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《等差数列》检测卷
（原创稿，有备用题，所有题目均有详细解答，根据需要，敬请删减与修改）
湖南省衡阳市祁东县育贤中学 高明生 （421600）
说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答. 全卷满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. (07·西安八校联考)设｛｝是首项,公差的等差数列,如果,则序号等于( )
A. 667 B. 668 C. 669 D. 670
2．（备用题）设S和T分别为两个等差数列的前n项和，若对任意n∈N，
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 （　　　 ）
A．4∶3 B．3∶2 C．7∶4 D．78∶71
3. （备用题）（2003年全国，文5）等差数列{an}中，已知a1=，a2+a5=4，an=33，则n是（ ）
A.48 B.49 C.50 D.51
4. （备用题）（2003年全国，8）已知方程（x2－2x+m）（x2－2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|等于
A.1 B. C. D.
5. (07·成都市摸底)已知数列｛｝等差数列,且,,则数列｛｝的公差等于 ( )
A. 1 B. 4 C. 5 D. 6
6. （备用题）等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2+a4+a15的值是一个确定的常数，则数列{Sn}中也为常数的项是（ ）
A.S7 B.S8 C.S13 D.S15
7. (06·南京二模)已知一个等差数列的前9项的算术平均数为10，前10项的算术平均数为11，则此等差数列的公差为（ ）
A. 1 B. 2 C. D. 4
8. (07·大同市调研)设是等差数列｛｝的前n项和,若,则= ( )
A. 1 B. -1 C. 2 D.
9. (06·湖北八校一联)等差数列的公差为d，前n项的和为Sn，当首项a1和d变化时，是一个定值，则下列各数中也为定值的是（ ）
A．S7 B．S8 C．S13 D．S15
10．一个首项为正数的等差数列中，前3项的和等于前11项的和，当这个数列的前n项和最大时，n等于．　　　　　　　　　　　 （　　　 ）
A．5　　　　　 B．6 C．7　　　　 D．8
11.(07·雅礼中学月考)已知等差数列的公差为2，且，则 的值等于（ ）
Ａ．25 Ｂ．50 Ｃ．75 Ｄ．100
12.等差数列{an}中，a10＜0，a11＞0且a11＞|a10|，Sn为其前n项和，则（ ）
A.S1，S2，…，S10都小于0，S11，S12，…都大于0
B.S1，S2，…，S19都小于0，S20S21，…都大于0
C.S1，S2，…，S5都小于0，S6，S7，…都大于0
D.S1，S2，…，S20都小于0，S21，S22，…都大于0
13.(07·南京模)将棱长相等的正方体按右图所示的形状摆放，从上往下依次为第1层，第2层，第3层，…，则第6层正方体的个数是 ( )
A．28 B．21
C．15 D．11．
14．(07·海淀区期中)在等差数列中,若,则的和等于( )
(A)7 (B)8 (C)9 (D)10
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题线上部　对应题号的横线上.
15．（备用题）若数列中，，且 ，则数列的通项 ．
16．(07·湖北八校联考)数列中，，且数列是等差数列，则=___________．
17.（2004年春季上海，7）在数列{an}中，a1=3，且对任意大于1的正整数n，点（，）在直线x－y－=0上，则an=___________________.
18. （备用题）（2003年春季上海，12）设f（x）=，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f（－5）+f（－4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）的值为___________________.
19. （备用题）在等差数列{an}中，公差为，且a1+a3+a5+…+a99=60，则a2+a4+a6+…+a100=_________.
20. （备用题）将正偶数按下表排成5列：

第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
第1行

2
4
6
8
第2行
16
14
12
10

第3行

18
20
22
24
……

……
28
26

那么2004应该在第______________行第______________列.
21. （备用题）在等差数列｛an｝中，若a10＝0，则有等式a1+a2+…＋an=a1+a2+…＋a19－n（n＜19，n∈N成立.类比上述性质，相应地：在等比数列｛bn｝中，若b9＝1，则有等式 成立.．
22. （备用题）(06·重庆文)在数列中，若，，则该数列的通项 .
23. （备用题） (06·浙江理)设为等差数列的前项和，若，则公差为__________（用数字作答）。
24. （备用题） (06·山东文)设为等差数列的前n项和，＝14，－＝30，
则＝　　　　.

25. （备用题） (05·海淀期中)若等差数列{an}中，公差d=2，且a1+a2+a3+……+a100=200，则a5+a10+a15+……+a100的值是 .
26. (06·西安二模)把49个数排成如图所示
的数表，若表中每行的7个数自左至右依次都成等差
数列，每列的7个数自上而下依次也都成等差数列，
且正中间的数a=1，则表中所有数的和为_____.

三．解答题：本大题共6小题，前5小题每小题12分，最后一题14分，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
27．（备用题）两个等差数列5，8，11，……和3，7，11，……都有100项，那么它们共有多少相同的项？
28. （备用题06·上海春)已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.
（1）若，求；
（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；
（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？
29. （备用题） (06·合肥模)等差数列{}的前n项和记为Sn.已知
（Ⅰ）求通项；
（Ⅱ）若Sn=242，求n.
30．根据下面各个数列的首项和递推关系，求其通项公式
⑴
⑵
31. (06·石家庄模)设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.
(1)求公差d的取值范围；
(2)指出S1、S2、…、S12中哪一个值最大，并说明理由.
32. （备用题）(05·盐城模){an}为等差数列，公差d≠0,an≠0,(n∈N*),且akx2+2ak+1x+ak+2=0(k∈N*)
(1)求证：当k取不同自然数时，此方程有公共根；
(2)若方程不同的根依次为x1,x2,…,xn,…,求证：数列为等差数列.
33. （备用题）(06·连云港一模)已知数列的前三项与数列的前三项对应相同，且…
对任意的N*都成立，数列是等差数列．
（1）求数列与的通项公式；
（2）问是否存在N*，使得请说明理由．
34．（备用题）数列{an}的前n项和为Sn=npan（n∈N*）且a1≠a2，
（1）求常数p的值；
（2）证明：数列{an}是等差数列.
35．（备用题） 已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，问它们有多少相同的项？并求所有相同项的和.
36．（备用题）设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列{}的前n项和，求Tn.
37.已知{an}为等差数列，前10项的和S10=100，前100项的和S100=10，求前110项的和S110.
剖析：方程的思想，将题目条件运用前n项和公式，表示成关于首项a1和公差d的两个方程.
38. （备用题）（2004年全国，文17）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10=30，a20=50.
（1）求通项{an}；
（2）若Sn=242，求n.
39. （备用题）设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=12，S12＞0，S13＜0.
（1）求公差d的取值范围；
（2）指出S1，S2，S3，…，S12中哪一个最大，并说明理由.
40.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn－1=0（n≥2），a1=.
（1）求证：{}是等差数列；
（2）求an的表达式.
41.设实数a≠0，函数f（x）=a（x2+1）－（2x+）有最小值－1.
（1）求a的值；
（2）设数列{an}的前n项和Sn=f（n），令bn=，证明:数列{bn}是等差数列.
42.已知f（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，n为正偶数，且a1，a2，a3，…，an组成等差数列，又f（1）=n2，f（－1）=n.试比较f（）与3的大小.
43. （备用题）已知数列{a}是公差d≠0的等差数列，其前n项和为S．

(2)过点Q(1，a)，Q(2，a)作直线12，设l与l的夹角为θ，
44．（备用题）数列中，且满足
⑴求数列的通项公式；
⑵设，求；
⑶设=，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
45. （备用题） 已知数列{an}的前n项和Sn=12n－n2，求数列{|an|}的前n项和Tn.
46.(06·西城模)在数列中，，其中
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求证：在数列中对于任意的都有；
（3）设，试问数列中是否存在三项它们可以构成等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，请说明理由.
《等差数列》检测卷
（参考答案）
一．选择题：
1.答案：D。
解:本题考查了等差数列的通项公式及其基本量的求解问题.
由已知可得等差数列｛｝的通项公式为, 于是得,解之得,故应选D.
2. （备用题）答案：A。
解:设这两个等差数列分别为{an}和{bn}．

故选择A．
3. （备用题）答案：C。
解:由已知解出公差d=，再由通项公式得+（n－1）=33，解得n=50.
故应选C.
4. （备用题）答案：C。
解:设4个根分别为x1、x2、x3、x4，则x1+x2=2，x3+x4=2，由等差数列的性质，当m+n=p+q时，am+an=ap+aq.设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列为，，，，∴m=，n=.∴|m－n|=.故选C。
5.答案：B .
解:本题考查了等差数列的性质及其通项公式.
由可得; 又由可得,公差, 故应选B.
6. （备用题）答案：C .
解:设a2+a4a15=p（常数），
∴3a1+18d=p，即a7=p.
∴S13==13a7=p.故选答案C。
7.答案：B .
解:本题考查了等差数列的性质及算术平均数的概念.
由已知可得, 则,又,解得,从而, 故应选B.
8.答案：A .
解:本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式的掌握情况,公式的灵活应用问题.
解法一:设等差数列｛｝的首项为, 公差为, 则, 化简可得. ∴. 故应选A.
解法二: , 故应选A.
9.答案：C .
解:由
是定值,由为定值,即.13为定值.故应选C.
10.答案：C .
解:依题意知．数列单调递减，公差d＜0．因为
S3=S11=S3+a4+a5+…+a10+a11
所以　　　　　 a4+a5+…+a7+a8+…+a10+a11=0
即　　　　　　　　 a4+a11=…=a7+a8=0，
故当n=7时，a7＞0，a8＜0．选择C．
11.答案：D .
解:设 ① ,
则 ② ;
③ ;
④ ,
由①+②+③+④可得, ,
解之得, 故应选D.
12.答案：B .
解:由题意知
可得d＞0，a1＜0.
又a11＞|a10|=－a10，
∴a10+a11＞0.
由等差数列的性质知a1+a20=a10+a11＞0，
∴S20=10（a1+a20）＞0.
答案：B
13.答案：B .
解:本题考查了正方体堆垒问题及数列通项公式的求解.列出该数列的前几项,通过相邻项间的关系可得出该数列的规律而得出一等差数列.由图示可得,该正方体的个数所组成的数列1,3,6,…, 其后一项减前一项得一数列2,3,4,…为一个等差数列.由此可得第6层的正方体的个数为1,3,6,10,15,21,… ,
故应选B.
14.答案：C .
解:本题考查了等差数列的性质及等差数列通项公式的应用.由是等差数列可得数列也成等差数列可得为数列的第7项.
由是等差数列可得数列也成等差数列,
即得,故应选C.
二．填空题：
15．（备用题）答案：。
解：多次运用迭代，可得
16．答案：。
解：由已知可得,
于是得,
解之得.
17．答案：3n2.
解：将点代入直线方程得－=，由定义知{}是以为首项，以为公差的等差数列，故=n，即an=3n2.
18．（备用题）答案：3.
解：解析：倒序相加法，观察函数解析式的特点，得到f（x）+f（1－x）=，即f（－5）+ f（6）=，f（－4）+f（5）=，f（－3）+f（4）=，f（－2）+f（3）=，f（－1）+ f（2）=，f（0）+f（1）=，故所求的值为3.
19. （备用题）答案：85。
解：由等差数列的定义知a2+a4+a6+…+a100a1+a3+a5+…+a99+50d=60+25=85.
20．（备用题）答案：251 ； 3
解法一：由2004是正偶数列中第1002项，每一行四项，故在第251行中的第二个数.又第251行是从左向右排且从第二行开始排，故2004为第251行第3列.
解法二：观察第三列中的各数，可发现从上依次组成一个首项为4，公差为8的等差数列，可算得2004为此数列的第251项.
21．（备用题）答案：b1b2…bn＝b1b2…b17－n（n＜17，n∈N*）
解:在等差数列｛an｝中，由a10＝0，得
a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a20－n＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0，

所以a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0，
即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1，
又∵a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1
∴a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n．
若a9＝0，同理可得a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋a17－n．
相应地等比数列｛bn｝中，则可得：b1b2…bn＝b1b2…b17－n（n＜17，n∈N*）
22. （备用题）答案：。
解:由已知可得数列是首项为,公差为2的等差数列, 即得数列的通项.
23（备用题）答案. -1。
解:由已知可得.
24. （备用题）答案： 54。
解:设等差数列的首项,公差为,
由

则
25（备用题）答案. 120
解:由题意得
得则是首项,公差为10的等差数列;
.
26.答案：49。
解:由题意分析,不妨设各个格中的数都为1, 则符合题意要求,所以表中所有数字之和为49.
三．解答题：
27．（备用题）解法一：设已知的两数列的所有相同的项将构成的新数列为{cn},c1=11,
又数列5，8，11，……的通项公式为an=3n+2,数列3，7，11，……的通项公式为bn=4n－1. ∴数列{cn}为等差数列，且d=12.,
∴cn=12n－1,又∵a100=302,b100=399,∴cn=12n－1≤302
得n≤25,可见已知两数列共有25个相同的项.
解法二：∵an=3n+2,bn=4n－1,设an=bm
则有3n+2=4m－1（n,m∈N*），即n=m－1（n,m∈N*）,要使n为正整数，m必须是3的倍数.
设m=3k（k∈N*）,代入前式得n=4k－1,
又∵1≤3k≤100,且1≤4k－1≤100,解得1≤k≤25, ∴共有25个相同的项.
28．（备用题）解：（1）.
（2）.
，
当时，.
（3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列.
研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围.
研究的结论可以是：由，
依次类推可得
当时，的取值范围为等.
29. （备用题）解:（Ⅰ）由得方程组
解得 所以
（Ⅱ）由得方程
解得
30．解：（1），，

（2） =
又解：由题意，对一切自然数成立，

31. 解：(1)依题意有：
解之得公差d的取值范围为－＜d＜－3.
(2)解法一：由d＜0可知a1>a2>a3>…>a12>a13,因此，在S1，S2，…，S12中Sk为最大值的条件为：ak≥0且ak+1＜0,即
∵a3=12,∴，∵d＜0,∴2－＜k≤3－
∵－＜d＜－3,∴＜－＜4得5.5＜k＜7.
因为k是正整数，所以k=6,即在S1，S2，…，S12中，S6最大.
解法二：由d＜0得a1>a2>…>a12>a13，因此，若在1≤k≤12中有自然数k,
使得ak≥0,且ak+1＜0,则Sk是S1，S2，…，S12中的最大值.
由等差数列性质得，当m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q时，am+an=ap+aq.所以有：2a7=a1+a13=S13＜0,∴a7＜0,a7+a6=a1+a12=S12>0,
∴a6≥－a7>0,故在S1，S2，…，S12中S6最大.
解法三：依题意得：
最小时，Sn最大；
∵－＜d＜－3,∴6＜(5－)＜6.5.从而，在正整数中，
当n=6时，［n－ (5－)］2最小，所以S6最大.
32. （备用题） 证明：(1）∵{an}是等差数列，∴2ak+1=ak+ak+2,故方程akx2+2ak+1x+ak+2=0可变为(akx+ak+2)(x+1)=0,
∴当k取不同自然数时，原方程有一个公共根－1.
(2）原方程不同的根为xk=.
33. （备用题） 解:（1）已知…N*) 　 ①
时，…N*)　 ②
①-②得，，求得，在①中令，可得得，
所以N*)． 由题意，，，所以，，
∴数列的公差为,∴，
N*)．
（2），　当时，单调递增，且，　　所以时，，
又，
所以，不存在N*，使得．
34．（备用题）解：（1）当n=1时，a1=pa1，若p=1时，a1+a2=2pa2=2a2，
∴a1=a2，与已知矛盾，故p≠1.则a1=0.
当n=2时，a1+a2=2pa2，∴（2p－1）a2=0.
∵a1≠a2，故p=.
（2）由已知Sn=nan，a1=0.
n≥2时，an=Sn－Sn－1=nan－（n－1）an－1.
∴=.则=，…，=.
∴=n－1.∴an=（n－1）a2，an－an－1=a2.
故{an}是以a2为公差，以a1为首项的等差数列.
35．（备用题）解法一：设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{an}，则a1=11.
∵数列5，8，11，…与3，7，11，…公差分别为3与4，
∴{an}的公差d=3×4=12，∴an=12n－1.
又∵5，8，11，…与3，7，11，…的第100项分别是302与399，∴an=12n－1≤302，即n≤25.5.
又n∈N*，∴两个数列有25个相同的项.
其和S25=11×25+×12=3875.
分析二：由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解方法来求解.
解法二：设5，8，11，…与3，7，11，…分别为{an}与{bn}，则an=3n+2，bn=4n－1.
设{an}中的第n项与{bn}中的第m项相同，
即3n+2=4m－1，∴n=m－1.
又m、n∈N*，∴设m=3r（r∈N*），
得n=4r－1.
根据题意得
解得1≤r≤25（r∈N*）.
从而有25个相同的项，且公差为12，
其和S25=11×25+×12=3875.
36．（备用题）解：设等差数列{an}的公差为d，则Sn=na1+n（n－1）d.
∵S7=7，S15=75，
∴即
解得a1=－2，d=1.
∴=a1+（n－1）d=－2+（n－1）=.
∴－=.
∴数列{}是等差数列，其首项为－2，公差为.
∴Tn=n2－n.
37.解：设{an}的首项为a1，公差为d，则

解得
∴S110=110a1+×110×109d=－110.
38. （备用题）解：（1）由an=a1+（n－1）d，a10=30，a20=50，
得方程组a1+9d=30， ①
a1+19d=50. ②
由①②解得a1=12，d=2，故an=2n+10.
（2）由Sn=na1+d及Sn=242，得方程12n+×2=242，解得n=11或n=－22（舍）.
39.解：（1）a3=12，∴a1=12－2d，解得a12=12+9d，a13=12+10d.由S12＞0，S13＜0，即＞0，且＜0，解之得－＜d＜－3.
（2）由an=12+（n－3）d＞0，由－＜d＜－3，易知a7＜0，a6＞0，故S6最大.
40.证明：（1）∵－an=2SnSn－1，
∴－Sn+Sn－1=2SnSn－1（n≥2），Sn≠0（n=1，2，3…）.
∴－=2.
又==2，∴{}是以2为首项，2为公差的等差数列.
（2）解：由（1），=2+（n－1）·2=2n，∴Sn=.当n≥2时，an=Sn－Sn－1=－=－〔或n≥2时，an=－2SnSn－1=－〕；
当n=1时，S1=a1=.
∴an=
41.解：（1）∵f（x）=a（x－）2+a－，由已知知f（）=a－=－1，且a＞0，解得a=1，a=－2（舍去）.
（2）证明：由（1）得f（x）=x2－2x，
∴Sn=n2－2n，a1=S1=－1.
当n≥2时，an=Sn－Sn－1=n2－2n－（n－1）2+2（n－1）=2n－3，a1满足上式即an=2n－3.
∵an+1－an=2（n+1）－3－2n+3=2，
∴数列{an}是首项为－1，公差为2的等差数列.
∴a2+a4+…+a2n=
==n（2n－1），
即bn==2n－1.
∴bn+1－bn=2（n+1）－1－2n+1=2.
又b2==1，
∴{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列.
42.解：∵f（1）=a1+a2+…+an=n2.
依题设，有=n2，故a1+an=2n，
即2a1+（n－1）d=2n.
又f（－1）=－a1+a2－a3+a4－a5+…－an－1+an=n，
∴·d=n，有d=2.进而有2a1+（n－1）2=2n，解出a1=1.
于是f（1）=1+3+5+7+…+（2n－1）.
f（x）=x+3x2+5x3+7x4+…+（2n－1）xn.
∴f（）=+3（）2+5（）3+7（）4+…+（2n－1）（）n. ①
①两边同乘以，得
f（）=（）2+3（）3+5（）4+…+（2n－3）（）n+（2n－1）（）n+1. ②
①－②，得f（）=+2（）2+2（）3+…+2（）n－（2n－1）（）n+1，
即f（）=++（）2+…+（）n－1－（2n－1）（）n+1
∴f（）=1+1+++…+－（2n－1）=1+－（2n－1）=1+2－－（2n－1）＜3.
∴f（）＜3.
43. （备用题）证明：(1)因为等差数列{a}的公差d≠0，所以

Kpp是常数(k=2，3，…，n)．

(2)直线l的方程为y-a=d(x-1)，直线l的斜率为d．

44. （备用题）解：（1）由题意，，为等差数列，设公差为，
由题意得，.
（2）若，

时，

故
（3）

若对任意成立，即对任意成立，
的最小值是，的最大整数值是7。
即存在最大整数使对任意，均有
45. （备用题）解：当n=1时，a1=S1=12－12=11；
当n≥2时，an=Sn－Sn－1=12n－n2－［12（n－1）－（n－1）2］=13－2n.
∵n=1时适合上式，
∴{an}的通项公式为an=13－2n.
由an=13－2n≥0，得n≤，
即当 1≤n≤6（n∈N*）时，an＞0；当n≥7时，an＜0.
（1）当 1≤n≤6（n∈N*）时，
Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=12n－n2.
（2）当n≥7（n∈N*）时，
Tn=|a1|+|a2|+…+|an|
=（a1+a2+…+a6）－（a7+a8+…+an）
=－（a1+a2+…+an）+2（a1+…+a6）
=－Sn2S6=n2－12n+72.
∴Tn=
46.解：（1）因为
=
所以，数列是等差数列.
（2）因为，所以所以
由得，，所以，
所以，
所以在数列中对于任意的都有.
（3），设中存在三项成等差数列
则，所以， ，
因为，所以，
为偶数，为奇数，所以与不可能相等，
所以数列中不存在可以构成等差数列的三项.
作者:湖南省衡阳市祁东县育贤中学  高明生老师
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