第3章 刚体动力学(13年)1.pdf

18 第三章、刚体力学 例 31 如图，滑轮质量为 M，半径为 R，物体的质量为 m，拉力为 f，滑轮与绳之间有足够的摩擦，使绳和轮之间无相对滑动，且绳轻不可伸长，求：(1)物体的加速度；(2)物体 m 与定滑轮间绳子的张力 (1)2/Mmmgfa；(2)2/(MmmgfgmT (扬州大学 06 年普通物理，15 分；天津工业大学 07 年普通物理，5 分)例 32 如图所示，一个质量为 m 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动假设定滑轮质量为 M、半径为 R，其转动惯量为2/2MR，滑轮轴光滑试求：(1)该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系；2)转动角度和时间的关系。(1)tMmmgv22；(2)2)2(tRMmmg (广东工业大学 2011 年大学物理，10 分；青岛大学 09 年普通物理 2，15 分；中山大学 09 年普通物理，20 分；太原科技大学 08 年大学物理，10 分；湖南大学 07 年普通物理，15 分；华中科大 07 年大学物理，10 分)例 33 一质量为 m 的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端绕在一轮轴的轴上，如图所示。轴水平且垂直于轮轴面，其半径为 r，整个装置架在光滑的固定轴承之上。当物体从静止释放后，在时间 t 内下降了一段距离 s。试求整个轮轴的转动惯量(用m、r、t 和 s 表示)。J=mr2(22gts1)(青岛大学 2011 年普通物理 2，15 分；湖南大学 05 年普通物理，12 分；吉林大学 09 年普通物理，25 分；江西理工大学 08 年普通物理，15 分；西北工业大学 07 年普通物理，15 分)例 34 一轴承光滑的定滑轮，质量为 M=2.00kg，半径为 R=0.10m，一根不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为 m=5.0kg 的物体，如图所示。已知定滑轮的转动惯量为 J=MR2/2，其初角速度 0=10.0rad/s，方向垂直纸面向里。求：(1)定滑轮的角加速度的大小和方向；(2)定滑轮的角速度变化到=0 时，物体上升高度；(3)当物体回到原来位置时，定滑轮的角速度的大小和方向。(1)RMmmg)2/(=81.67 rads-2，方向垂直纸面向外；(2)h=6.1210-2 m；(3)=10.0rad/s，方向垂直纸面向外 (河北工业大学 2010 年普通物理，10 分；江苏科技大学 09 年普通物理，12 分；青岛大学 09 年普通物理 1，15 分；北京科技大学 06 年普通物理 1，20 分；北京邮电大学 06 年物理学，15 分)例 35 为求一半径 R=50 cm 的飞轮对于通过其中心且与盘面垂直的固定转轴的转动惯量，在飞轮上绕以细绳，绳末端悬一质量 m1=8 kg 的重锤。让重锤从高 2m处由静止落下，测得下落时间 t116s。再用另一质量 m2=4 kg 的重锤做同样测量，测得下落时间 t2=25s。假定摩擦力矩是一个常量，求飞轮 19 的转动惯量。221221121)()(RaaamamgmmJ=1062.5 kgm2 (海军潜艇学院 09 年普通物理 B，10 分；温州大学 2011 年普通物理，20 分)例 36 如图所示，一质量为 m1、半径为 R 的匀质圆柱绕水平固定轴转动。柱上绕一轻绳，绳的下端系一质量为 m 的物体。开始时，体系处于静止状态，求柱在t 时刻的角速度。设柱转动中所受阻力矩 Mr=k，式中 k 为正的常数。223(1)ktmRmgRek (深圳大学 2012 年大学物理（一），16 分)例 37 如图所示，一细绳绕过质量为 m 半径为 R 的定滑轮，并在绳两端分别系有质量为 m1和 m2的物体(m2大于 m1)。若绳与滑轮之间没有相对滑动，且轴处摩擦及绳的质量和形变可以忽略不计，求：(1)m2的加速度；(2)绳中的张力；(3)m2从静止开始下落了距离 h 时滑轮的动能；(4)设 t=0 时，圆盘转动的角速度为 0，试求 t 时刻圆盘转动的角速度。(1)gmmmmmaa2/211212；(2)gmmmmmmT121212/2/2，gmmmmmmT221122/2/2；(3)mghmmmmmEk2/212121滑轮；(4)Rgtmmmmm2/2112 (北京科技大学 2012 年普通物理，15 分；江苏大学 2011 年大学物理，20 分；青岛大学 2010 年普通物理 2，15 分；南开大学 2010 年大学物理，10 分；西南大学 09 年普通物理，20 分；中国科技大学 07 年普通物理 B，20 分；山东科技大学 07 年普通物理，10 分；西安交通大学 05 年大学物理，10 分；华东师范大学 05 年普通物理，10 分)例 38 两个半径不同的同轴滑轮固定在一起，两滑轮半径分别为 r 和 R下面悬两重物，质量分别为 m1和 m2，如图所示滑轮的转动惯量为 J，绳的长度不变，绳的质量、轴承摩擦均不计求：(1)重物 m1下降的加速度；(2)两边绳中的张力；(3)若将 m1去掉，换以一恒力 F，其大小 F=m1g，方向竖起向下，则滑轮的角加速度有何不同？(1)21212212()m Rm Rr gaJm Rm r；(2)222112212()Jm rm RrTm gJm Rm r，211222212Jm Rm RrTm gJm Rm r；(3)2221)(rmJgrmRm (北京科技大学 05 年普通物理 A，20 分；厦门大学 04 年普通物理，15 分；电子科技大学 02 年大学物理，8 分)例 39 两个匀质圆盘，一大一小，同轴地粘结在一起，构成一个组合轮。小圆盘的半径为 r，质量 20 为 m；大圆盘的半径 r=2r，质量 m=2m。组合轮可绕通过其中心且垂直于盘面的光滑水平固定轴 O 转动，对 O 轴的转动惯量 J=9mr22。两圆盘边缘上分别绕有轻质细绳，细绳下端各悬挂质量为 m 的物体 A 和 B，如图所示。这一系统从静止开始运动，绳与盘无相对滑动，绳的长度不变。已知 r=10 cm，求：(1)组合轮的角加速度；(2)当物体 A 上升 h=40 cm时，组合轮的角速度。(1)3.10192rgrads-2；(2)rh2=192ghr=9.08 rads-1 (河北工业大学 12 年、08 年普通物理，10 分；北京市联合命题 08 年大学物理，15 分)例 310 如图所示，定滑轮的半径为 r，绕转轴的转动惯量为 J滑轮两边分别悬挂物体 A 和 B，它们的质量分别为 MA和 MB，物体 A 置于倾斜角为 的固定光滑斜面上。若 B 向下做加速运动时，求：(1)B 下落的加速度大小；(2)滑轮两边绳子的张力 TA和 TB(设绳的质量及伸长均不计，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑)(1)2sin/BAABMMagMMJ r；(2)22(1 sin)sin/ABAAABM MMJ rTgMMJ r；22(1 sin)/ABBBABM MM J rTgMMJ r (深圳大学 2012 年大学物理（二），20 分)例 311 如图所示，物体 1 和 2 的质量分别为 m1与 m2，滑轮的转动惯量为J，半径为 r。如物体 2 与桌面间的摩擦系数为，求：(1)系统的加速度 a及绳中的张力 T1和 T2（设绳子与滑轮间无相对滑动，滑轮与转轴无摩擦）；(2)若物体 2 与桌面间为光滑接触，求系统的加速度及绳中的张力 T1和 T2。(1)22121/)(rJmmgmma；gmrJmmmmT1221211)/1(；gmrJmmmmT2221212)/(；(2)2211/rJmmgma；gmrJmmT12211)/11(；221212/rJmmgmmT (华东师范大学 2010 年普通物理，14 分；中国计量学院 2010 年普通物理，10 分；西南师范大学 09、06 年普通物理，20 分；江苏大学 07 年大学物理，15 分；南京航空航天大学 05 年普通物理，15 分)例 312 如图，一绳跨过一定滑轮，一端与放在桌面上的 m2相连，另一端与 m1相连，定滑轮是半径为 R 的均匀圆盘，m2与桌面间的摩擦因数为=0.5，滑轮的质量 m3=2 m1，m2=3 m1，开始 m2静止于桌面，m1自由下落 L 距离后绳子才被拉紧 求：(1)绳子拉紧的瞬间，定滑轮的角速度；(2)绳子拉紧后 m1下落的最大距离 h (1)RgLRmmmvm52)2/(321101；(2)52)13(2522LgRh (西安交通大学 06 年大学物理，15 分)21 例 313 一个如图所示的装置，其中 m1、m2、M1、M 2、R1和 R 2都已知。且 m1 m2，滑轮都是圆盘形的。设绳子长度不变，绳子的质量以及滑轮轴上的摩擦力均可不计，绳子与滑轮间不打滑，滑轮质量均匀分布。求 m2的加速度 a 及绳子的张力 T1、T2、T3。a=1212122()2()mm gmmMM，T1=12121212(4)2()mmMMgmmMM T2=21121212(4)2()mmMMgmmMM，T3=122112121242()m mm Mm MgmmMM (中南大学 07 年普通物理，10 分；中国科技大学 07 年普通物理 A，20 分；青岛大学 2012 年普通物理，15 分；山东科技大学 2011、09 年普通物理，15 分江苏工业学院 05 年普通物理，10 分)例 314 如图所示，两物体的质量分别为 m1和 m2，滑轮可视为绕支点水平轴自由转动的圆盘(质量为 M，半径为 R)，桌面光滑。设整个系统放置于一电梯中，电梯以匀加速度 a0竖直向上运动，试求物体 m2相对地面的加速度及绳中的张力 T1和 T2(设 m2 m1，绳子与滑轮间无相对滑动。本题只需列出解题的方程，不必解出)(浙江大学 09 年普通物理，15 分)例 315 质量为 m、半径为 R 的圆柱轮，可绕水平光滑固定轴 o 转动，如图所示。在光滑水平台面上有一质量为 M、长度为 L 的平板。起初，平板静止于图示位置。现用水平方向的恒力 F 拉动平板，使它与轮缘无相对滑动地通过轮子。求：(1)平板在运动过程中与轮间的摩擦力；(2)平板与轮子脱离接触时的速度。(1)2mFfmM；(2)42FLvmM (电子科技大学 06 年大学物理，12 分；广西师范大学 05 年普通物理，15 分)例 316 质量为 M 的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于盘的固定光滑轴 O 转动，绕过盘的边缘挂有质量为 m、长为 l 的匀质柔软绳索，如图设绳与圆盘无相对滑动，试求当圆盘两侧绳长之差为 s 时，绳的加速度的大小 1/()2asmgMml (南京航空航天大学 2010 年普通物理，5 分；北京航空航天大学 08 年大学物理，15 分；华南理工大学 05 年普通物理，15 分)例 317 质量为 M 的很短的试管，用长度为 L、质量可忽略的硬直杆悬挂如图，试管内盛有乙醚液滴，管口用质量为 m 的软木塞封闭，当加热试管时软木塞在乙醚蒸汽的压力下飞出，要使试管绕悬点 O 在竖直平面内作一完整的圆运动，那么，(1)软木塞飞出的最小速度为多少？(2)若将硬直杆换成细绳，如果如何？(1)gLmMv4；(2)gLmMv5 (华南理工大学 04 年大学物理，10 分)22 例 318 如图所示，一长为 l，质量为 M 的均匀细杆可绕其固定在竖直轴上的一端在光滑水平面上自由转动，质量为 m 的子弹在水平面内沿与杆相垂直的方向，以速率 v 射入杆的另一端子弹出杆后速率降为 v2。求：(1)细杆绕竖直轴的转动惯量；(2)细杆的角速度。(1)J=213Ml；(2)32mvMl (武汉大学 06 年普通物理，15 分)例 319 如图所示，在光滑水平面上，小球与中心固定的均匀细杆的一端作完全弹性碰撞。求碰后小球和杆的运动。(已知小球质量为 m，碰前速度大小为 v0，方向与杆垂直。杆长为 L，质量为 M，碰前静止)033vMmMmv；LMmmv)3(120 (中国科技大学 05 年普通物理 B，15 分；福建师范大学 06 年普通物理，20 分)例 320 一根长为 L，质量为 M 的细棒，一端悬挂并可无摩擦转动，开始时静止。今有一质量为 m，水平速度为 v0的子弹射入棒的底端并穿出。穿出后速度大小变为原来的四分之一，假设子弹从射入到穿出的时间很短，求：(1)子弹穿出时棒的角速度；(2)棒的底端上升的最大高度。(1)MLmv490；(2)gMvmhm22021627 (南京大学 06 年普通物理二，17 分；武汉理工大学 05 年普通物理，15 分)例 321 如图所示，一块长为 L=0.60m，质量为 M=1kg 的均匀木板可绕水平轴 OO无摩擦的自由转动。当木板静止在平衡位置时，有一质量为 m=1010-3kg 的子弹击中木板 A 点，A 离转轴 OO的距离 l=0.36m，子弹击中木板前速度为 500m/s，穿出木板后的速度为 200m/s。求1)木板在 A 处受到的冲量；(2)木板获得的角速度。(1)(mv2mv 1)=3 Ns；(2)221)(3MLvvml=9 rad/s (中科院电子所 03 年普通物理，18 分)例 322 如图所示，细棒的质量为 M，长度为 l，可绕通过其一端的光滑轴 O 在竖直平面内转动，开始时静止在竖直位置。今有一质量为 m 的子弹，以水平速度v0击中其下端，嵌入并留在细棒中。为使细棒能在竖直平面内完成整个圆周运动，则子弹至少要以多大的速度射入?(假定碰撞时间极短，不计空气阻力)mglMmMmv)3/)(2(20 (浙江大学 2010 年普通物理，15 分；04 年普通物理甲，15 分)例 323 一长为 l，质量为 M 的均匀木棒，可绕水平轴 O 在竖直面内转动。开始时，棒自然地竖直悬垂。现有质量为 m 的子弹，以速度 v 从 A 点水平射入棒中，假定 A 点与 O 点的距离为 3l4，如图所示。求：(1)棒开始运动时的角速度；(2)要让木棒绕轴翻转，子弹速度必须所满足的条件。(1)=2236/3(2716)mdvmvmdMlmM l；(2)86(45)31627Mm glvmMm 23(深圳大学 2012 年大学物理（一），15 分；中南大学 09 年普通物理，10 分；中国计量学院 09 年普通物理，15 分；海军潜艇学院 09 年普通物理 A，10 分；南开大学 07 年大学物理，10 分)例 324 图中均匀杆长 L=0.40m，质量 M=1.0kg，由其上端的光滑水平轴吊起而处于静止。今有一质量 m=8.0g 的子弹以 v=200ms 的速率水平射入杆中而不复出，射入点在轴下 d=3L4 处。求:(1)杆刚开始运动时的角速度；(2)杆的最大偏转角。(1)=22223/4/39/16/3mdvmLvmdMLmLML8.88 rad/s；(2)cos=12(9/16/3)(3/2)mMLMmg=0.0743，=94.27=9416 (湖南大学普通物理 2012 年，20 分、08、06 年，15 分；燕山大学 2010 年普通物理，13 分；杭州师范大学 09 年普通物理，20 分)例 325 如图所示，一长为 L、质量为 m、可绕光滑水平轴 O 无摩擦地转动的均匀细棒，一端悬挂在 O 点，一质量为 m0的小球以速率 v0沿水平方向击到棒的下端点，设小球与细棒作弹性碰撞，求碰撞后小球的回跳速率和棒的角速度。00033mmvvmm；Lmmvm)3(6000 (南京理工大学 2011 年普通物理 B，10 分)*例 326 质量为 M、长为 l 的均匀细杆可绕垂直于杆一端的水平轴无摩擦转动 杆原来静止于平衡位置，现有一质量为 m 的小球水平飞来，与杆的下端发生完全弹性碰撞碰撞后，杆的最大偏转角为 求：(1)小球的初速度；(2)碰撞过程中，杆所受的冲量矩 (1)03(1 cos)23mMglvm；(2)(1 cos)3glMl (浙江大学 2012 年普通物理，15 分)例 327 一根均匀米尺，在 60cm 刻度处被钉到墙上，且可以在竖直平面内自由转动。先用手使米尺保持水平，然后释放。求刚释放时米尺的角加速度和米尺到竖直位置时的角速度各是多大?=21221231()105(23)15ll mgMmJll=10.5(rad/s2)或)(311.03231llmlmg；=21222122()/2(23)(/15)mg lllllm=4.58(rad/s)或Jmg211.0 (中南大学 2011 年普通物理，10 分；苏州大学 04 年普通物理，15 分)例 328 如图，长为l的匀质细杆，一端悬于 O 点，自由下垂，在 O 同时挂一单摆，摆长l，摆球的质量为 m，单摆从水平位置由静止开始自由下摆，与自由下垂的细杆作完全弹性碰撞，撞后单摆恰好静止，求：(1)细杆的质量 M；(2)细杆摆动的最大角度 24 (1)lg2；mM3；(2)1arccos70.53 (南京航空航天大学 2011 年普通物理，10 分；电子科技大学 07 年大学物理，12 分；北京交通大学普通物理 07、05 年，15 分；苏州大学 05 年普通物理，15 分)例 329 长为 x 的细线，拴一质量为 m 的胶泥小球，与长为l，质量也为 m 的细杆均可绕水平 O 轴在铅直平面内转动，初始时刻它们均处于水平位置，如图所示 当它们同时释放后，求：(1)x=?时，杆、球在相同时间内转过相同的角度。(2)在铅直位置时，杆、球发生完全非弹性碰撞后，系统的角速度为多少?(1)x=23l；(2)=137gl (中南大学 05 年普通物理，10 分；四川大学 02 年普通物理，12 分)例 330 如图：一长为 2l，质量为 3m 的细棒两端粘有质量分别为 2m 和 m 的物体，此杆可绕中心O 在铅直平面内转动，先使其在水平位置，然后静止释放，求：(1)此刚体的转动惯量；(2)水平位置时杆的角加速度；(3)通过铅直位置时杆的角速度。(1)24Jml；(2)4gl；(3)2gl(中南大学 2010 年普通物理，10 分)例 331 如图，长为 l，质量 m 的均匀细棒一端连着一质量也等于 m 的小球，另一端可绕过 O 点的光滑水平轴在竖直面内转动。系统自水平位置以零初速释放，放开后细捧连同小球一起自由下摆。求：(1)细棒下摆到任一角位置 时的角速度和角加速度；(2)此时细捧对小球的作用力。(1)lgsin23；cos89lg；(2)sin413mgT (厦门大学 09 年普通物理，20 分；中南大学 06 年普通物理，10 分；温州大学 2010 年普通物理，20 分；西南大学 06 年普通物理，15 分)例 332 一根质量为 m，长为 2l的均匀细棒，可以在竖直平面内绕通过其中心的光滑水平轴转动开始时细棒静止在水平位置，如图所示一质量为 m1的小球，以速度 u 垂直落到棒的端点设小球与棒作完全弹性碰撞问碰撞后，小球的回跳速度 v 以及棒的角速度 各为多少?1133mmvumm；116(3)mumm l (中科大 05 年普通物理 B，15 分；深圳大学 06 年普通物理，15 分)*例 333 如图，一长为 l 的均匀细麦杆可绕通过中心 O 的固定水平轴在铅垂面内自由转动。开始时麦杆静止于水平位置。一质量与麦杆相同的甲虫以速度 v0垂直落到麦杆的14长度处，落下后瞬间麦杆以角速度 转动，甲虫则立即向端点爬行。求：为使麦杆以均匀的角速度 转动，甲虫应以多