一类考虑无症状感染者的时滞甲型流感模型.pdf

2023年4月Apr.,2023第39卷第2期Vo l.39,No.2滨州学院学报Jo u rn a l o f Bin zh o u Un iv ersit y【微分方程与动力系统研究】一类考虑无症状感染者的时滞甲型流感模型张子振，张伟诗(安徽财经大学管理科学与工程学院，安徽蚌埠233030)摘要：研究一类考虑无症状感染者的时滞甲型流感模型，以无症状感染者向有症状感染者 转变所经历的时间周期时滞为分岔参数，推导出模型产生Ho pf分岔的充分条件，并通过计算机 数值模拟验证了所得结果的正确性。关键词：甲型流感模型；时滞；Ho pf分岔 中图分类号:O 175 文献标识码:A DOI：10.13486/j.c n k i.1673-2618.2023.02.0060引言相比于普通感冒，流感的传染性更强，症状更加严重。目前，全球范围来看，流感病毒以甲型为主，甲 型流感对人类的健康威胁以及整个社会公共卫生体系的威胁最为严重A幻。近年来，学者提出了不同形式 的流感模型，通过分析其动力学性质,探索流感传播规律。文献3研究了一类H1N1流感模型,讨论了 H1N1流感传播的时间节点。文献口,4分别研究了一类考虑疫苗接种的流感模型，并分析了疫苗接种对 流感传播控制的有效性。文献5提出了一类随机甲型流感模型，并推导出流感灭绝的充分条件。以上流感模型均未考虑无症状感染者对流感传播的影响。在2009年H1N1流感爆发期间，有75%的感染者是无症状感染者，并且无症状感染者的出现会严重影响药物预防等措施的有效性。因此，最 近，文献7提出了考虑无症状感染者的甲型流感模型y=(l-)A-S(z)-fS(f)-S(O(I(z)+M(t)+71A()+72I(O+73V(f),=S(z)A(z)沁-Z1A(f),+*”+/L)(“+卩+了3)则模型(2)存在唯一疾病平衡点0(9,A.,V.),其中，cT _ _ _*闭?*(/+了2)_(“+丿+九)4 _(i?0 l)A/z(l/?)+/3i5(ju+/2)_(/+v+/i)H _A/j/35+(ju+v+/i)A*=丄丄丄亠丄丄一“=肌/z(/z+/3)(/+v+/2)(/z+y+/i)模型(2)在疾病平衡点D.(9,A#，匚,V.)处的特征方程为A4+/o 3A3+/o 2A2+7o iA+/o o+(v A3+/i2A2+/n A+/io)e_Ar=0,(3)“+了2*其中,/o o=022033(011044 卩了3)012021033 044+013 031033044，Zoi=(033+044)(012021 011022)卩33044(011+他2)+仞3(022+角3)013031(卩22+044),702=013031 012021 刃3+011022+033044+(阳+022)(033+044)，九3=(011+022+033+044)，710=咱13044(021+向1)+咱33(”3 011044)，711=1133+”11044+033044%”13 021 013031)，712=一？(州+33+仪4)。当了=0时，方程(3)变为A4+/23A3+722F+721 入+了20=0,其中，了20=/o o+710，/21=701+711，/22=/02+/12，?23=九3+几引理1叨 当Rq1时，方程(4)的根均具有负实部，即，当=0时，模型(2)局部渐近稳定。当?0时，假设A=ia(a 0)为方程(3)的根，则有f(7iia v a3)sin(fa!)+(/io/12a2)c o s(fa)=/022 a4 7o o,l(7n a v a3)c o s(fa)(/10/i2a2)sin()=yo3a3_ 7o ia0 进而，得到关于a的代数方程a8+y33a+yS2a+y3ia+了3()=0，(4)(5)(6)其中，730=0 7?0731=71 2y00/02+2y10y12 yh,/32 2y01y03+2y00 2+2p/n?/33=/o3 2/02令/=於则方程(6)变为/oX4+/33X3+沧才+沧丫+沧=0。假设方程(7)存在正实根的，则对于方程(6)存在正实根aQ=0对于他，利用方程(5),有#1(a o)1、a o l 2Ao(a o)I(7)(8)36第2期张子振，张伟诗 一类考虑无症状感染者的时滞甲型流感模型其中，o（fl o）+（并2 2必1）+（711 2y10九）址十内,1（0）=（/12 y/o 3）Q!0+（711 7o3+001/10 /12/o 2）fl!o+（/1o7o2 711/o i+兀2/o o）0 /io/o o o 对方程（3）左右两边求A关于丫的导数，有卫厂=_ 4入 3+3了03屮+2刃）2 入+九1 _|_ 3 以2+212 入+了11 _ 1Ld y 入（入+了03入+沧入2+九1 入+了00）入（以+了12人2+/11A+/10）A 所以Re爰匚=鬆弩，其中丄（疋=7叔+心+沧+冷,朋=。显然，如果1/（妙）工0,则 Re卷匚工0。根据文献8冲关于动力系统Ho pf分岔存在性定理，得到下列结果。定理1如果RO 1,当0,）时，模型（2）局部渐近稳定；当7=0时，模型（2）产生Ho pf分岔，并 在D*（S.,A.,1,V*）附近产生一簇分岔周期解。其中，0如方程（8）中的定义。2数值模拟选取 p=0.25,A=1)/Z=O.l，9?=0.02,p=0 4,5=0 75*1=0.1,了2=0 25*3=0.03,y=0.03,模型(2)变为=0.75-0.12S(f)-0.4S(t)(I(t)+0.75A(f)+0.l A(z)+0.25J(z)+0.03V(f),atj-=0.3S(t)A(i)-0.2A(z)-0.03A(tQ,=0.4S(t)Z(t)+0.03A(f-)-0.351(f),=0.25+0.02S(f)-0.13V()oat(9)经过计算得到i?o=9.1304 l且d 字护=0.6571O因此，模型（9）存在唯一疾病平衡点 D,（0.7667,4.2500,2.9423,2.0410）0 进而，a=3.2158,=56.0355。选取 丫=52.6879 和【=59.8529 进行仿真，效果图如图1、图2所示。图1当=52.68790,勺）时，模型（9）局部渐近稳定0 1000 2000图2当=59.8529。时，模型（9）失去稳定当了=52.68790,勺=56.0355）,根据定理1可知，此时模型（9）局部渐近稳定，见图1。当$=59.8529勺时，模型（9）失去稳定并在彳=56.0355附近产生Ho pf分岔，在有疾病平衡点处D,(0.7667,4.2500,2.9423,2.0410)产生分岔周期解，见图 2。37 滨州学院学报第39卷3小结本文在文献7提出的甲型流感模型中，进一步引入无症状感染者向有症状感染者转变所经历的时间 周期时滞，提出了一类时滞甲型流感模型。利用特征值法，以无症状感染者向有症状感染者转变所经历的 时间周期时滞为分岔参数，讨论了模型Ho pf分岔的存在性。研究结果表明，无症状感染者向有症状感染 者转变所经历的时间周期足够小时(低于临界值0),模型局部渐近稳定，模型中易感者、无症状感染者、有症状感染者和免疫者的数量逐渐趋近于疾病平衡点。此时，甲型流感的传播易于预测和控制。一旦无 症状感染者向有症状感染者转变所经历的时间周期高于临界值那么模型失去稳定，在附近产生 Ho pf分岔。此时,模型中易感者、无症状感染者、有症状感染者和免疫者的数量在疾病平衡点附近呈现出 周期震荡，不利于甲型流感的传播控制。参考文献：口王晓静，白玉珍，王丹，等.一类具有疫苗接种和有限医疗资源的流感模型的动力学研究J.数学的 实践与认识，2020,50(3):235-240.2 李査，梁丁元，穆云松，等.甲型流感的流行与防控分析及其对新冠肺炎疫情的启示J.环境科学研 究,2020,33(7):1562-1570.3 张珍.一类H1N1流感模型性态研究J.太原师范学院学报(自然科学版),2017,16(1),9-11.4 吴荣杰，冯光庭，张兴安，等.流感模型的数据模拟和动力学分析口.数学的实践与认识,2018,48(8):143-152.5 ZHANG T Q,DING T T,GAO N,et a l.Dyn a mic a l beh a v io r o f a st o c h a st ic SIRC mo d el fo r in fl uen za AJ,Symmet ry,2020,12(5):1-1&6 HAYWARD A C,FRAGASZY E B,BERMINGHAM A,et a l.Co mpa ra t iv e c o mmu n it y bu rd en a n d sev erit y o f sea so n a l a n d pa n d emic in fl u en za:resu l t s o f t h e fl u w a t c h c o h o rt st u d y J.Th e l a n c et respira t o ry med ic in e,2014,2(6)：445-454.7 GUAN X Z,YANG F,CAI Y L,et a l.Gl o ba l st a bil it y o f a n in fl u en za A mo d el w it h v a c c in a t io n J.Appl ied ma t h ema t ic s l et t ers,2022,134(7)：1-6.8 HASSARD B D,KAZARINOFF N D,WAN Y H.Th eo ry a n d a ppl ic a t io n s o f Ho pf bifu rc a t io n M.Ca mbrid ge:Ca mbrid ge Un iv ersit y Press,1981.A Delayed Influenza A Model for Incorporating Asymptomatic PatientsZHANG Zi-zh en,ZHANG Wei-sh i(Sch o o l o f Management Science and Engineering,Anh u i Universit y o f Finance and Eco no mics,Bengbu 233030,Ch ina)Abstract:A d el a yed in fl u en za A mo d el fo r in c o rpo ra t in g a sympt o ma t ic pa t ien t s is st u d ied.Ta k in g t h e t ime d el a y d u e t o t h e perio d t h a t t h e a sympt o ma t ic pa t ien t s bec o me sympt o ma t ic pa t ien t s a s t h e bifu rc a t io n pa ra met er,su ffic ien t c o n d it io n s fo r t h e o c c u rren c e o f t h e Ho pf bifu rc a t io n a re d eriv ed.Th e c o rrec t n ess o f t h e resu l t s is v erified by c o mpu t er n u meric a l simu l a t io n s.Keywords:in fl u en za A mo d el；d el a y；Ho pf bifu rc a t io n(责任编辑：贾晶晶)38