等倾角变螺距圆锥螺旋线的几何特性及其作图方法.pdf

1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/第卷第期合肥工业大学 学报自然科学版飞。地。咐等倾角变螺距圆锥螺旋线的几何特性及其作图方法夏鼎立提要本文应用徽分几何理论和画法几何的图示与图解方法,研究等倾角变螺距圆锥级旋线的几何特性及其投影图的绘制方法,并得出如下结论等倾角变螺距圆锥螺旋线展开后是对数探线,只描计算一个参数值,即可用几何作图方法画出展开图,它的切线与面相交的轨迹也是对数螺线,而且切线与面的夹角为常数,即二。界渭口,等倾角变螺距圆锥螺旋线的主法线与轴垂直相交。关键词等角变距圆锥螺旋线对数螺线轨迹主法线引言在文献 中,对数等倾角变螺距圆锥螺旋线的形成原理及投影图的绘制方法作了详尽的阐述。这种圆锥螺旋线其特点是任一点处的切线与圆锥素线的夹角为常数,而螺距是变化的这给作图带来困难。文献【从理论上和作图方法上都作了圆满的解答。本义在此基础上对等倾角变螺距圆锥螺旋线的展开图、切线、主法线等几个几何特性及其作图方法进行理论研究。等倾角变螺距圆锥螺旋线的展开图等倾角变螺距圆锥螺旋线是在正圆锥面上形成的一种空 间曲线,它的螺旋角“是常数,而螺距尸是变化的,它随转角的增大而增加。当圆锥展开后变成扇形,螺旋线 由空 间曲线亦变成平面 曲线。现研究此平面 曲线的变化规律和作图方法。等倾角变螺距圆锥螺旋线的参数方程【是式 中介一护乙。夕为常数,为锥顶半角,为参数,为等倾角变螺距圆锥螺旋线的螺旋角常数收稿日期一一 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/第期夏鼎立等倾角变螺距团锥螺旋线的几何特性及其作图方法二,是等倾角变螺距圆锥螺旋线的直观图,当点在锥面上转动二时,它由肛,上升到,其导程为。由式可 知,当二,“时 消,由图可知,则导程尹为一乃,一圆锥母线长为二一”圆锥底半径,长为,正圆锥展开后的扇形角为一飞加一一一丫当已知等倾角圆锥螺旋线的投影 图及 有关参数值,利用公 式、即可准确地作出它 的展开图。图是等倾角变螺距圆锥螺旋线的正投影图面,为了绘制其展开图可用图解法及计算法。图解法用画法几何方法,直接将正投影图进行展开作图。首先把正 圆锥展成扇形,并作 出相应 的射线,然后在 图中求出等倾角圆锥螺旋线各点到锥顶口的真实距离、口尸、。再将它们逐一量取到扇形的相应的射线上。最后光滑地把这些点连接起来,即得到等倾角变螺距圆锥螺旋线的展开图。如图所示。这种方法的作图精度取决于曲线的正投影的作图精度和展开图的作图精度。计算法根据前面推导 的公式计算有关数值,即可作图。我们知道,正 圆锥表面展开后是扇形,由锥面变成平面图形等倾角变螺距圆锥螺旋线也随之 由空间曲线变成平面曲线。少少少一一丫丫曝曝曝、等倾角变螺距圆锥螺旋线的极坐方程 为一。其中为参变量。如果把锥顶,看成是极点,把锥面上的每一条素线看成 向径。由于圆锥螺旋线的切线与素线的夹角是定 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/合肥 工业大学学报自然科学版年第卷值,因此它是锥面上一条对数螺线当锥面展开成扇形后,曲线与射线之间的夹角仍保持不变,等倾角变辉距圆锥螺旋线也随之变成一条平面上的对数螺线。由于对数螺线是指数函数,用计算法作图比较费时费事。用文献介绍的方法作图,非常简单方便。图图中的扇形是正圆锥的展开图。为作图方便射线间的夹角相等。口点当成极点,两点是等倾角变螺距圆锥旋线转动一周后一个导程的端点,按文献 幻 推导的公式尹二式中二咖界甲角之。必耐一。材锥顶半角螺旋角,向径之间夹角 作图等分角由公式、可知,要作等倾角变螺距圆锥螺旋线的展开图,只要已知锥顶半角、螺旋角。和常数。即可计算出有关数据。然后进行作图。户户异异异班班班”图介绍一种计算简单、作图方便的绘制等倾角变螺距圆锥螺旋线展开图的方法。其作图步骤如下由已知、计算、,、,、甲值。1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/第期夏燕立等倾角变螺距圈锥螺旋线的几何特性及其作图方 法由计算的、作扇形。处,并分其若干等分图中分成等分。过材点作匕如乙甲与射线交于。点,再过。点作乙匕甲与交于点。过点作加二。,与射线交于。点,再过。点作。,。与。射线交于点,其余类推得到、,、。、。、等点。将,二,等点,为中心旋转到相应的射线上去得到,、己,一,二,各点,最后光滑地连接它们即为所求圆锥螺旋线的展开图 如图。等倾角变螺距圆锥螺旋线的切线及作图方法切线与水平面交点的轨迹曲线的切线方程为一瓮十,一瓮二二“瓮将公式对微分,并代入式得二枷饥才一几以犷一人解一气鹏十眼,十”已二眼厂名二久加耐况耐为了求得切线与面、相交的轨迹,令一”,则有、一分一。,则有一韶并将它代入、夕中简化得生二一二工记飞喇将式化成极坐标方程得加式中很显然式是对数螺线方程,由此得 出结论等倾角变螺距圆锥螺旋线的切线与面叩相交的轨迹是对数螺线。切线与面水平面的夹角图中的点是等倾角变螺距圆锥螺旋线上任一点,过点作切线与平面的夹角口,我们知道,直线与面的夹角 由下式决定一月对 十刀万十矛,材,式中、表示平面方程的系数,对于面来说。,但其 中,并式 中、1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing HouseAll rights reserved.http:/合肥工业大学学报自然料学版年第卷、代表标准直线方程的方向系数。由前可知,圆锥螺旋线的切线方程公,鲜、,名。为。并令共一对,赞,于尸、丫“一一”因此式是名,二万名但是井丁乙蓄蓄 纂子子一瓮少亡长对艺是等倾角变螺距圆锥螺旋线孤的导数,可以写成下式二淤乙将导从略式中式代入式并简化得推界锥顶半角圆锥螺旋线的螺旋角。由此可得出结论等倾角变螺距圆锥螺旋线的切线与水平面的夹角是常数,即切线与水平面的夹角的正弦等于锥顶半角和螺旋角的余弦的乘积。当已知等倾角变螺距圆锥螺旋线的投影图,如需作其某一点的切线,应用公式名阮耐计算出该点的坐标值。由图可知,直角三角形对对的垂边对、万一,而角又是常数一界,即能方便地求出,的另一垂边及斜边。一等二。一磊当知道 叮 对万各边的长及角度。在投影图中即可方便地作等倾角变螺距圆锥螺旋线的切线。等倾角变螺距圆锥螺旋线的主法线与付法线的特性与作图方法前面我们研究了圆锥螺旋线上任一点处的切线的作图方法,但仍不能作其该点的主法线,因为过空间曲线切点处的切线作垂线,可作无穷多条,而这些法线构成一个平面,称为法平面,主法线只是法平面内过内切点的一条直线。由微分几何知道,空间曲线的 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/第期夏鼎立等倾角变螺距圆锥螺旋线的几何特性及其作图方法主法线是法平面与密切平面的交线,其表达式为菌一阂一菌式 中其中代入二儿耐梦掀耐乙名一兄耐戈兀“扭蒯一戈一耽,饥气威一溉耐一叹犷砚,就夕侧爪 滋瓣沉一么 一仇加么耐酷否一止若用心。侧而叹乙式简化整理得一劣一夕一扭忿十哪仍一一名到屏名叫阿翔侧浙导或者一”“一“毗,“,一“,“一,蒯十 初式为等倾角变螺距圆锥螺旋线的主法线方程,由于参数的系数为零,表示主法线与轴垂直。如图所示,是切线,是主法线,土,一。当已知主法线与切线,则它 们所决定的平面为密切平面。过万点作此平面的垂线就是圆锥螺旋线的付法线。图是等倾角圆锥螺旋线的正投影图。梦梦梦。点是螺旋线的起点,是它转动一圈上升一个导程后的端点法如下见图。当已知曲线上任一点的投影时,如需作出它的切线与法线时,其方过二点作二,土。因点并求出其水平投影砚点。土口轴在面上反映垂直关系在轴上得到甲过,点作,的垂线、因为上,而又是水平线,所以眺,土,。切线与水平面的夹角可由公式计算一,界“。1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/合肥工亚大学学报自然科学版年第卷万点的坐标可从面投影 中直接量取,计算角后就可作出直角三角形姗万,其垂边对就是切线对对的水平投影之长,取二二在水平面上得到二点。由。点求其诚,连接 诚二就是切线的正面投影。如图当要作其付法线的投影时,过万点作对与对万两相交二直线所决定的平面的垂线即可 图中未画出。参考文献肠即议加咖劝,微分几何人民教育出版社夏鼎立辗轮式混机刮扳曲线的作图方法铸造机械,狱川悦扭几,夏鼎立延长渐开线螺旋面的形成原理及投影图的绘制方法合肥工大学报,本文责任编辑周祖漩,曰,叉白众犯娜、助改即九助刃。梦幻纽,幻讲动由书罗一困珍,少悦郎一川泊,二韶丫一叙即比碑幻