微分中值定理复习市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2010-11-28,#,二、导数应用,习题课,一、微分中值定理及其应用,中值定理及导数应用,第四章,第1页,第1页,拉格朗日中值定理,一、微分中值定理及其应用,1.,微分中值定理及其互相关系,罗尔定理,柯西中值定理,泰勒中值定理,第2页,第2页,2.,微分中值定理主要应用,(1),研究函数或导数性态,(2),证实恒等式或不等式,(3),证实相关中值问题结论,第3页,第3页,3.,相关中值问题解题办法,利,用,逆向思维,设辅助函数,.,普通解题办法,:,证实含一个中值等式或根存在,(2)若结论中包括到含中值两个不同函数,(3),若结论中含两个或两个以上中值,可用原函数法找辅助函数,.,多用,罗尔定理,可考虑用,柯西中值定理,.,必须,多次应用,中值定理,.,(4),若已知条件中含高阶导数,多考虑用,泰勒公式,(5),若结论为不等式,要注意适当,放大,或,缩小,技巧,.,有时也可考虑,对导数用中值定理,.,第4页,第4页,例,1.,设函数,在,内可导,且,证实,在,内有界,.,证,:,取点,再取异于,点,对,为端点区间上用拉氏中值定理,得,(,定数,),可见对任意,即得所证,.,第5页,第5页,例,2.,设,在,内可导,且,证实至少存在一点,使,上连续,在,证,:,问题转化为证,设辅助函数,显然,在,0,1,上满足罗尔定理条件,故至,使,即有,少存在一点,第6页,第6页,例,3.,且,试证存在,证,:,欲证,因,f,(,x,),在,a,b,上满足拉氏中值定理条件,故有,将,代入,化简得,故有,即要证,第7页,第7页,例,4.,设实数,满足下述等式,证实方程,在,(0,1),内至少有一,个实根,.,证,:,令,则可设,且,由罗尔定理知存在一点,使,即,第8页,第8页,例,5.,设函数,f,(,x,),在,0,3,上连续,在,(0,3),内可导,且,分析,:,所给条件可写为,(03,考研,),试证必存在,想到找一点,c,使,证,:,因,f,(,x,),在,0,3,上连续,因此在,0,2,上连续,且在,0,2,上有最大值,M,与最小值,m,故,由,介值定理,至少存在一点,由,罗尔定理,知,必存在,第9页,第9页,例,6.,设函数,在,上二阶可导,且,证实,证,:,由泰勒公式得,两式相减得,第10页,第10页,二、导数应用,1.,研究函数性态,:,增减,极值,凹凸,拐点,渐近线,曲率,2.,处理最值问题,目的函数建立与简化,最值判别问题,3.,其它应用,:,求不定式极限,;,几何应用,;,相关改变率,;,证实不等式,;,研究方程实根等,.,4.,补充定理,(,见下页,),第11页,第11页,设函数,在,上含有,n,阶导数,且,则当,时,证,:,令,则,利用,在,处,n,1,阶泰勒公式得,因此,时,定理,.,第12页,第12页,连续性及导函数,例,7.,填空题,(,1),设函数,其导数图形如图所表示,单调减区间为,;,极小值点为,;,极大值点为,.,提醒,:,正负作,f,(,x,),示意图,.,单调增区间为,;,第13页,第13页,.,在区间,上是凸弧,;,拐点为,提醒,:,正负作,f,(,x,),示意图,.,形在区间,上是凹弧,;,则函数,f,(,x,),图,(2),设函数,图形如图所表示,第14页,第14页,例,8.,证实,在,上单调增长,.,证,:,令,在,x,x,+1,上利用拉氏中值定理,故当,x,0,时,从而,在,上单调增,.,得,第15页,第15页,例,9.,设,在,上可导,且,证实,f,(,x,),至多只有一个零点,.,证,:,设,则,故,在,上连续单调递增,从而至多只有,一个零点,.,又因,因此,也,至多只有一个零点,.,思考,:,若题中,改为,其它不变时,如何设辅助函数,?,第16页,第16页,例,10.,求数列,最大项,.,证,:,设,用对数求导法得,令,得,由于,在,只有唯一极大点,因此在,处,也取最大值,.,又因,中最大项,.,极大值,列表判别,:,第17页,第17页,例,11.,证实,证,:,设,则,故,时,单调增长,从而,即,思考,:,证实,时,如何设辅助,函数更加好,?,提醒,:,第18页,第18页,例,12.,设,且在,上,存在且,单调,递减,证实对一切,有,证,:,设,则,因此当,令,得,即所证不等式成立,.,第19页,第19页,例,13.,证,:,只要证,利用一阶泰勒公式,得,故原不等式成立,.,第20页,第20页,例,14.,证实当,x,0,时,证,:,令,则,法,1,由,在,处二阶泰勒公式,得,故所证不等式成立,.,与,1,之间,),第21页,第21页,法,2,列表判别,:,即,第22页,第22页,法,3,利用,极值第二判别法,.,故,也是最小值,因此当,时,即,第23页,第23页,例,15.,求,解法,1,利用中值定理求极限,原式,(,两边夹,),第24页,第24页,解法,2,利用泰勒公式,令,则,原式,第25页,第25页,解法,3,利用罗必塔法则,原式,第26页,第26页,同时辅导,P84,（,A,）,2,、（,7,）（,13,）,4,、,15,，,（,B,）,1,，,8,，,11,，,书本,P114,，,14,（,A,）,2,、（,7,）,第27页,第27页,（,A,）,2,、（,13,第28页,第28页,P86 15,设,第29页,第29页,（,B,）,8,，,代入整理得到结论。,第30页,第30页,（,B,）,11,证实（,1,）,第31页,第31页,