离散数学重点(2011离散数学A卷(郑州轻工业学院)).doc

离散数学重点这个只是离散的重点，有些重点没介绍太多，去课本上找到，好好了解下，题目就是做老师给的那几套题就够了，通过做题对重点更加理解。有题不会的QQ问，不发答案了。按章节开始。数理逻辑1.，前键为真，后键为假才为假；，相同为真，不同为假；2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积；3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反；4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假；5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写；6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项；7.n个变元共有n2个极小项或极大项，这2n为(0 2n-1)刚好为化简完后的主析取加主合取；8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式；9.推证蕴含式的方法(=)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假)10.命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则真值表法；直接证法；归谬法；附加前提法；11.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质；多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系；2.全称量词用蕴含，存在量词用合取;12.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词；集合论第六章 集合1.N，表示自然数集，1,2,3，不包括0；2.基：集合A中不同元素的个数，|A|；3.幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)；4.若集合A有n个元素，幂集P(A)有2n个元素，|P(A)|= = 2n；5.集合的划分：(等价关系)每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合；这几个子集相交为空，相并为全(A)；6.集合的分划与覆盖的比较：分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中；覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次；第七章二元关系1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔AB的基数为mn，A到B上可以定义种不同的关系；2.若集合A有n个元素，则|AA|=，A上有个不同的关系；3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性；空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性；全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性；4.前域(domR)：所有元素x组成的集合；后域(ranR)：所有元素y组成的集合；5. 自反闭包：r(R)=RUIA; 对称闭包：s(R)=RUR1; 传递闭包： 6.等价关系：集合A上的二元关系R满足自反性，对称性和传递性，则R称为等价关系；7.偏序关系：集合A上的关系R满足自反性，反对称性和传递性，则称R是A上的一个偏序关系；8.covA=|x,y属于A，y盖住x；9.极小元：集合A中没有比它更小的元素(若存在可能不唯一)；极大元：集合A中没有比它更大的元素(若存在可能不唯一)；最小元：比集合A中任何其他元素都小(若存在就一定唯一)；最大元：比集合A中任何其他元素都大(若存在就一定唯一)；10.前提：B是A的子集上界：A中的某个元素比B中任意元素都大，称这个元素是B的上界(若存在，可能不唯一)；下界：A中的某个元素比B中任意元素都小，称这个元素是B的下界(若存在，可能不唯一)；上确界：最小的上界(若存在就一定唯一)；下确界：最大的下界(若存在就一定唯一)；第八章函数1.若|X|=m,|Y|=n,则从X到Y有mn2种不同的关系，有mn种不同的函数；2.在一个有n个元素的集合上，可以有22n种不同的关系，有nn种不同的函数，有n!种不同的双射；3.若|X|=m,|Y|=n，且m=n，则从X到Y有Amn种不同的单射；4.单射：f:X-Y，对任意1x,2x属于X,且1x2x，若f(1x)f(2x)；满射：f:X-Y，对值域中任意一个元素y在前域中都有一个或多个元素对应；双射：f:X-Y，若f既是单射又是满射，则f是双射；5.复合函数：fg=g(f(x);6.设函数f:A-B，g:B-C，那么(1).如果f,g都是单射，则fg也是单射；(2.)如果f,g都是满射，则fg也是满射；(3.)如果f,g都是双射，则fg也是双射；(4.)如果fg是双射，则f是单射，g是满射；代数结构第九章代数系统1.二元运算：集合A上的二元运算就是到A的映射；2.集合A上可定义的二元运算个数就是从AA到A上的映射的个数，即从从AA到A上函数的个数，若|A|=2,则集合A上的二元运算的个数为16种；3.判断二元运算的性质方法：封闭性：运算表内只有所给元素；交换律：主对角线两边元素对称相等；幂等律：主对角线上每个元素与所在行列表头元素相同；有幺元：元素所对应的行和列的元素依次与运算表的行和列相同；有零元：元素所对应的行和列的元素都与该元素相同；4.同态映射：,满足f(a*b)=f(a)f(b),则f为由到的同态映射；若f是双射，则称为同构；第十章群1.广群的性质：封闭性；半群的性质：封闭性，结合律；含幺半群(独异点)：封闭性，结合律，有幺元；群的性质：封闭性，结合律，有幺元，有逆元；2.群没有零元；3.阿贝尔群(交换群)：封闭性，结合律，有幺元，有逆元，交换律；4.循环群中幺元不能是生成元；5.任何一个循环群必定是阿贝尔群；第十一章格与布尔代数1.格：偏序集合A中任意两个元素都有上、下确界；2.格的基本性质：1)自反性aa对偶:aa2)反对称性abba=a=b对偶:abba=a=b3)传递性abbc=ac对偶:abbc=ac4)最大下界描述之一aba对偶avbaAbb对偶avbb5）最大下界描述之二ca,cb=cab对偶ca,cb=cavb6)结合律a(bc)=(ab)c对偶av(bvc)=(avb)vc7)等幂律aa=a对偶ava=a8)吸收律a(avb)=a对偶av(ab)=a9)abab=aavb=b10)ac,bd=abcdavbcvd11)保序性bc=abacavbavc12）分配不等式 av(bc)(avb)(avc)对偶a(bvc)(ab)v(ac)13）模不等式acav(bc)(avb)c3.分配格：满足a(bvc)=(ab)v(ac)和av(bc)=(avb)(avc)；4.分配格的充要条件：该格没有任何子格与钻石格或五环格同构；5.链格一定是分配格，分配格必定是模格；6.全上界：集合A中的某个元素a大于等于该集合中的任何元素，则称a为格A,的全上界，记为1；(若存在则唯一)全下界：集合A中的某个元素b小于等于该集合中的任何元素，则称b为格A,的全下界，记为0；(若存在则唯一)7.有界格：有全上界和全下界的格称为有界格，即有0和1的格；8.补元：在有界格内，如果ab=0,avb=1，则a和b互为补元；9.有补格：在有界格内，每个元素都至少有一个补元；10.有补分配格(布尔格)：既是有补格，又是分配格；11.布尔代数：一个有补分配格称为布尔代数；图论1.邻接：两点之间有边连接，则点与点邻接；2.关联：两点之间有边连接，则这两点与边关联；3.平凡图：只有一个孤立点构成的图；4.简单图：不含平行边和环的图；5.无向完全图：n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单无向图；有向完全图:n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单有向图；6.无向完全图有n(n-1)/2条边，有向完全图有n(n-1)条边；7.r-正则图：每个节点度数均为r的图；8.握手定理：节点度数的总和等于边的两倍；9.任何图中，度数为奇数的节点个数必定是偶数个；10.任何有向图中，所有节点入度之和等于所有节点的出度之和；11.每个节点的度数至少为2的图必定包含一条回路；12.可达：对于图中的两个节点iv,jv，若存在连接iv到jv的路，则称iv与jv相互可达，也称iv与jv是连通的；在有向图中，若存在iv到jv的路，则称iv到jv可达；13.强连通：有向图章任意两节点相互可达；单向连通：图中两节点至少有一个方向可达；弱连通：无向图的连通；(弱连通必定是单向连通)14.点割集：删去图中的某些点后所得的子图不连通了，如果删去其他几个点后子图之间仍是连通的，则这些点组成的集合称为点割集；割点：如果一个点构成点割集，即删去图中的一个点后所得子图是不连通的，则该点称为割点；15.关联矩阵：M(G)，ijm是iv与je关联的次数，节点为行，边为列；无向图：点与边无关系关联数为0，有关系为1，有环为2；有向图：点与边无关系关联数为0，有关系起点为1终点为-1，关联矩阵的特点：无向图：行：每个节点关联的边，即节点的度；列：每条边关联的节点；有向图：所有的入度(1)=所有的出度(0);16.邻接矩阵：A(G)，ija是iv邻接到jv的边的数目，点为行，点为列；17.可达矩阵：P(G)，至少存在一条回路的矩阵，点为行，点为列；P(G)=A(G)+2A(G)+3A(G)+4A(G)可达矩阵的特点：表明图中任意两节点之间是否至少存在一条路，以及在任何节点上是否存在回路；A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为1的通路条数；2A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为2的通路条数；3A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为3的通路条数；A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为4的通路条数；P(G)中主对角线所有数的和：表示图中的回路条数；18.布尔矩阵：B(G)，iv到jv有路为1，无路则为0，点为行，点为列；19.代价矩阵：邻接矩阵元素为1的用权值表示，为0的用无穷大表示，节点自身到自身的权值为0；20.生成树：只访问每个节点一次，经过的节点和边构成的子图；21.构造生成树的两种方法：深度优先；广度优先；深度优先：选定起始点0v；选择一个与0v邻接且未被访问过的节点1v；从1v出发按邻接方向继续访问，当遇到一个节点所有邻接点均已被访问时，回到该节点的前一个点，再寻求未被访问过的邻接点，直到所有节点都被访问过一次；广度优先：选定起始点0v；访问与0v邻接的所有节点1v,2v,kv,这些作为第一层节点；在第一层节点中选定一个节点1v为起点；重复，直到所有节点都被访问过一次；22.最小生成树：具有最小权值(T)的生成树；23.构造最小生成树的三种方法：克鲁斯卡尔方法；管梅谷算法；普利姆算法；（1）克鲁斯卡尔方法将所有权值按从小到大排列；先画权值最小的边，然后去掉其边值；重新按小到大排序；再画权值最小的边，若最小的边有几条相同的，选择时要满足不能出现回路，然后去掉其边值；重新按小到大排序；重复，直到所有节点都被访问过一次；（2）管梅谷算法(破圈法)在图中取一回路，去掉回路中最大权值的边得一子图；在子图中再取一回路，去掉回路中最大权值的边再得一子图；重复，直到所有节点都被访问过一次；（3）普利姆算法在图中任取一点为起点1v，连接边值最小的邻接点2v；以邻接点2v为起点，找到2v邻接的最小边值，如果最小边值比1v邻接的所有边值都小(除已连接的边值)，直接连接，否则退回1v，连接1v现在的最小边值(除已连接的边值)；重复操作，直到所有节点都被访问过一次；24.欧拉路：经过图中每条边一次且仅一次的通路；欧拉回路：经过图中每条边一次且仅一次的回路；欧拉图：具有欧拉回路的图；单向欧拉路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向路；欧拉单向回路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向回路；25.（1）无向图中存在欧拉路的充要条件：连通图；有0个或2个奇数度节点；（2）无向图中存在欧拉回路的充要条件：连通图；所有节点度数均为偶数；（3） 连通有向图含有单向欧拉路的充要条件： 两个节点外，每个节点入度=出度；这两个节点中，一个节点的入度比出度多1，另一个节点的入度比出度少1；（4）连通有向图含有单向欧拉回路的充要条件：图中每个节点的出度=入度；26.哈密顿路：经过图中每个节点一次且仅一次的通路；哈密顿回路：经过图中每个节点一次且仅一次的回路；哈密顿图：具有哈密顿回路的图；27.判定哈密顿图（没有充要条件）必要条件：任意去掉图中n个节点及关联的边后，得到的分图数目小于等于n；充分条件：图中每一对节点的度数之和都大于等于图中的总节点数；28.哈密顿图的应用：安排圆桌会议；方法：将每一个人看做一个节点，将每个人与和他能交流的人连接，找到一条经过每个节点一次且仅一次的回路(哈密顿图)，即可；29.平面图：将图形的交叉边进行改造后，不会出现边的交叉，则是平面图；30.面次：面的边界回路长度称为该面的次；31.一个有限平面图，面的次数之和等于其边数的两倍；32.欧拉定理：假设一个连通平面图有v个节点，e条边，r个面，则v-e+r=2；33.判断是平面图的必要条件：(若不满足，就一定不是平面图)设图G是v个节点，e条边的简单连通平面图，若v=3，则e=1)；深度为k的二叉树的节点总数最多为k2-1个，最少k个(k=1)；如果有0n个叶子，2n个2度节点，则0n=2n+1；41.二叉树的节点遍历方法：先根顺序（DLR）；中根顺序（LDR）；后根顺序（LRD）；42.哈夫曼树：用哈夫曼算法构造的最优二叉树；43.最优二叉树的构造方法：将给定的权值按从小到大排序；取两个最小值分支点的左右子树(左小右大)，去掉已选的这两个权值，并将这两个最小值加起来作为下一轮排序的权值；重复，直达所有权值构造完毕；44.哈夫曼编码：在最优二叉树上，按照左0右1的规则，用0和1代替所有边的权值；每个节点的编码：从根到该节点经过的0和1组成的一排编码；