动就逐渐衰减掉，下面我们主要研究其特解。设其解为：?(7.25)代入上面的微分方程(7.24)，有?k1 1sinPt2sinPtx1k2 m1 m2 x2k3k1lk2x1x2振动理论 北京大学力学系 陈永强 10?，?，?，?，?，?代入后得到，?把?和?求解出来，?(7.26)注意到?进一步写成?和?是系统的两个固有频率，见(7.15)。系统在激振力作用下，响应为与激振力同频率的简谐振动。响应的振幅与激振力的振幅和激振频率与固有频率之比有关；激振频率等于?或?时，系统振幅无穷大，即为共振；二自由度系统的受迫振动有两个固有频率。7.3.2 振幅比 在一定的激振力振幅和频率比下，振幅比?(7.27)是确定值。注意到自由振动的振幅比?利用比例式的相加法?固有频率?系统在任一共振频率下的振型就是主振型。在实践中，经常使用共振法测定系统的固有频率，并根据测出的振型来判定固有频率的阶次，就是利用这个规律。7.4 动力吸振器 在机器或机器的部件上作用一定频率的恒定交变力时，就会发生振动，尤其是接近共振时，振动的影响很大。在很多情况下，不可能通过消除外力，或者改变机器的质量振动理论 北京大学力学系 陈永强 11或弹性常数，来消除振动。下面讲的动力吸振器可以帮助解决这个问题。图 7.10 动力吸振器 这个吸振器是由 Frahm 在 1909 年发明的。图 7.10 中，和是所考察的机器的简略表示。上面作用有外力?。吸振器由 和组成，固定在上。吸振器固有频率等于外力的频率 时，主质量就不振动。小系统、振动时，其弹簧力在所有瞬时与外力?大小相等而方向相反，因此在上没有力的作用，因此不振动。图 7.10 可以看成是图 7.9 的特殊情况，即?，仅有外力?作用在第一质量上。由此，方程可以直接写为?(7.28)?(7.29)因为不考虑阻尼，方程中不含有一阶导数，因此解的形式可设为?(7.30)化成代数方程：?(7.31)为了简化，把上式化成无量纲形式，采用下列记号：主振动系统的静变形?(7.32)吸振器的固有频率?(7.33)主振动系统的固有频率?(7.34)质量比 (7.35)则无量纲形式为 K x1M m x2k0sinPt 受简谐振动的机器 吸振器 振动理论 北京大学力学系 陈永强 12?(7.36)求解出1b和2b：?(7.37)?(7.38)1.激励频率等于吸振器频率时?，主质量振幅为零，吸振器具有振动?,吸振器弹簧的力与外力大小相等，方向相反；2.两个振幅的分母相等：分母是关于?的二次方程，令分母等于零，可以求出两个频率使分母为零而?和?无穷大，这两个频率就是系统的固有频率或共振频率。如果不相等，就会存在某个，使两个分母之一为零而另一个不为零。这就意味着?为无穷大的时候而?为有限值。但是如果?是无穷大的，?也应该是无穷大，即弹簧 的伸长和缩短也应该是无穷大的，弹簧中的力也是一样。这样就出现了以下不可能的情形：在上作用着无穷大的力，但是振幅?却是有限的。考虑?或?或?的情况，?(7.39)?(7.40)令分母等于零，就可以确定两个固有频率：?(7.41)?(7.42)图 7.11 固有频率和质量比的关系 1.5 1.0/a 0.5 0 0 0.10.20.30.40.5 振动理论 北京大学力学系 陈永强 13组合系统固有频率随质量比的变化见图 7.11。例如，吸振器质量为主系统质量时，组合系统的两个固有频率分别是原来的 1.17 倍和 0.85 倍。而吸振器质量为主系统质量的时，组合系统的两个固有频率是原来的 1.25 倍和 0.8 倍。当?，由(7.37)和(7.38)，?吸振器的弹簧力与外力平衡。图 7.12 吸振器质量比时主质量振幅?和吸振器质量的振幅?除非原系统处于共振或者接近共振，否则没有太大必要要附加一个吸振器。当量质量：假设 Frahm 吸振器、用一个完全固定于主质量上的?来代替：当量质量使主质量的运动?相同于应用吸振器的情况。假设用一个固定在主质量上的质量?代替吸振器：吸振器传给主质量的弹力是?当量质量?固定在主质量上，其作用在上的惯性力为?。现在令?(7.43)则有 振动理论 北京大学力学系 陈永强 14?(7.44)这就是熟知的共振关系。可以看出，Frahm 动力吸振器可以用一个固定在主系统的当量质量来代替。在较低的频率时，当量质量是正值，在激发吸振器共振频率时，它是无穷大；在高频率激发时，它是负值。图 7.1 是一个电动理发刀，有一个 60 周的交流电磁铁，产生 120 周的交变力，作用于振动系统。把振动系统调到接近 120 周的频率，但是又充分远离该频率，以确保剪刀 的振幅，降低其受阻尼的影响。接通电源后，不管理发还是没理发，剪刀 都以相同的振幅振动。图 7.13 带有吸振器的电动理发刀 整个系统作为一个不受外力的自由体，必然有其重心和静止时的惯性主轴。部件 和始终处于运动中，整个外罩必须向相反的方向运动以满足以上两个条件。理发师不希望外罩在手里振动，这会产生一个新的阻力，即销售阻力。这可以用动力吸振器 予以克服。把吸振器调到精确每秒 120 周的频率，可以阻止外罩在质量 处的各种运动。利用频闪照明，可以发现质量 和 反相振动。上面这个设备图并不完善：质量 的位置是不正确的。在振动的某个特定瞬时，剪刀 具有很大的向上的惯性力，在悬挂段 的有一个很小的向下的惯性力。图 7.14 对于扭振系统，例如内燃机的曲柄轴，Frahm 动力吸振器可以采取如下形式：用一个飞轮 A，使其在轴（支撑于 B）上可以自由旋转，飞轮仅用机械弹簧 连接到轴上。作用在这个系统扭转冲量是具有点火频率的简谐变化，即其频率正比于发动机的速度，这个设备在一个发动机速度下工作，然而有两个相邻的速度，使轴发生共振（图 7.12a）。为了克服这一点，把机械弹簧（图 7.14a）换成重力弹簧（图 7.14b）。图中离心场中的中的摆与普通的重力摆作用方式相同，只不过 换成了离心力?.既然重力摆的频率为,离心力摆的频率为,正比于发动机的速度。在对应各发动机速度适当调节后，离心摆将起到 Frahm 动力吸振器的作用。振动理论 北京大学力学系 陈永强 15 图 7.15 双质量双飞轮离心摆吸振器 7.5 阻尼动力吸振器 图 7.16 有阻尼的动力吸振器 在两个质量和之间，安置一个平行于吸振器弹簧的缓冲器。主弹簧 保持原状，不增加缓冲器。对主质量和吸振器质量应用牛顿定律，?(7.45)?(7.46)方程(7.45)和(7.46)的各项分别表示质量和的惯性力、主弹簧力、吸振器的弹簧力和缓冲器力。仅对考察受迫振动感兴趣。把方程改成用复数表示?(7.47)代入振动微分方程：?(7.48)?(7.49)K x1M m x2k0sinPtc 振动理论 北京大学力学系 陈永强 16式中，?和?是未知复数，其余都是实数。为求出主质量的振动，从第二个方程解出?,再代入第一个方程，?(7.50)为了便于分析，?(7.51)?(7.52)(7.53)?(7.54)?(7.55)上式表示两个相互垂直矢量的叠加，因此?为?(7.56)主质量的振幅可以表示为?(7.57)或者写成，?(7.58)应用下列关系把方程无量纲化,质量比?受迫频率比?固有频率比?阻尼比?系统的静变形?吸振器的固有频率?主振动系统固有频率 无量纲化后的方程为?(7.59)振动理论 北京大学力学系 陈永强 17 图 7.17 主质量振幅随频率比和阻尼比的变化 1.阻尼为零时，相当于无阻尼情况阻尼为零时，相当于无阻尼情况 2.阻尼无穷大时，相当于两个质量固定在一起阻尼无穷大时，相当于两个质量固定在一起 系统中加入阻尼，目的是让振幅的共振峰值降低到最低可能值。时共振峰值是无穷大，时峰值也是无穷大，没有阻尼力做功耗散能量。在 0 和之间必定有一个 值，阻尼力和位移的乘积最大，使共振峰值最小。如何计算这个“最优”阻尼？3.各曲线都通过两个点：各曲线都通过两个点：P 点和点和 Q 点，则其水平切线通过两点之一时振幅最小；点，则其水平切线通过两点之一时振幅最小；首先求 P 和 Q 的横坐标。既然所有的曲线都经过这两点，可以利用在 P 点和 Q 点上，?与?无关的条件求出 P 点和 Q 点的横坐标，即?与阻尼比无关的条件可以写为?这个比值与?无关的条件是?可以得到?或者?(7.60)通过方程(7.60)的解?和?，可以确定出 P 点和 Q 点的橫坐标。4.调整调整 f 值使值使 P、Q 点等高点等高 可以把方程(7.60)的两个解代入方程(7.59)，可以求出?的两个解，令其相等就可以调整令 P 点和 Q 点的纵坐标相等。还可以通过另一种简单的方法解决这个问题。因为在P点和Q点，?与阻尼比无关，因此可以选择适当的阻尼比使方程(7.59)化简到最简单的形式。例如，取，则方程振动理论 北京大学力学系 陈永强 18简化为?(7.61)图 7.18 注意到 P 和 Q 的纵坐标应该是一正一负，因此有?(7.62)即?(7.63)利用二次方程中系数与根的关系，有?(7.64)联立(7.63)和(7.64)求解，可得 固有频率比?(7.65)受迫频率比?,?(7.66)振幅比?(7.67)5.调整调整 c 使曲线的水平切线通过使曲线的水平切线通过 P 或或 Q。0 1 2 3 4 5-2-1?ABC?P Q Q 振动理论 北京大学力学系 陈永强 19 图 7.19 Metering piston with helical groove;Storage chamber/oil reserve storage;Guide;Housing;Spring I;Check Valve;Seal Spring IISealPiston Rod 图 7.20 7.6 船舶的稳定 上一节内容的有意思的应用就是通过在船上安装一定的装置防止风大浪急的海面上船只的摇摆。首先考虑没有阻尼情况下船只自身的摇摆。假想船只在平静的海面上漂浮（图 7.21a），其重量和浮力 相等且反向，通过重心。现在用外力偶使船只保持在一个轻微倾斜的位置（图 7.21b）。重量仍然通过重心 作用，而浮力 将轻微向左移动，其作用线与船只的中心线相交于点,称为定倾中心。很明显，该点的位置是由船身的几何尺寸决定的。和 之间的距离 称为定倾中心高度。振动理论 北京大学力学系 陈永强 20 图 7.21 船只的摇摆稳定性取决于定倾中心高度，因此根据船只工程图确定这个量是设计师的一项重要任务。从图 7.21b 还可以看出，当定倾重心位于重心的上方，或者说定倾中心高度是正值时，和 形成了一个力偶，使船只倾向恢复竖直位置。如果 为负值，力偶会增加船只的倾斜程度使平衡变为不稳定。既然船只在偏离平衡位置时表现出恢复的倾向性，因此船只是一个振动系统。对于比较小的角度，的位置独立于.恢复力偶为(很小的 时为)。作用这一力偶之后，船只将在纵轴附近摆动。令绕纵轴的惯性矩为?,牛顿定律可以写为?即?(7.68)图 7.22 Frahm 防摆动水箱，旧式 因此，船只摇摆的固有频率为?(7.69)在该方程中，和 可以根据工程图纸精确确定，但是?的确定通常有推测的成分，因为不知道船只会绕哪个轴摇摆。如果在摇摆过程中，水没有给船体施加横向力，该轴将会通过重心.但通常情况下，旋转轴会低于重心。该轴的准确位置可以通过模型试验确定，其中，和?可以通过试验测得，可以计算得到或者用静态实验测量，而?可以根据方程(7.69)计算。振动理论 北京大学力学系 陈永强 21 图 7.23 Frahm 防摆动水箱的改进型”气泡”想象船只在风浪很大的海面上。波浪或多或少地周期性冲击船只，对其施加变化的力偶。这一作用不是很规则，可以把它近似为谐变化的扭矩?,并作为方程(7.68)的右端项.如果波浪的频率 接近船只摆动的固有频率?,船只的摆动将会变得很大。在风浪很大的海面上，观测到的 可达 20.方程(7.68)和(7.69)表明，仅就振动性质而言，图 7.21 中的系统与图 7.10 的上半部分是相同的，因此增加一个图 7.10 中所示的阻尼会帮助减少摆动。1902 年，Frahm 在船上建了两个水箱（图 7.22）,各装半箱水，用一根水管在下部联通，上部用带阀门的空气管联通。这个辅助系统或称为吸振器对应于例题 3.5 中的图 3.11.两个水箱之间的下部联通管道可以被海水代替（图 7.23）。气泡延伸到船体的三分之二的长度，并用竖向隔板将其分成三个或更多的隔间，以及对应的带阀门的空气管。这些结构比图 7.14 复杂得多，而图 7.22 中的旧式结构于之相接近。图 7.24 为推导微分方程，将图 7.22 中的两个水箱及其连接管简化为半径 的圆，其中心为船体旋转的中心，见图 7.24。连接管的截面积为，管中的水充满 180.进一步，令 船摆动的角度；水箱中的水平线与海面的夹角；水箱中的水线与船体的夹角；?船和水箱中的水组合体在时的惯性矩；?水箱中的水关于旋转中心的惯性矩；?海水(小角度)和水箱中的水施加在船体上的静态扭矩；?施加到船体的静态扭矩(及小 角度时)；作用在船体上的摩擦扭矩（,rad/s）振动理论 北京大学力学系 陈永强 22?海浪作用在船体上的扭矩。下面首先针对船体，其次针对水箱中的水，建立相应的牛顿方程。四种外力作用在船体上：1.?，静海水施加在船体右侧；2.?,水箱中的水从一个箱体流到另一个时产生的作用 3.,水箱中的水在连接管中流动产生的摩擦力（包括空气在连接管中通过阀门的流动）4.?,波浪对船体的扭矩。以上作用的总和应该等于?.用同样的方式也可以建立水箱中的水的运动方程：?(7.70)需要考虑各个常数?,?等如何变化,这可以通过图 7.24 看出。船的弹性常数为,是重量与定倾高度的乘积。水的弹性常数为?,为水的重量密度，为管的横截面积。由于水流过连接管导致的单位摩擦扭矩，比空气通过节流阀门情况下的小。对比一下可以发现，方程(7.70)与(7.45)并不完全相同。前者中，第二个方程中的弹簧的扭矩正比于?,而后者中，仅与 相关，因此两种情况下的结果不能直接套用，但是一般性的结论是相同的：1如果节流阀门完全关闭,水箱不会减小船只的摆动；2.如果节流阀门完全打开，摆动也不会消失。实际上，在两个不懂的海浪频率下，摆动会变大；3.在以上两个极端情况之间，存在一个节流阀的设置，使摆动在所有频率下都能有效减小。以上的分析适用于图 7.24，这是图 7.22 的简化模型。在图 7.23 所示的构造中，很难提前预测。船静止时，水箱中的水自身是一个二自由度系统。图 7.22 中，一个水箱中的水平面决定了另一个水箱中的水平面，因此只需知道其中一个水平面即可。而在图 7.23 中，两个水面的高度是相互独立的，需要两个数才能描述构形，因此船-水箱组合是一个三自由度系统，有三个共振频率。这就使得实际上不可能进行准确的计算。但是以上三个结论还是成立的。在实践中，以上两种结构的水箱都会设计成其中水运动的周期大约等于船的固有周期。在怒海上，通过调节空气管道的阀门使之提供最优的操作条件 7.7 汽车的减振 传统设计的汽车架在弹簧和轮胎上，是一个很复杂的振动系统，具有三个不同的质量：车体，前轮轴和后轮轴；八个不同的“弹簧”：四个真的弹簧和四个轮胎。振动理论 北京大学力学系 陈永强 23 图 7.25 一个固体自由体在空间中有六个自由度：上下摆动，前后摇动，前后移动（平移）；以及三个旋转：1.绕纵轴的摆动(rolling)；2.绕横轴的颠簸(pitching)；3.绕竖轴的偏航(yawing)；既然汽车有三个这样的实体，它应该具有 18 个自由度。然后这 18 个自由度中的多数都是不重要的。最重要的运动为：1.轮轴静止时，车体的上下摆动（bobbing）；2.轮轴接近静止时车体的颠簸（pithcing）：3.底盘不受扰动，每个轮轴由于轮胎弹性上下摆动；4.小幅度车体运动时，每个轮轴的摇动。前两个运动实际上是轴静止的时候车体的运动，这个与前面所讲的架在两个弹簧上的杆的振动类似。对于完全对称的系统而言，两个固有频率对应纯粹的竖向平行运动和绕重心的摆动，对于不对称的系统，每种实际运动模式是上面两种运动的组合。实际上，前两种运动的固有频率非常接近，大约比 1 周/秒小一些。运动 3 和 4 的频率大约相等，但是比前面两种运动频率大得多。在比较老旧的汽车中，这两种运动的频率大约为 6-8 周/秒，现代汽车由于使用了充气轮胎以及为了制动使用了更重的轮轴，频率会相应低一些。由于轮轴和车体振动的固有频率相隔较远，因此一种振动（1 或 2）可以独立于另一种运动（3 或 4）存在。当车体以 1 周/秒的速率上下运动时，在主弹簧上的力的变化是在轮胎弹簧上的轮轴振动频率的六分之一，因此，轮轴可以忽略这一交替变化的力。类似地，当轮轴以 6 周/秒速率振动时，车体弹簧会受到同样频率的交变力，然而这一频率的还不足以引起车体显著的运动变化。如果去掉吸振器，在两个中的任何一个频率都会经常发生共振，而且很容易观察到。当车辆行驶在具有较大波长的不平路面时，车体的颠簸在中等速度时会发生共振。例如，在大约 30 英里/小时行驶在旧的混凝土路面上（每 40 英尺有结合点），如果没有吸振器，会发生非常强烈的颠簸。另一个固有频率的共振经常发生在以较低速度行驶在鹅卵石上，导致轮胎在振动的时候在每个周期都会脱离地面。安装冲击吸振器之后，可以消除以上缺陷。吸振器安装方式与缓冲器相同。在讨论吸振器的自用之前，首先讨论一下乘车舒适性问题。假定汽车匀速向前运动，哪个量应该用来作为考虑舒适性的指标呢？可能是底盘的竖向位移，或其他与之相关的量。这个量不会是位移的振幅自身：如果驾车翻过一座山，其振幅可以达到 3000 英尺，频率是 1 周/小时，但是可能仍然很舒适；也不会是速度：振动理论 北京大学力学系 陈永强 24没有人反对快速通过一个很陡的斜坡;也不会是竖向的加速度，因为稳定的加速度感觉上像一个静力，相当于重力加速度有个明显的变化，并感觉不到。但是突然的冲击会产生很不舒服的感觉。因此，舒适的标准是加速度的变化率?,这个量称为加加速度（jerk）。图 7.26 图 7.26 表示一个在轮胎弹簧上的车轮（或轮轴）。车轮驶过具有正弦形状的路面。汽车匀速移动时，其轮胎底部的运动为?.考虑具有相同质量的不同车轮，以相同的速度驶过同一路面?，但是轮胎的弹性常数是不同的。由路面经过弹簧传递给车轮或者轮轴的力，是相对位移的 倍:?/?其无量纲形式为?/?/?(7.71)可以看到，刚性弹簧（具有比较大的 或者镶钢框的轮子）传递的力很大，而软一些的（如充气轮胎）传递的力较小。再来看竖向的加速度。考虑一个正弦起伏的路面，或者在光滑的路面有一个隆起路障（图 7.27），假定钢圈轮为完全刚性。轮子的竖向加速度会按速度的平方增加。用表示路面上的隆起路障。以速度 行进的汽车，有,则竖向速度可以表示为?竖向加速度为?图 7.27 既然?的大小只取决于路障的形状，而与速度无关，可见竖向加速度随速度的平方增加。如果轮子是刚性的（没有轮胎），作用在轮子上的力，也就是作用在道路上的力，是轮子的质量与加速度的乘积。这样，作用在道路上的力也是与速度的平方成正比，因此，即使是中等速度行驶，橡胶轮胎是绝对必要的，可以起到通常的保护作用。轮胎基本上是保护路面和车轮的，因而主弹簧主要负责舒适性问题。如果给定了轮轴的运动?,如何设计主弹簧使其具有最大舒适性，即具有最小的加加速度?.由前面的知识可知，振动理论 北京大学力学系 陈永强 25?/?进一步微分后，有?/?(7.72)可参见“单自由度受迫振动”一章的图 4.6。在竖直方向上的弹簧应该做的尽可能软。大多数的道路冲击会比汽车的固有频率快，不会产生明显的加速度。在这些较高的道路冲击频率条件下，不需要安装阻尼。但是为了避免共振，还是希望安装阻尼。而且要考虑到路面的冲击是不规则的，汽车的运动将会包含稳态和自由振动两部分。阻尼有利于迅速消除自由振动。汽车上的动力吸振器大多数是液压的，与缓冲器的原理相同。轮轴与车体之间的相对位移相当于在充满油的圆筒中的活塞运动。在一定的压力下，里面的油从小孔流出，或者经过一个阀门流入活塞对侧的腔室。利用这样一种方式，产生了与相对运动反向的穿过弹簧的力，并大约与相对弹簧运动的速度成正比。吸振器的理想阻尼大小取决于路面条件。如果路面有连绵的起伏，大约 1 秒种经过一个起伏，那么临界阻尼是最理想的。如果路面上有相隔很近的隆起，较小的阻尼比较理想。7.8 参考书 1 Timoshenko S.Vibration problems in Engineering.4th Edition.1974，John Wiley&Sons,Inc 2 J.P.Den Hartog.Mechanical vibrations.McGraw-Hill Book Company,Inc,New York and London,1940 7.9 习题 7.1 Calculate the abscissas and ordinates of the points,and in 图 7.19.7.2 Calculate the natural frequency of the water in1the tank system of 图 7.24.7.3 Find the metacentric height of a body made of solid material of specific gravity,floating in water,having the shape of a parallepiped with a.Square cross section,floating with one of its sides parallel to the water.b.Triangular cross section of base and height floating with the base down and the point emerging from the water.c.The same triangular section with the point down.7.4 a.Calculate the two natural frequencies of the system of Figure 7.1,consisting of a weightless bar of length,two masses,and two springs.Figure 7.1 振动理论 北京大学力学系 陈永强 26b.Find the location of the“node”or center of rotation of the bar in each of the two natural modes.7.5 A weightless string is stretched with a large tension of lb.between two solid immovable supports.The length of the string is and it carries two masses at distances and from one of the supports.Find the shapes of the natural modes of motion by reasoning alone(witho