1、第十章 曲线积分与曲面积分
10.01 填 空
(1) 第二类曲线积分化成第一类曲线积分是，其中﹑﹑为上点处切 向量 的方向角。
(2) 第二类曲面积分化成第一类曲面积分是，其中﹑﹑为上点处的法 向 量的方向角
10.02 计算下列曲线积分：
x2+y2=ax
0
a
x
y
a/2
L
θ
(1) ,其中为圆周
解：
表示为参数方程:
有
(2) ,其中为曲线，，，
解：
(3),其中为摆线，上对应从到的一段弧。
解:
2、
(4)，其中是曲线上由到的一段弧。
解:
（5），其中L为上半圆周，沿逆时针方向。
解: 补直线段由格林公式,有
D
y
x
0
2a
a
(x-a)2+y2=a2
L
A
区域D的面积
又
（6），其中是用平面截球面所得的截痕，从轴的正向看去，沿逆时针方向
解: ， 用参数方程表示为:
10.03 计算下列曲面积分：
x
0
3、
z
y
R
H
(10.03 (1)图)
（1），其中是界于平面及之间的原柱面
解：投影到平面上的投影为
其中
x
0
z
y
∑
∑1
Dxy
h
x2+y2=h2
(10.03 (2)图)
（2），其中为锥面,的外侧。
解：补平面上侧（如上页下图），与构成一封闭曲面：的外侧
由高斯公式得:
又 故
（3），其中为半球面的上侧
x
0
4、
z
y
∑
∑1
R
R
x2+y2=R2
R
解: 补平面下侧,与构成一封闭曲面：的外侧；由高斯公式得:
区域的体积
又 ，
（4），其中为曲面的上侧。
解: 补平面下侧, 与曲面构成一封闭曲面：的外侧；而
由高斯公式得：
又
（其中）
（5），其中为曲面 的外侧
解：方法1:
其中：
方法2：补
由高斯公式得:
而
5、
0
x
y
A(0,1)
B(0,y)
C(x,y)
10.04证明：在整个xOy平面的除去的负半轴及原点的开区域内是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数
证明：
在整个平面除去y的负半轴
及原点的开区域G内是某个二元函数的全微分。
10.05设在半平面内有力构成力场，其中k为常数，；证明在此力场中场力所作的功与所取路径无关。
证明：
又
故 P(x,y),Q(x,y)在单连通区域:半平面,有一阶连续偏导数。
在此力场中场力所作的功与所取的路
6、径无关。
10.06求均匀曲面的重心的坐标
解：曲 面 在xOy面投影为：
又 是关于yoz面, xoz面对称,
又
区域的面积
重心
10.07设﹑在闭区域D上都具有二阶连续偏导数，分段光滑的曲线L为的正向边界曲线。证明：（1）
（2）
其中﹑分别是﹑沿L的外法线向量的方向导数,符号称二维拉普拉斯算子
θ
θ
L
证明：令为 x轴正向到方向的转角
为 x轴正向到切线方向的转角
则
又
根据格林公式：
（2）由（1）知
同理
由上两式作差：；证毕 。
10.08求向量通过区域：，，的边界曲面流向外侧的通量
解：由已知条件得所求通量为：
的体积
10.09求力沿有向闭曲线所作的功，其中为平面被三个坐标面所截成的三角形的整个边界，从轴正向看去，沿顺时针方向
解：取为平面下侧被围成, 的单位法向量即 ,令为在xoy面的投影;由斯托克斯公式有：
y
1
x
1
1
z
0
Dxy
г
的面积
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