第四讲 直线形面积(一).doc

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第四讲 直线形面积（一）
1． 同高三角形和燕尾定理：
(1) 同高三角形面积的比等于底的比；
如右图中：
A
B
C
D
E
S△ABD : S△ACD = BD : CD
思考：为什么？
(2) 如右图所示：

思考：为什么？（提示：连CD）
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E

(3) 燕尾定理：
如右两图所示，均有：

思考：为什么？

提示： 如果 ，那么 。

O
D

C
A
B
O
C
D
A
B
2． “金字塔”和“沙漏”：
如右两图所示，
如果AB与CD平行，
那么：

注意：沙漏的CD是“拧”着的。

例题：
1、如图，平行四边形ABCD中，EF平行于AC，连结BE，AE，CF，BF，与△BEC等积的三角形还有哪几个？

[分析与解答]
由于图中平行线有三组：AD平行于BC，AB平行于CD，EF平行于AC，不妨依据同底等高的三角形等积来寻求等积三角形。
先看与△BEC同底的三角形，若以BC边为底，这样的三角形还有△ABC，△BFC，它们两个不可能与△BEC等积，因为AE，AF都不与BC平行，也就不存在等高了，而以EC边为底的三角形还有△AEC，它的第三个顶点A与B的连线AB是与EC平行的，所以△AEC与△BEC等积。
直接与△BEC等积的三角形没有了，但可以间接求，与△AEC等积的三角形必然与△BEC等积。
如图中，△AEC的另一边AC与EF平行，则EF线上任意一点与A，C两点连线构成的三角形必然与△AEC等积，在EF上，只有E，F点，因此，△AFC与△AEC等积。
同样的方法可找到与△AFC等积的三角形△ABF。
所以与△BEC等积的三角形共有三个，它们是：△AEC，△AFC，△ABF。
2、如图，在△ABC中，AD是AC的三分之一，AE是AB的四分之一，若△AED的面积是2平方厘米，那么△ABC的面积是多大？

[分析与解答]
连结EC，如图，因为AC＝3AD，△AED 与△AEC中AD，AC边上的高相同，所以△AEC的面积是△AED面积的3倍，即△AEC面积是6平方厘米，用同样方法可判断△ABC的面积且△AEC面积的四倍，所以△ABC的面积是6×4＝24（平方厘米）。
3、
将三角形ABC的BA边延长1倍到D；CB边延长2倍到E，AC边延长3倍到F，如果三角形ABC的面积等于1，那么三角形DEF的面积是_____。

[分析与解答]
如图，连接CD、BF，则

三角形ADC的面积 ＝ 三角形ABC的面积 ＝ 1；
三角形BDE的面积 ＝ 三角形BCD的面积×2 ＝ (1+1)×2 ＝ 4；
三角形CDF的面积 ＝ 三角形ADC的面积×3 ＝ 3；
三角形BCF的面积 ＝ 三角形ABC的面积×3 ＝ 3；
三角形BEF的面积 ＝ 三角形BCF的面积×2 ＝ 6；
三角形DEF的面积 ＝ 三角形ABC的面积+三角形ADC的面积+三角形BDE的面积+三角形CDF的面积 +三角形BCF的面积 +三角形BEF的面积 ＝ 1+1+4+3+3+6 ＝ 18。
4、如图，已知AE＝AC/5，CD＝BC/4，BF＝AB/6，那么等于多少？

[分析与解答]
这道题与例34很相像，但不同的是没有 一个现成的单位面积。要求出这样一个比例，要求我们自己开发一个单位面积。可不可以就用大三角形的面积做单位面积呢？
[解答]

如图，连接AD，那么
S△CDE＝S△ACD×4/5＝S△ABC×1/4×4/5＝S△ABC×1/5

同理，连接BE，那么
S△AEF＝S△ABE×5/6＝S△ABC×1/5×5/6＝S△ABC×1/6
连接CF，那么
S△BDF＝S△BCF×3/4＝S△ABC×1/6×3/4＝S△ABC×1/8
所以
＝1－1/5－1/6－1/8＝
5、如图，已知D是BC中点，E是CD中点，F是AC中点。三角形ABC由①~⑥这6部分组成，其中②比⑤多6平方厘米。那么三角形ABC的面积是多少？

[分析与解答]
仔细观察图形，我们可以发现②和⑤这两个三角形形状是一样的，并且EF是△ACD的中位线，也就是EF：AD＝1：2。那么②和⑤底和高的比都是2：1（形状相同，高之比和底之比是一样的），面积比自然就是4：1了。
②与⑤的面积比为4：1，并且相差6平方厘米，所以
⑤的面积＝6÷（4－1）＝2（平方厘米）
②的面积＝2×4＝8（平方厘米）
③与④的面积均为⑤的二倍，②的一半，即4平方厘米；
⑥的面积为④＋⑤，即4＋2＝6（平方厘米）
①的面积为②＋③＋④＋⑤＋⑥，即8＋4＋4＋2＋6＝24（平方厘米）
大三角形的面积为①的二倍，即
24×2＝48（平方厘米）。

6、如图,在△ABC中,DC=2BD,AF=FD.
如果△ABC的面积等于,那么阴影部分的面积为多少?
[分析与解答]
连接DE，因为AF＝FD，所以三角形DFC的面积与三角形AFC的面积相等。通过转化，求两个阴影部分面积实际就是求三角形AEC的面积，连接ED，把三角形BED的面积看作一份，则三角形EDC的面积就是2份。因为三角形AEC的面积同样等于三角形EDC的面积，因此总面积就是1＋2＋2＝5份。则阴影面积为。

7、在ΔABC中BD：DC=2:1,AE：EC=1:3 求BO：OE。
[分析与解答]
O
A
B
D
C
E
解法一，用按比例分配的方法，观察线段BE正好被AD分成BO与OE两部分，求这两部分的比，可以AD为底，B，E为顶点构造两个三角形，BAD与EAD，这样就可以面积比与线段比之间架一座桥。因为三角形BAD的三个顶点都在三角形ABC的边上，因此把三角形ABC的面积看作单位“1”，就可以用来表示ABD的面积，用
AE的长占AC的1/4，CD的长占CB的1/3，=来表示AED的面积。
因为：SΔABD：SΔAED=：=8：1，所以BO：OE=8：1。
解法二：这幅图形一看就感觉它是燕尾定理的基本图，但2个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步我们要连接OC，因为AE:EC=1:3 (条件)
所以SΔAOE/SΔCOE=1:3 若设SΔAOE=x,则SΔCOE=3x
SΔAOC=4x,根据燕尾定理 SΔAOB：SΔAOC=BD：DC=2:1
所以SΔAOB=8x BO：OE=SΔAOB：SΔAOE=8x：x=8:1。

8、 角形ABC中，C是直角，已知AC＝2，CD＝2,CB=3,AM=BM，那么三角形AMN（阴影部分）的面积是多少？

[分析与解答]
可以连接NB，由燕尾定理及条件可知CAN：ABN＝2：1，不妨设ANM为1份，则ANB为两份，CAN就是4份，CND也是4份，全图就是10份，阴影就占全图的

练习题
1、在图中，直线CF与平行四边形ABCD的AB边相交于E点，如果三角形BEF的面积为6平方厘米，求三角形ADE的面积是多少？

[分析与解答]
连结AC，因为AB平得CD，AE是三角形ADE，ACE的公共底边，所以三角形ADE与三角形ACE的面积相等。
又因为BC平行于AF，AF是三角形AFC与三角形ABF的公共底边，所以三角形ACF与三角形ABF的面积相等。
从图中还可看出，三角形ACF的面积＝三角形ACE的面积+三角形AEF的面积，三角形ABF的面积＝三角形BEF的面积+三角形AEF的面积。
从上面两个等式可以得到
三角形ACE的面积＝三角形BEF的面积，而三角形BEF的面积为6平方厘米，所以三角形ACE的面积也为6平方厘米，再根据三角形ADE与三角形ACE的面积相等可得三角形ADE的面积为6平方厘米。
所以三角形ADE的面积为6平方厘米。

2、下面左图是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形。右图是将它的短直角边对折到与斜边相重合后的图，那么右图中的阴影部分面积是多少？

[分析与解答]
新的图形是折叠而成的，那么两个小三角形应该是完全一样的，它们面积相等，而阴影面积和这个相等的面积似乎也有一定的比例关系。这样我们就把原来的三角形分成了三块比例已知的面积，问题便成了我们很熟悉的和倍问题。
阴影部分与折叠上来的三角形面积高相同，底边之比为
（13－5）：5＝8：5
那么原来的三角形就被我们分成了8：5：5的三块。
原三角形面积为
12×5÷2＝30（平方厘米）
那么阴影部分面积为
30÷（8＋5＋5）×8＝40/3（平方厘米）

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