1、数 理 统 计 习 题 课
1．设总体服从正态分布，其中是已知的，而未知的， 是从总体中抽取的一个简单随机样本。
（1） 求的密度函数；
（2） 指出，，，，之中，哪些是统计量，哪些不是统计量，为什么？
解
（1）
（2），，，都是统计量，因为它们均不包含任何未知参数；而中包含未知参数，所以它不是一个统计量。
2（1）设为总体的样本，，，且，试证是的无偏估计。
（2）试证在所有形如，（，，）的无偏估计中，以最为有效。
解：
（1） 因，故是的无偏估计。
（2） 由，所以
从而在的所有形如的无偏估计中，以最为有效。
3．
2、设母体X服从均匀分布，它的密度函数为
（1）求未知参数的矩法估计量；
（3） 当子样观察值为0.3，0.8，0.27，0.35，0.62，0.55时，求的矩法估计值。
解
（1） 因为
由
（2） 由所给子样观察值算得
4．设总体的分布密度为
其中是未知参数。是总体的样本，试求参数的矩估计。
解
由矩估计的定义，令：
即的矩估计为：
5．设总体服从对数正态分布，其分布密度为
其中，是未知参数，是一样本，试求和的最大似然估计。
解: 似然函数为
令
可得
3、的最大似然估计为：
的最大似然估计为：
6．某工厂生产滚珠，从某日生产的产品中随机抽取9个，测得直径（毫米）如下：
14.6 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.8
如果滚珠直径服从正态分布，且知标准差为0.15毫米，求直径平均值对应于置信概率0.95的置信区间。
解: 已知时,的置信度为的置信区间为
我们有
由，所以滚珠直径平均值的置信区间为。
7．设某批铝材料的比重服从正态分布，现测得它的比重16次，算得，试在置信概率0.95下求的置信区间。
解
的置信区间为
对，查分布表（自由度为15），得
所以在置信概率0.95下的置信区间为。
(p19) 3解：：， ：
检验统计量为，的拒绝域为
计算得，，
对自由度-1= 9，查t- 分布表，得因为所以拒绝H0，即可以认为该日生产的云母片厚度的数学期望与往日有显著差别。
19.5. 解：
检验统计量为：，的拒绝域为:
计算的样本观察值
给定，查分布表，得临界点
因，因此接受H0，即认为这次考试的标准差符合要求。
19.6. 第Ц类错误的概率即.
当来自.此时
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