1、2013年普通高等学校招生全国各省市统一考试数学试卷与答案 2013年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）解析答案第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1 已知集合A1，0，1，Bx|1x1，则AB()A0 B1，0 C0，1 D1，0，11【答案】B解析 1B，0B，1B，AB1，0，故选B.2 在复平面内，复数(2i)2对应的点位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2【答案】D解析 (2i)244ii234i，对应的复平面内点的坐标为(3，4)，所以选D.3、 “”是“曲线ysin(
2、2x)过坐标原点”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3【答案】A解析 曲线ysin(2x)过坐标原点，sin 0，k，k，故选A.4 执行如图11所示的程序框图，输出的S的值为()图11A1 B. C. D.4【答案】C解析 执行第一次循环时S，i1；第二次循环S，i2，此时退出循环，故选C.5 函数f(x)的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线yex关于y轴对称，则f(x)()Aex1 Bex1 Cex1 Dex15【答案】D解析 依题意，f(x)向右平移一个单位长度得到f(x1)的图像，又yex的图像关于y轴对称的图像的解析式为yex，所
3、以f(x1)ex，所以f(x)ex1.6 若双曲线1的离心率为，则其渐近线方程为()Ay2x Byx Cyx Dyx6【答案】B解析 由离心率为，可知ca，c23a2，b22a2，ba，双曲线的渐近线方程为yxx.7 直线l过抛物线C：x24y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于()A. B2 C. D.7【答案】C解析 由题意得直线l的方程是y1，代入抛物线方程得x2，所以直线l与抛物线C所围成图形的面积S42dx.8 设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x02y02，求得m的取值范围是()A. B. C. D.8【答案】C解析 在直角坐标系中画出
4、可行域，如图所示，由题意可知，可行域内与直线x2y2有交点，当点(m，m)在直线x2y2上时，有m，所以m0(x0，x1)g(x)满足g(1)0，且g(x)1f(x).当0x1时，x210，ln x0，所以g(x)1时，x210，ln x0，所以g(x)0，故g(x)单调递增所以g(x)g(1)0(x0，x1)所以除切点之外，曲线C在直线L的下方19， 已知A，B，C是椭圆W：y21上的三个点，O是坐标原点(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由19【答案】解：(1)椭圆W：y21的右顶点B的坐
5、标为(2，0)因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分所以可设A(1，m)，代入椭圆方程得m21，即m.所以菱形OABC的面积是|OB|AC|22|m|.(2)假设四边形OABC为菱形因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为ykxm(k0，m0)由消y并整理得(14k2)x28kmx4m240.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则，km.所以AC的中点为M.因为M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为.因为，所以AC与OB不垂直所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形20， 已知an是由非负整数组成的无穷
6、数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an1，an2，的最小值记为Bn，dnAnBn.(1)若an为2，1，4，3，2，1，4，3，是一个周期为4的数列(即对任意n，an4an)，写出d1，d2，d3，d4的值；(2)设d是非负整数，证明：dnd(n1，2，3，)的充分必要条件为an是公差为d的等差数列；(3)证明：若a12，dn1(n1，2，3，)，则an的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.20【答案】解：(1)d1d21，d3d43.(2)(充分性)因为an是公差为d的等差数列，且d0，所以a1a2an.因此Anan，Bnan1，dnanan1d(n1，2，3，)(必要性)因
7、为dnd0(n1，2，3，)所以AnBndnBn.又因为anAn，an1Bn，所以anan1.于是，Anan，Bnan1.因此an1anBnAndnd，即an是公差为d的等差数列(3)因为a12，d11，所以A1a12，B1A1d11.故对任意n1，anB11.假设an(n2)中存在大于2的项设m为满足am2的最小正整数，则m2，并且对任意1k2，于是，BmAmdm211，Bm1minam，Bm1.故dm1Am1Bm1n，且am1，即数列an有无穷多项为1. 要使可行域存在，必有m2m+1，要求可行域内包含直线上的点，只要边界点(m，12m)在直线上方，且(-m，m)在直线下方，解不等式组得m 11
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