1、
1.5.2 二项式系数的性质及应用
一、基础过关
1．已知(a＋b)n的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n＝________.
2．已知n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n＝________.
3．(x－1)11展开式中x的偶次项系数之和是________．
4．(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式中各项系数和为________．
5．若n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．
6．(1＋2x)n的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，展开式中二项式系数最大的项为第______项．
二、能力提升
2、
7．在n的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是________．
8．如图，在二项式系数表中，第________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
9．已知(1＋2x)100＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a100(x－1)100，求a1＋a3＋a5＋…＋a99的值．
10．已知(1＋3x)n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项．
3、11．设(1－2x)2 013＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 013x2 013 (x∈R)．
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 013的值；
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 013的值；
(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 013|的值．
三、探究与拓展
12．已知(＋x2)2n的展开式的系数和比(3x－1)n的展开式的系数和大992，求2n的展开式中：
(1)二项式系数最大的项；
(2)系数的绝对值最大的项．
答案
1．8 2.6 3.－1 024 4.2n＋1－2 5.20 6．6、7 7．462 8．34
9．解 令x＝2，
4、可以得到5100＝a0＋a1＋a2＋…＋a100，①
令x＝0，可以得到1＝a0－a1＋a2－…＋a100，②
由①②得a1＋a3＋a5＋…＋a99＝(5100－1)．
10．解 由题意知，C＋C＋C＝121，
即C＋C＋C＝121，
∴1＋n＋＝121，
即n2＋n－240＝0，
解得：n＝15或－16(舍)．
∴在(1＋3x)15展开式中二项式系数最大的项是第8、9两项，且T8＝C(3x)7＝C37x7，T9＝C(3x)8＝C38x8.
11．解 (1)令x＝1，
得a0＋a1＋a2＋…＋a2 013＝(－1)2 013＝－1.①
(2)令x＝－1，
得a0－a1＋
5、a2－a3＋…－a2 013＝32 013.②
与①式联立，①－②得
2(a1＋a3＋…＋a2 013)＝－1－32 013，
∴a1＋a3＋…＋a2 013＝－.
(3)Tr＋1＝C(－2x)r＝(－1)r·C(2x)r，
∴a2k－1<0，a2k>0 (k∈N*)．
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 013|
＝a0－a1＋a2－…－a2 013
＝32 013(令x＝－1)．
12．解 由题意得22n－2n＝992，解得n＝5.
(1)10的展开式中第6项的二项式系数最大，
即T6＝C·(2x)5·5＝－8 064.
(2)设第r＋1项的系数的绝对值最大，
则Tr＋1＝C·(2x)10－r·r
＝(－1)r·C·210－r·x10－2r.
∴
得即
∴≤r≤，∴r＝3，
故系数的绝对值最大的是第4项
T4＝(－1)3C·27·x4＝－15 360x4.
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