第十三周周末作业（修改后）.doc

东陈初中九年级第十三周周末作业
考试范围：相似三角形、锐角三角函数；命题：九年级数学组
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．某水库大坝高20米，背水坝的坡度为1:，则背水面的坡长为( )
A.40米 B.60米 C.30米 D.20米
2．已知D、E分别在△ABC的BA、CA的延长线上，下列给出的条件中能判定ED∥BC的是（ ）
（A）＝； （B）＝；（C）＝； （D）＝．
3．如图，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高1.8m，他在地面上的影长为2.1m．若小芳比爸爸矮0.3m，则她的影长为（ ）．
A．1.3m B．1.65m C．1.75m D．1.8m
4．课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图,当太阳光线与地面成30°角时,测得旗杆AB在地面上的影长BC为24米,那么旗杆AB的高度约是( )
A．米 B．米 C．米 D．米

第4题 第5题
5．如图，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′、B′，A′、B′均在图中格点上，若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为( )
A、 B、（m，n） C、 D、
6．化简＝（ ）
A、B、C、D、
7．如图，△ABC的两个顶点BC均在第一象限，以点（0，1）为位似中心，在y轴左方作△ABC的位似图形△AB′C′，△ABC与△A′B′C的位似比为1：2．若设点C的纵坐标是m，则其对应点C′的纵坐标是（ ）
A． ﹣（2m﹣3） B． ﹣（2m﹣2） C． ﹣（2m﹣1） D． ﹣2m
8．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD为（　　）
A．2.5 B．1.6 C．1.5 D．1

第7题 第8题
9．如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底总G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为( )
A．20米 B．米 C．米 D．米

第9题 第11题
二、填空题
10．在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是边AB上一点，若△APD与△BPC相似，则满足条件的线段AP的长为 。
11．如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，AC的垂直平分线EF交AD于点E、交BC于点F，则EF= 。
12．在△ABC中，∠A,∠B都是锐角，若，则△ABC的形状为_______三角形.
13．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为 。

第13题 第14题
14．如图，在中，点D、E分别在BC、AC上，BE平分ABC，DE∥BA，若AB=7，BC=8．则线段的长度为 ．

第15题 第16题
15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AM是BC边上的中线，sin∠CAM=，则tan∠B的值为 。
三、解答题
16．如图，已知是△中的角平分线，是上的一点，且，，．求的长．

17．今年“五一“假期．某数学活动小组组织一次登山活动．他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点．再从B点沿斜坡BC到达山顶C点，路线如图所示．斜坡AB的长为1040米，斜坡BC的长为400米，在C点测得B点的俯角为30°．已知A点海拔121米．C点海拔721米．
（1）求B点的海拔；
（2）求斜坡AB的坡度

18．如图，有一块△ABC材料，BC=10，高AD=6，把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边GH在BC上，其余两个顶点E，F分别在AB，AC上，求矩形EFHG的周长l的取值范围。

19．“一炷香”是闻名中外的恩施大峡谷著名的景点．某校综合实践活动小组先在峡谷对面的广场上的A处测得“香顶”N的仰角为45°，此时，他们刚好与“香底”D在同一水平线上．然后沿着坡度为30°的斜坡正对着“一炷香”前行110，到达B处，测得“香顶”N的仰角为60°．根据以上条件求出“一炷香”的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到1米，参考数据：）．

20．如图，矩形纸片ABCD，点E是AB上一点，且BE∶EA=5∶3，EC=，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD边上，设这个点为F，（1）求AB，BC的长；（2）若⊙O内切于以F、E、B、C为顶点的四边形，求⊙O的面积。
A
EA
CA
BA
DA
OA

FA

21在中，，是边上一点，以为直径的与边相切于点，连结并延长与的延长线交于点
A
E
D
O
B
C
F

（1）求证：
（2）若，求的面积．
23．如图，⊙O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上一点，∠EAB=∠ADB.
（1）求证：EA是⊙O的切线；
（2）已知点B是EF的中点，求证：以A、B、C为顶点的三角形与△AEF相似；
（3）已知AF=4，CF=2，在（2）的条件下，求AE的长.

试卷第5页，总5页
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参考答案
1．A.
【解析】
试题分析：∵大坝高20米，背水坝的坡度为1：，
∴水平距离=20×=20米．
根据勾股定理可得背水面的坡长为40米．
故选A.
考点: 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
2．C
【解析】
试题分析：设FH=y，
∵矩形EFGH，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴=，
∴=，
∴EF=10﹣y，
∴l=2（EF+FH）=2（10﹣y+y）=20﹣y，
∵矩形EFHG在△ABC内，
∴0＜EF＜BC，
0＜10﹣y＜10，
解得：0＜y＜6，
两边都乘以﹣得：
∴0＞﹣y＞﹣8，
两边都加20得：
∴20＞20﹣y＞12，
即12＜l＜20，

故选C．

考点：相似三角形的判定与性质；不等式的性质；矩形的性质．
点评：本题综合考查了相似三角形的性质和判定，不等式的性质，矩形的性质等知识点，此题有一点难度，对学生提出较高要求，但题型较好．
3．B
【解析】
试题分析：如图所示做出图形

又

所以ED∥BC（内错角相等，两直线平行）
故选B．
考点：平行线分线段成比例
点评：本题解题关键是注意数形结合思想的应用，首先根据题意作图，然后由平行线分线段成比例定理即可判断得出答案。
4．C
【解析】分析：在同一时刻物高和影长成正比，即太阳光线照到两个物体上光线、物体、影子三者形成的直角三角形相似．
解答：解：根据相同时刻的物高与影长成比例，
设小芳的影长为xm，
则1.8/2.1=1.5/x，
解得x=1.75m．
故选C．
5．B．
【解析】
试题分析：∵太阳光线与地面成30°角,旗杆AB在地面上的影长BC为24米,∴旗杆AB的高度约是：AB=24tan30°=8米．
故选B．
考点：解直角三角形的应用．
6．D
【解析】
试题分析：根据A，B两点坐标以及对应点A′，B′点的坐标得出坐标变化规律，进而得出P′的坐标：
∵△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′、B′点A、B、A′、B′均在图中在格点上，
即A点坐标为：（4，6），B点坐标为：（6，2），A′点坐标为：（2，3），B′点坐标为：（3，1），位似比为2：1，
∴线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为：。
故选D。
7．A．
【解析】
试题分析：设点C的纵坐标为m，则A、C间的纵坐标的长度为（m-1），∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，
∴C′、A间的纵坐标的长度为2（m-1），
∴点C′的纵坐标是-[2（m-1）-1]=-（2m-3）．
故选：A．
考点:1.位似变换,2.坐标与图形性质.
8．A
【解析】
试题考查知识点：根式的化简，常见正切值的记忆。
思路分析：=︱a︱
具体解答过程：
∵tan30°=＜1
∴tan30°-1≤0
∵=-（tan30°-1）=1-tan30°=
故选A。
试题点评：由≥0可知，根式的化简结果必为非负数。
9．B．
【解析】
试题分析：连接OD、OE，
设AD=x，
∵半圆分别与AC、BC相切，
∴∠CDO=∠CEO=90°，
∵∠C=90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∴OD=CE，OE=CD，
∴CD=CE=4﹣x，BE=6﹣（4﹣x）=x+2，
∵∠AOD+∠A=90°，∠AOD+∠BOE=90°，
∴∠A=∠BOE，
∴△AOD∽OBE，
∴，
∴，
解得x=1.6，
故选B．
考点：1.切线的性质2.相似三角形的判定与性质．
10．A。
【解析】∵点G是BC中点，EG∥AB，

∴EG是△ABC的中位线。∴AB=2EG=30米。
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，
∴BC=ABtan∠BAC=30×=10米。
如图，过点D作DF⊥AF于点F．
在Rt△AFD中，AF=BC=10米，
则FD=AF•tanβ=10×∴=10米。
综上可得：CD=AB﹣FD=30﹣10=20米。故选A。
考点：解直角三角形的应用（仰角俯角问题），三角形中位线定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
11．3
【解析】设AP为x，表示出PB=10﹣x，然后分AD和PB是对应边AD和BC是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．
解：设AP为x，
∵AB=10，
∴PB=10﹣x，
①AD和PB是对应边时，
∵△APD与△BPC相似，
∴=，
即=，
整理得，x2﹣10x+16=0，
解得x1=2，x2=8，

②AD和BC是对应边时，
∵△APD与△BPC相似，
∴=，
即=，
解得x=5，
所以，当AP=2、5、8时，△APD与△BPC相似，
满足条件的点P有3个．
故答案为：3．
12．
【解析】解：连接EC，

∵AC的垂直平分线EF，
∴AE=EC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠B90°，AB=CD=2，AD=BC=4，AD∥BC，
∴△AOE∽△COF，
∴AO／OC =OE／OF ，
∵OA=OC，
∴OE=OF，
即EF=2OE，
在Rt△CED中，由勾股定理得：CE2=CD2+ED2，
集CE2=（4-CE）2+22，
解得： CE=，
∵在Rt△ABC中，AB=2，BC=4，由勾股定理得：AC=，
∴CO=，
∵在Rt△CEO中，CO=，CE=，由勾股定理得：EO=，
∴EF=2EO=，
连接CE，根据矩形性质得出∠D=∠B=90°，AB=CD=2，AD=BC=4，AD∥BC，求出EF=2EO，在Rt△CED中，由勾股定理得出CE2CD2+ED2，求出CE值，求出AC、CO、EO，即可求出EF．
13．等边．
【解析】
试题分析：根据∠A、∠B都是锐角，sinA=，cosB=，求出∠A、∠B的度数，根据三角形的内角和定理求出∠C的度数，可得出△ABC的形状．
∵∠A、∠B都是锐角，sinA=，cosB=，
∴∠A=60°，∠B=60°，
∴∠C=180°-60°-60°=60°，
∴△ABC为等边三角形．
故答案为：等边．
考点：特殊角的三角函数值．
14．9
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC；
∴CD=BC-BD=AB-3；
∴∠BAD+∠ADB=120°
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠EDC=120°，
∴∠DAB=∠EDC，
又∵∠B=∠C=60°，
∴△ABD∽△DCE；
∴ ，即
解得AB=9．
故答案为：9．
15．
【解析】
试题分析：由BE平分∠ABC，DE∥BA可知，∠ABE=∠DBE=∠DEB，可得BD=DE（设为x），利用平行线得△ABC∽△EDC，由相似比求DE．
∵BE平分∠ABC，DE∥BA，
∴∠ABE=∠DBE=∠DEB，
∴BD=DE，
设DE=x，
又∵DE∥BA，
∴△ABC∽△EDC，
∴，，解得
则线段的长度为．
考点：三角形相似的判定与性质
点评：解题的关键是根据已知条件得出相等角，继而可证得等腰三角形，利用平行线构造相似三角形．
16．AB=24，BC=30，⊙O的面积=100．（1+1+2分）
【解析】（1）求线段的长度问题，题中可先设其长度为k，然后利用三角形相似建立平衡关系，再用勾股定理求解即可．
（2）连接OB，由⊙O内切于以F、E、B、C为顶点的四边形，则BE=EF，BC=CF；再由BE：EA=5：3可以设BE=5x，EA=3x，则FA=4x，CD=8x，又CF=AD，CF2=CD2+DF2，可得CF=10x，DF=6x，则BC=10x；在Rt△EBC中，由勾股定理可求得x的值，再由面积S△EBC=S△OEB+S△OBC求得⊙O半径，求出面积．
解：（1）∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=∠D=90°，BC=AD，AB=CD，
∴∠AFE+∠AEF=90°
∵F在AD上，∠EFC=90°
∴∠AFE+∠DFC=90°
∴∠AEF=∠DFC
∴△AEF∽△DFC
∴=．
∵BE：EA=5：3
设BE=5k，AE=3k
∴AB=DC=8k，
由勾股定理得：AF=4k，
∴=
∴DF=6k
∴BC=AD=10k
在△EBC中，根据勾股定理得BE2+BC2=EC2
∵CE=15，BE=5k，BC=10k
∴(5k)2+(10k)2=(15)2
∴k=3
∴AB=8k=24，BC=10k=30

（2）连接OB，
由于⊙O内切于以F、E、B、C为顶点的四边形，则BE=EF，BC=CF；
由BE：EA=5：3，设BE=5x，EA=3x，
则FA=4x，CD=8x，又CF=AD，∴CF2=CD2+DF2，即CF2=（8x）2+（CF-4x）2，可得CF=10x，DF=6x，则BC=10x；
在Rt△EBC中，EB2+BC2=EC2，即（5x）2+（10x）2=15 2，
解得：x=3，则BE=15，BC=30．
再由S△EBC=S△OEB+S△OBC，则×BE×BC=×BE×r+×BC×r，
解得：r=10；
则⊙O的面积为πr2=100π．

本题考查了矩形的性质，会解决一些简单的翻折问题，能够利用勾股定理求解直角三角形；同时也考查了切线的性质及勾股定理的应用，难度稍大，解题时要理清思路．
17．
【解析】
考点：解直角三角形．
分析：根据∠CAM的正弦值，用未知数表示出MC、AM的长，进而可表示出AC、BC的长．在Rt△ABC中，求∠B的正切值．
解答：解：Rt△AMC中，sin∠CAM==，
设MC=3x，AM=5x，则AC==4x．
∵M是BC的中点，∴BC=2MC=6x．
在Rt△ABC中，tan∠B===．
点评：本题考查了解直角三角形中三角函数及勾股定理的应用，要熟练掌握好边与边、边与角之间的关系．

18．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）5.
【解析】
试题分析：（1）将变形为，又由∠1=∠2，从而根据相似三角形的判定得出结论.
（2）由△∽△得∠3=∠4到，根据等角的补角相等得，由是公共角，根据相似三角形的判定得出结论.
（3）由△∽△得，即，代入数据求解即可.
试题解析：（1）如图，∵，∴.
又∵∠1=∠2，∴△∽△.
（2）∵△∽△，∴∠3=∠4.
∴.
又∵，∴△∽△.
（3）∵△∽△，∴，即.
∵，，∴，解得.

考点：相似三角形的判定和性质.
19．

解：如图，过C作CF⊥AM，F为垂足，过B点作BE⊥AM，BD⊥CF，E、D为垂足．
在C点测得B点的俯角为30°，
∴∠CBD=30°，又BC=400米，
∴CD=400×sin30°=400×=200（米）．
∴B点的海拔为721﹣200=521（米）．
（2）∵BE=DF=CF﹣CD=521﹣121=400米，
∴AB=1040米，AE===960米，
∴AB的坡度iAB===，故斜坡AB的坡度为1：2.4．
【解析】略
20． “一炷香”的高度为150米。
【解析】
分析：首先过点B作BF⊥DN于点F，过点B作BE⊥AD于点E，可得四边形BEDF是矩形，然后在Rt△ABE中，由三角函数的性质，可求得AE与BE的长，再设BF=x米，利用三角函数的知识即可求得方程：55+x=x+55，继而可求得答案。
解：过点B作BF⊥DN于点F，过点B作BE⊥AD于点E，

∵∠D=90°，∴四边形BEDF是矩形。
∴BE=DF，BF=DE。
在Rt△ABE中，AE=AB•cos30°=110×=55（米），BE=AB•sin30°=110×=55（米）。
设BF=x米，则AD=AE+ED=55+x（米），
在Rt△BFN中，NF=BF•tan60°=x（米），
∴DN=DF+NF=55+x（米），
∵∠NAD=45°，∴AD=DN，即55+x=x+55，解得：x=55。
∴DN=55+x≈150（米）。
答：“一炷香”的高度为150米。

21．证明：连结．切于，
A
E
D
O
B
C
F

，又即，，．又，，

22．设半径为，由得．
，即， ，
解之得（舍）．
【解析】略
23．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
【解析】
试题分析：（1）连接CD，由AC是⊙O的直径，可得出∠ADC=90°，由角的关系可得出∠BAC=90°，即得出EA是⊙O的切线.
（2）连接BC，由AC是⊙O的直径，可得出∠ABC=90°，由在RT△EAF中，B是EF的中点，可得出∠BAC=∠AFE，即可得出△EAF∽△CBA.
（3）由△EAF∽△CBA，可得出，由比例式可求出AB，由勾股定理得出AE的长．
试题解析：解：（1）证明：如答图1，连接CD，
∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°.
∴∠ADB+∠EDC=90°.
∵∠BAC=∠EDC，∠EAB=∠ADB，
∴∠BAC=∠EAB+∠BAC=90°.
∴EA是⊙O的切线.

（2）证明：如答图2，连接BC，
∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°.
∴∠CBA=∠ABC=90°.
∵B是EF的中点，∴在Rt△EAF中，AB=BF.
∴∠BAC=∠AFE.∴△EAF∽△CBA.

（3）∵△EAF∽△CBA，∴.
∵AF=4，CF=2，∴AC=6，EF=2AB.
∴，解得AB=.∴EF=.
∴.
考点：1.圆周角定理；2.切线的判定；3.相似三角形的判定与性质；4.勾股定理．
答案第11页，总12页